拉氏变换与模拟滤波器设计

1、拉氏变换与模拟滤波器设计北京科技大学阳建宏2022-6-24北京科技大学 机械工程学院2/ 62背景介绍背景介绍信号处理信号处理：将信号做必要的变换以获得所需信息的过程：将信号做必要的变换以获得所需信息的过程信号分析信号分析：研究信号的构成与特征：研究信号的构成与特征时域时域频域频域傅里叶变换傅里叶变换提取关心的频率成分提取关心的频率成分滤波处理滤波处理北京科技大学 机械工程学院3/ 62背景介绍背景介绍为什么要滤波？为什么要滤波？ 在传感器获得的信号中，常混有许多其他频率的干扰在传感器获得的信号中，常混有许多其他频率的干扰 有用的信号被淹没在干扰噪声中有用的信号被淹没在干扰噪声中为突出有用信

2、号，抑制噪声干扰，要对传感器获得的信号进行滤波为突出有用信号，抑制噪声干扰，要对传感器获得的信号进行滤波频率成分多，噪声干扰北京科技大学 机械工程学院4/ 62背景介绍背景介绍滤波的实质：滤波的实质： 对信号进行频率选择，完成滤波功能的装置称为对信号进行频率选择，完成滤波功能的装置称为滤波器滤波器 当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过，当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过， 其他频率成分的信号受到衰减或抑制其他频率成分的信号受到衰减或抑制 信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。滤波后滤波后北京科技大学 机械工程学院5/ 62

3、背景介绍背景介绍滤波器的分类：滤波器的分类：分析对象分析对象具体实现具体实现应用场合应用场合 模拟滤波器模拟滤波器连续信号连续信号由模拟器件组成由模拟器件组成电子电路电子电路 数字滤波器数字滤波器离散信号离散信号算法编程算法编程工程信号处理工程信号处理Questions： 模拟滤波器与数字滤波器的关系？模拟滤波器与数字滤波器的关系？ 如何进行滤波器的设计？如何进行滤波器的设计？ 如何评价滤波器的性能？如何评价滤波器的性能？北京科技大学 机械工程学院6/ 62背景介绍背景介绍简单的模拟滤波器简单的模拟滤波器RC滤波器滤波器： 电路简单电路简单 抗干扰性强抗干扰性强 有较好的低频性能有较好的低频性

4、能 选用标准的阻容元件选用标准的阻容元件设滤波器的输入电压为设滤波器的输入电压为ex，输出电压为，输出电压为ey，电路的微分方程为：，电路的微分方程为：(克希荷夫电压定律)求微分方程的时域解，可获得系统的运动规律。求微分方程的时域解，可获得系统的运动规律。北京科技大学 机械工程学院7/ 62背景介绍背景介绍一阶微分方程的求解方法：一阶微分方程的求解方法： 常规数学积分法：常规数学积分法：对复杂的方程不易求解，参数设定困难对复杂的方程不易求解，参数设定困难 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换： 将时域的微分运算，简化为代数运算将时域的微分运算，简化为代数运算改进核心思想求系统的传递函数求系统的传递函数H

5、(s)来分析系统的幅频、相频特性来分析系统的幅频、相频特性北京科技大学 机械工程学院8/ 62主要内容主要内容12 23 3拉氏变换拉氏变换Z变换模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院9/ 62 信号信号 f(t）傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件，但像阶跃函）傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件，但像阶跃函数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足绝对可积条件绝对可积条件，经典意义上的傅里叶变换不存在。经典意义上的傅里叶变换不存在。绝对可积：绝对可积： 为了为了克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制，引出了拉普，

6、引出了拉普拉斯变换，简称拉斯变换，简称拉氏变换拉氏变换。拉氏变换的引入拉氏变换的引入dttf)(能量有限阶跃函数不收敛，能量无限北京科技大学 机械工程学院10/ 62拉氏变换拉氏变换对傅里叶变换进行改造：对傅里叶变换进行改造： 将函数将函数 f(t) 乘以一个衰减指数函数乘以一个衰减指数函数 ，使得函，使得函数函数收敛，满足绝对可积条件，则可以进行傅里叶变换数函数收敛，满足绝对可积条件，则可以进行傅里叶变换: :) 0(te() ( )( )( )ttj tjtF f t ef t eedtf t edtFj满足条件的信号傅里叶因子sj令)()()(tfLdtetfsFst)()(21)(1s

7、FLdsesFjtfjjst双边拉氏变换对双边拉氏变换对北京科技大学 机械工程学院11/ 62拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质线性定理：线性定理：)()(, )()(2211sFtfLsFtfL?)()(21tbftafL则)()(21sbFsaF延迟定理：延迟定理：)()(sFtfL?f f( (t t) )t t)()(00sFettfLst?t tf f( (t-tt-t0 0) )t t0 0衰减定理：衰减定理： )()(sFtfL?)()(sFtfeLt?该定理说明了该定理说明了f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐

8、标平移该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。北京科技大学 机械工程学院12/ 62拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质时域导数性质：时域导数性质：?),()(sFtfL)0()()(fssFdttdfL频域导数性质：频域导数性质：)()(sFtfL?dssdFttfL)()(?初值定理：初值定理：),()(sFtfL?且f()存在，则)()(lim0sFsfs即时域函数的终值，也可以由变换域求得。即时域函数的终值，也可以由变换域求得。北京科技大学 机械工程学院13/ 62拉氏变换拉氏变换傅里叶变换傅里叶变换拉氏变换拉氏变换分

9、析对象 计算公式基本信号元域时域变量 t 为实数频域变量 为实数时域变量t为实数频域变量s为复数j teste)(tftetf)()( )j tX jf t edt( )tj tf t eedtsj拉氏变换拉氏变换S平面j傅里叶变换傅里叶变换0F变换是变换是L变换的特例变换的特例L变换是变换是F变换的扩展变换的扩展北京科技大学 机械工程学院14/ 62拉氏变换的应用拉氏变换的应用-系统函数分析系统函数分析 拉氏变换作为傅氏变换的推广，将信号的拉氏变换作为傅氏变换的推广，将信号的频域频域分析扩展为分析扩展为复频域复频域分析，分析，扩大了信号变换的范围。扩大了信号变换的范围。 连续信号的复频域分析

10、方法也从频域分析方法扩展而来。连续信号的复频域分析方法也从频域分析方法扩展而来。)()()(thtfty()()()Y jF jH j频域对于线性时不变系统：对于线性时不变系统：输入信号为输入信号为f(t), 系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，则输出信号为：，则输出信号为：)()()(thtfty)()()(sHsFsY系统函数()()()()jY jH jH jeF j复频域系统函数)()()(sFsYsH北京科技大学 机械工程学院15/ 62简单的模拟滤波器简单的模拟滤波器RC滤波器滤波器：令令 =RC，称为时间常数，对上式取，称为时间常数，对上式取拉氏变换拉氏变换，有，有：其幅频

11、、相频特性公式为其幅频、相频特性公式为: 分析可知分析可知: 当当f 很小时，很小时，A(f)=1，信号不受衰减地通过；，信号不受衰减地通过； 当当f 很大时，很大时，A(f)=0，信号完全被阻挡，不能通过，信号完全被阻挡，不能通过。 sj拉氏变换的应用拉氏变换的应用-系统函数分析系统函数分析北京科技大学 机械工程学院16/ 62拉氏变换拉氏变换连续系统连续系统拉氏变换获得系统函数获得系统函数 sH离散系统如何获得系统函数？离散系统如何获得系统函数？北京科技大学 机械工程学院17/ 62主要内容主要内容12 23 3拉氏变换Z Z变换变换模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院18

12、/ 62Z变换的引入变换的引入 Z Z变换的作用：变换的作用：nz z变换是变换是离散信号离散信号分析和处理，离散系统设计和实现中分析和处理，离散系统设计和实现中一种重要的数学工具一种重要的数学工具, ,它在离散系统中的地位与作用，它在离散系统中的地位与作用，相当于连续系统中的拉氏变换。相当于连续系统中的拉氏变换。n应用应用z z变换可以把离散系统的数学模型即变换可以把离散系统的数学模型即差分方程转换差分方程转换为简单的代数方程为简单的代数方程，使求解过程简化。，使求解过程简化。 Z Z变换两种定义：变换两种定义：n定义定义1:1:对模拟信号进行冲激抽样经拉氏变换引出对模拟信号进行冲激抽样经拉

13、氏变换引出, ,常用于常用于自动控制采样系统的分析。自动控制采样系统的分析。n定义定义2:2:直接给出数学定义；常用于数字信号处理中。直接给出数学定义；常用于数字信号处理中。北京科技大学 机械工程学院19/ 62Z变换变换Step1:Step1:若对一若对一模拟信号模拟信号x(t)作冲激抽样作冲激抽样，得到其冲激抽样信号，得到其冲激抽样信号: :Step2Step2：对上式两边进行对上式两边进行（双边）拉氏变换（双边）拉氏变换：Step3Step3：将积分与求和的将积分与求和的运算次序对调运算次序对调，利用冲激函数抽样性，得：，利用冲激函数抽样性，得：( )( )( )( ) (sTnxtx

14、ttx ttnT）令令北京科技大学 机械工程学院20/ 62Z变换变换Step4Step4：对上式对上式引入复变量引入复变量 , ,得到一个得到一个z z的函数的函数X(z)Z Z变换变换: : 离散时间域离散时间域n n 复数域复数域z z 的映射，是复变量的映射，是复变量Z Z-1 -1 的幂级数，即罗朗级数的幂级数，即罗朗级数nnznxzX)()(上式为双边上式为双边z z变换，单边变换，单边z z变换则可定义为：变换则可定义为：0)()(nnznxzX考虑起始条件，更易收敛，实际中应用较多考虑起始条件，更易收敛，实际中应用较多北京科技大学 机械工程学院21/ 62Z变换收敛域变换收敛域

15、 由由Z Z变换的定义式可以看出，变换的定义式可以看出，Z Z变换实际上是复函数变换实际上是复函数X(zX(z) )在在Z Z平面上，平面上，以序列以序列x(nx(n) )为系数为系数展开的罗朗级数。展开的罗朗级数。由级数的理论可知，收敛的充要条件是满足条件：由级数的理论可知，收敛的充要条件是满足条件：可以证明，收敛域是可以证明，收敛域是z z平面上的一个环状区域平面上的一个环状区域: :0)()(nnznxzX北京科技大学 机械工程学院22/ 62Z变换性质变换性质线性线性时移性时移性xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRzRzXznnx | )()(00，Z则：则：若：若：y

16、yxxRzRzYnyRzRzXnx | )()( | )()(，ZZ则：则：RzRzbYzaXnbynax | )()()()(，Z北京科技大学 机械工程学院23/ 62Z变换性质变换性质序列指数加权序列指数加权(z(z域尺度变换域尺度变换) )xxRzRzXnx | )()(，Z若：若：xxnRazRaazXnxa| | | )()(，Z那么序列那么序列x(n)x(n)乘以指数序列乘以指数序列a a（a a是常实数或常复数）后，就有是常实数或常复数）后，就有序列线性加权（序列线性加权（z z域微分）域微分）xxRzRzXnx | )()(，ZxxRzRzXdzdznnx | )()(，Z若：

17、若：则：则：北京科技大学 机械工程学院24/ 62Z变换与拉氏变换变换与拉氏变换在在Z Z变换过程中，变换过程中，因此，有因此，有Z Z平面用极坐标表示平面用极坐标表示jrez s s平面用直角坐标表示平面用直角坐标表示sj()jjTTj Treeee得到：得到：TerT实部虚部Z平面jS平面jS平面实部虚部Z平面jS平面？北京科技大学 机械工程学院25/ 62变换变换Z Z拉氏变换拉氏变换三种变换的关系三种变换的关系-按计算流程按计算流程)(tx连续信号连续信号 傅氏变换傅氏变换绝对可积信号绝对可积信号tetx)(抽样信号抽样信号）nTttx()( )f tto( )f nno( )f nn

18、o拉氏变换拉氏变换离散信号离散信号)(nx北京科技大学 机械工程学院26/ 62三种变换的关系三种变换的关系-按变量关系按变量关系北京科技大学 机械工程学院27/ 62主要内容主要内容 12 23 3拉氏变换Z变换模拟滤波器模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院28/ 62基本概念基本概念l 滤波：滤波：提取所需要的信号提取所需要的信号, ,抑制不需要的信号。所用装抑制不需要的信号。所用装置称为滤波器。信号通过滤波器的过程，就称为对信号进置称为滤波器。信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。行滤波。l 传统滤波传统滤波：信号和噪声各占不同频带。：信号和噪声各占不同频带。对信号

19、进行频率选择。当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得对信号进行频率选择。当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过，其他频率成分的信号受到衰减或抑制。以通过，其他频率成分的信号受到衰减或抑制。l 现代滤波：现代滤波：信号和噪声的频谱相互重叠信号和噪声的频谱相互重叠. .在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计；在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计； WienerWiener滤波、滤波、kalmankalman滤波、线性预测、自适应滤波等。滤波、线性预测、自适应滤波等。北京科技大学 机械工程学院29/ 62传统滤波器理想滤波器实际滤波器模拟滤波器数字滤波器巴巴特特沃

20、沃斯斯切切比比雪雪夫夫椭椭圆圆滤滤波波FIRIIR按信号类型分按信号类型分连续模拟信号连续模拟信号离散数字信号离散数字信号（不可实现）（不可实现）维维纳纳滤滤波波卡卡尔尔曼曼滤滤波波线线性性预预测测自自适适应应滤滤波波（信噪频带分离）信噪频带分离）（信噪频带重叠）（信噪频带重叠）现代滤波器在统计指标最优条件下，利用在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计信号统计特征进行时域估计总体框架总体框架北京科技大学 机械工程学院30/ 62理想滤波器要求：理想滤波器要求：l通带内通带内信号的幅值和相位都信号的幅值和相位都不失真不失真，阻带内阻带内的频率成分都的频率成分都衰衰减为零减为零的滤波器

21、，其通带和阻带之间有的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线明显的分界线。l理想滤波器理想滤波器在通带内的在通带内的幅频特性应为常数幅频特性应为常数，相频特性的斜率相频特性的斜率为常值为常值；在；在通带外的幅频特性应为零通带外的幅频特性应为零。理想滤波器理想滤波器0)(t相频特性：相频特性：幅频特性：幅频特性：?, 0, 1)(00jH北京科技大学 机械工程学院31/ 62物理上物理上不可实现！不可实现！理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。l时域上讲，没有器件能够在一瞬间完成开关过程，都会时域上讲，没有器件能够在一瞬间完成开关过程，都会存

22、在时延和振荡；存在时延和振荡；l频域上讲，矩形脉冲需要无穷带宽，实际中也没有条件频域上讲，矩形脉冲需要无穷带宽，实际中也没有条件提供这么大带宽。提供这么大带宽。理想滤波器理想滤波器北京科技大学 机械工程学院32/ 62理想滤波器要物理可实现：理想滤波器要物理可实现：应从一个到另一个带之间应从一个到另一个带之间设置一个过渡带设置一个过渡带，且在通带和止，且在通带和止带内也不应严格要求为带内也不应严格要求为1 1或或0 0，应给以较小容限。，应给以较小容限。过渡带越窄越好过渡带越窄越好，即对通带外的频率成分衰减得越快、越，即对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。多越好。 实际滤波器频域特性实际滤

23、波器频域特性实际滤波器实际滤波器因此，在设计实际滤波器时，总因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其尽量逼近理是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。想滤波器。北京科技大学 机械工程学院33/ 6212ps通带内允许误差：通带内允许误差：阻带衰减：阻带衰减：通带截止频率：通带截止频率：p1s2 )(lg20dBjH 衰减：衰减：阻带截止频率：阻带截止频率：性能指标性能指标实际滤波器实际滤波器北京科技大学 机械工程学院34/ 62描述实际滤波器的主要参数：l纹波幅度纹波幅度：越小越好l截止频率截止频率l带宽带宽：决定滤波器分离信号相邻频率成分的能力l品质因数品质因数：Q值越大，表明滤波器频率

24、分辨力越高l倍频程选择性倍频程选择性：W值越大，衰减越快，则滤波器的选择性越好l滤波器因数：滤波器因数：越接近于1，滤波器选择性越好实际滤波器实际滤波器北京科技大学 机械工程学院35/ 62纹波幅度纹波幅度d dn在一定频率范围内，实际滤波器的在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性幅频特性可能呈波可能呈波纹变化，其波动幅度纹变化，其波动幅度d d与幅频特性的平均值与幅频特性的平均值A A0 0相比，相比，越小越好越小越好，一般应远小于，一般应远小于-3dB-3dB。截止频率截止频率n幅频特性值等于幅频特性值等于 所对应的频率称所对应的频率称为为滤波器的截滤波器的截止频止频率率。n 对应于对应于

25、-3dB-3dB点，即相对衰减点，即相对衰减3dB3dB。若以信号的幅值平方表示若以信号的幅值平方表示信号功率信号功率，则所对应的点正好是半功率点。则所对应的点正好是半功率点。2121cf实际滤波器的参数实际滤波器的参数北京科技大学 机械工程学院36/ 62带宽带宽B Bn上下两截止频率之间的频率范围称为上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器滤波器带宽带宽，或，或-3dB-3dB带宽，单位为带宽，单位为HzHz。n带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力的能力频率分辨力频率分辨力。B实际滤波器的参数实际滤波器的参数品质因数品质因数Q Qn对于带通滤波器

26、，通常把中心频对于带通滤波器，通常把中心频率率 和带宽和带宽 B B之比称为滤波器的品之比称为滤波器的品质因数质因数Q Q。n例如一个中心频率为例如一个中心频率为500Hz500Hz的滤波器，带宽的滤波器，带宽为为10Hz10Hz，则称其，则称其Q Q值为值为5050。nQ Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高。值越大，表明滤波器频率分辨力越高。c2c1fff0BffQcc21北京科技大学 机械工程学院37/ 62倍频程选择性倍频程选择性W Wn所谓倍频程选择性，是指在上截止频率所谓倍频程选择性，是指在上截止频率f fc2c2与与 2f2fc2c2之之间，或者在下截止频率间，或者在下截止频率f

27、fc1c1与与f fc1c1/2/2之间幅频特性的衰之间幅频特性的衰减值，即频率变化减值，即频率变化一个倍频程时的衰减量一个倍频程时的衰减量。n过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它慢，它决定着滤波器对带宽外频率成分的衰阻能力决定着滤波器对带宽外频率成分的衰阻能力。通常用倍频程选择性来表征。通常用倍频程选择性来表征。nW W值越大，即衰减越快，则滤波器的选择性越好。值越大，即衰减越快，则滤波器的选择性越好。或或 11()220lg()ccfAWA f22(2)20lg()ccAfWA f实际滤波器的参数实际滤波器的参数北京科技大学 机

28、械工程学院38/ 62滤波器因数（或矩形系数）滤波器因数（或矩形系数） n滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式 ，它，它是利用滤波器幅频特性的是利用滤波器幅频特性的 -60dB-60dB带宽与带宽与-3dB-3dB带宽的比带宽的比值来衡量滤波器选择性，即值来衡量滤波器选择性，即 n理想滤波器理想滤波器=1=1，常用滤波器，常用滤波器 =15=15，显然，显然， 越越接近于接近于1 1，滤波器选择性越好，滤波器选择性越好。实际滤波器的参数实际滤波器的参数北京科技大学 机械工程学院39/ 62传统滤波器理想滤波器实际滤波器模拟滤波器数字滤波器巴巴特特沃沃

29、斯斯切切比比雪雪夫夫椭椭圆圆滤滤波波FIRIIR按信号类型分按信号类型分连续模拟信号连续模拟信号离散数字信号离散数字信号（不可实现）（不可实现）维维纳纳滤滤波波卡卡尔尔曼曼滤滤波波线线性性预预测测自自适适应应滤滤波波（信噪频带分离）信噪频带分离）（信噪频带不分离）（信噪频带不分离）现代滤波器在统计指标最优条件下，利用在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计信号统计特征进行时域估计总体框架总体框架北京科技大学 机械工程学院40/ 62传输特性时域上传输特性时域上用单位脉冲响应用单位脉冲响应 表示；表示；频域上频域上用系统函数用系统函数 或频率响应或频率响应 表示。表示。)()()(sH

30、jHth)()(X)(sXjtx)()()()()()()()()()()(sXsHsYjXjHjYdthxt*htxty系统框图系统框图)(th)(sH)( jH拉式变换dtethsstjs)()(H)j(H)()()()()(2sHsHjHjHjHjs因此，由因此，由 即可得出滤波器的系统函数即可得出滤波器的系统函数2)( jH) s (H模拟滤波器模拟滤波器模拟滤波器表示方法：模拟滤波器表示方法：北京科技大学 机械工程学院41/ 62巴特沃斯(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(Cauer)滤波器模拟滤波器常用类型模拟滤波器常用类型北京科技大学 机械工

31、程学院42/ 62221()1aNcHj幅度平方函数幅度平方函数：N N 滤波器的阶数滤波器的阶数 滤波器滤波器截止频率截止频率巴特沃斯滤波巴特沃斯滤波：通频带的频率响应曲线最平滑。：通频带的频率响应曲线最平滑。n最先由英国工程师最先由英国工程师Stephen ButterworthStephen Butterworth在在19301930年提出。年提出。Butterworth-最平响应特性滤波器最平响应特性滤波器c北京科技大学 机械工程学院43/ 62阶数阶数N N越大，越接近理想特性越大，越接近理想特性221()1aNcHj幅度平方函数：幅度平方函数： 过渡带及阻带内，快速单调减小；过渡带

32、及阻带内，快速单调减小； 通带内幅度特性平坦，单调减小；通带内幅度特性平坦，单调减小； 单调性：单调性：Butterworth-最平响应特性滤波器最平响应特性滤波器北京科技大学 机械工程学院44/ 62 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率一定，则在靠近截止频率c处，幅度下降处，幅度下降3dB3dB。为了。为了使通带内使通带内的衰减足够小，的衰减足够小，需要的巴特沃兹滤波器阶次需要的巴特沃兹滤波器阶次N N很高，采用切比很高，采用切比雪夫多项式逼近雪夫多项式逼近|Ha(j)|2, ,可以降低滤波器阶次。可

33、以降低滤波器阶次。切比雪夫滤波器的提出切比雪夫滤波器的提出Chebychev-通带等波纹滤波器通带等波纹滤波器右图中右图中N=8N=8，在靠，在靠近近c处处同阶次的同阶次的巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器衰减大于切比雪夫衰减大于切比雪夫滤波器滤波器北京科技大学 机械工程学院45/ 62切比雪夫滤波：切比雪夫滤波：N为奇数：N为偶数：单调特性等波纹特性1|),(harccos(hcos1|),arccos(cos()(TNcccccNNChebychev-通带等波纹滤波器通带等波纹滤波器c c滤波器截止频率滤波器截止频率N N 阶数阶数 与通带波纹有关的参量与通带波纹有关的参量 ， 越大，波纹越大越

34、大，波纹越大10时递增），当（1)(21)(coshxeexxx北京科技大学 机械工程学院46/ 62012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8阶数阶数N N越大，越接近理想特性。越大，越接近理想特性。 过渡带及阻带内，快速单调减小；过渡带及阻带内，快速单调减小； 通带内具有等波纹，即误差分布均匀；通带内具有等波纹，即误差分布均匀；切比雪夫滤波切比雪夫滤波：Chebychev-通带等波纹滤波器通带等波纹滤波器北京科技大学 机械工程学院47/ 62o切比雪夫滤波器在通带内有起伏，但通带衰减小于切比雪夫滤波器在

35、通带内有起伏，但通带衰减小于3dB3dB， 值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小。故与巴特沃斯滤波器进行比较，切比雪夫滤值也越小。故与巴特沃斯滤波器进行比较，切比雪夫滤波器的波器的通带有波纹，过渡带较陡直通带有波纹，过渡带较陡直，更接近理想情况。，更接近理想情况。 如右图（如右图（N=8N=8）o缺点：进入阻带后缺点：进入阻带后衰减特性变化缓慢。衰减特性变化缓慢。椭圆滤波器椭圆滤波器幅值响应在通带幅值响应在通带和阻带内都等波纹和阻带内都等波纹Chebychev-通带等波纹滤波器通带等波纹滤波器北京科技大学 机械工程学院48/ 62椭圆滤波

36、器椭圆滤波器：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。对于给定的阶数和波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波对于给定的阶数和波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为器为窄的过渡带宽窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。幅度平方函数幅度平方函数：R RN N（，L L）为雅可比椭圆函数；）为雅可比椭圆函数；L L是一个表示波纹性质的参量。是一个表示波纹性质的参量。 椭圆滤波器椭圆滤波器RN（，L）为雅可比椭圆函数；实际设计中该函数需要查表计算查表计算。L：表示波纹性质的参量。 北京科技大学 机械工程学院49/ 62同等滤波效

37、果要求椭圆滤波器的阶次最低，切比雪夫次同等滤波效果要求椭圆滤波器的阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。幅度平方函数幅度平方函数特点特点幅频图幅频图巴特沃斯巴特沃斯通带阻带内单调通带阻带内单调下降，衰减约下降，衰减约3dB3dB切比雪夫切比雪夫通带有波纹，过通带有波纹，过渡带较陡直，衰渡带较陡直，衰减小减小椭圆椭圆通带阻带都有波通带阻带都有波纹，过渡带最陡纹，过渡带最陡直直221()1aNcHj对比对比北京科技大学 机械工程学院50/ 62对比对比对同样阶数的滤波器，从对同样阶数的滤波器，从 Butterworth Chebys

38、hev Elliptic，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害。系统的复杂程度也越来越高，相应地，超量和振荡也越厉害。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大。实现系统所付出的代价也越来越大。5阶阶Butterworth滤波器与滤波器与5阶阶Elliptic滤波器的比较滤波器的比较北京科技大学 机械工程学院51/ 62确定技术指标（即滤波器的频率特性要求）选择滤波器类型：巴特沃斯、切比雪夫、椭圆确定性能参数：得滤波器频率特性12psNc模拟滤波器的设计步骤模拟滤波器的设计步骤北京科技大学 机械工程学

39、院52/ 62模拟滤波器的设计步骤模拟滤波器的设计步骤例：给定模拟滤波器技术指标，如下图例：给定模拟滤波器技术指标，如下图 通带允许起伏：通带允许起伏：-1dB，02104rad/s 阻带衰减：阻带衰减： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率、截止角频率 c和和Ha(s)表示式。表示式。解：解：(1)求阶数N和截止频率 c ，写出|Ha(j)|在 p和 s两点的方程2015242012410102211)(1010211)(NcsaNcpajHjH443. 31021022lg2110110lg441011015N取整

40、得N=4，代入式（1）求得 crad/s10304. 12rad/s11010224810154c由式（1）解得式（1）北京科技大学 机械工程学院53/ 62模拟滤波器的设计步骤模拟滤波器的设计步骤解：解：(2)求滤波器系统函数Ha(s)，由巴特沃斯多项式表查得N=4的BN(s)即 Ha(s)的分母多项式，令 代入Ha(s)得到滤波器系统函数Ha(s)。ssc19152103541910506. 410437. 110292. 21014. 210506. 4)(sssssHa例：给定模拟滤波器技术指标例：给定模拟滤波器技术指标 通带允许起伏：通带允许起伏：-1dB，02104rad/s 阻带

41、衰减：阻带衰减： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率、截止角频率 c和和Ha(s)表示式。表示式。北京科技大学 机械工程学院54/ 62模拟滤波器模拟滤波器o按功能分：n低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器，带阻滤波器o低通滤波器n从0f2频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f2的频率成分受到极大地衰减。o高通滤波器n与低通滤波相反，从频率f1，其幅频特性平直。它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。北京科技大学 机械工程学院55/ 62模拟