——平面问题的基本理论学习教案

1、会计学1平面问题的基本平面问题的基本(jbn)理论理论第一页，共37页。局部影响(yngxing)原理如在物体上部分区域作用如在物体上部分区域作用(zuyng)一平衡力系，则该平衡一平衡力系，则该平衡力系在物体内引起的应力局限于其力系在物体内引起的应力局限于其作用作用(zuyng)区域附近，随离开区域附近，随离开作用作用(zuyng)区域而迅速减小。区域而迅速减小。第1页/共36页第二页，共37页。圣维南原理圣维南原理(yunl) 如果把物体的一小部分边界上的面力，变如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布换为分布(fnb)(fnb)不同但静力等效的面力（主不同但静力等效的面力（主矢量相同

2、，对于同一点的主矩也相同），那么矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布，近处的应力分布(fnb)(fnb)将有显著的改变，将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。但是远处所受的影响可以不计。举例举例(j l)第2页/共36页第三页，共37页。PP(a)P2/P2/P(b)2/P2/P2/P2/P(c) 设有柱形构件，在两设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力等而方向相反的拉力P ，如图如图2-9a。如果把一端或。如果把一端或两端的拉力变换为静力等两端的拉力变换为静力等效的力，如图效的力，如图2-9b或或2-9c，只有虚线划出部分的

3、应，只有虚线划出部分的应力分布有显著的改变力分布有显著的改变(gibin)，而其余部分所，而其余部分所受的影响是可以不计的。受的影响是可以不计的。)(iOOFmMiFR第3页/共36页第四页，共37页。影响(yngxing)区域约为作用面尺寸的23倍第4页/共36页第五页，共37页。PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/P(a)(b)(c)AP/AP/(d) 或者或者(huzh)将两将两端的拉力变换为均匀分端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于布的拉力，集度等于P/A ，其中，其中A 为杆件的横截为杆件的横截面面积，如图面面积，如图2-9d，仍，仍然只有靠近两端部分的然只有靠近两端部分的应力

4、受到显著的影响。应力受到显著的影响。第5页/共36页第六页，共37页。PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/P(a)(b)(c)AP/AP/(d)PP图2-9(e)如果将右端完全固定如果将右端完全固定，如图，如图2-9e，仍然只有，仍然只有(zhyu)靠近两端部分靠近两端部分的应力受到显著的影的应力受到显著的影响。响。第6页/共36页第七页，共37页。PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/PAP/AP/PP图图2-92-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述在上述(shngsh)五种情况下，离开两五种情况下，离开两端较远部分的应力分端较远部分的应力分布，并没有显著的差布，并没有显著的差别

5、。别。注意注意(zh y)： 应用圣维南原理应用圣维南原理(yunl)，绝不能离，绝不能离开开“静力等效静力等效”的条的条件。件。第7页/共36页第八页，共37页。lx 圣维南原理在小边界上的应用圣维南原理在小边界上的应用： 如图，考虑如图，考虑 小边界，小边界， 精确精确(jngqu)的应力边界条件的应力边界条件第8页/共36页第九页，共37页。( , )( , )xxx lxyyx lx yfx yf第9页/共36页第十页，共37页。在小边界在小边界x=l上，可用下列条件代替上，可用下列条件代替(dit)上式的条件：上式的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主

6、矢量Fx , Fy= 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) 应力的主矩应力的主矩( M )= 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）数值相等数值相等方向一致方向一致(b)积分积分(jfn)的应力边界条件的应力边界条件第10页/共36页第十一页，共37页。/2N/2()d1 hxx lhyF 具体可列出以下三个积分具体可列出以下三个积分(jfn)条件：条件：/2/2()d1 hxx lhyyM/2S/2()d1hxyx lhyF 第11页/共36页第十二页，共37页。3.3.圣维南原理圣维南原理(yunl)(yunl)的应用的应用(1) 对复杂的力边界，可以对复杂的力边界，可以(ky)用静力等效

7、的用静力等效的分布面力代替。分布面力代替。(2) 有些位移边界不易满足有些位移边界不易满足(mnz)时，也可时，也可用静力等用静力等 效的分布面力代替效的分布面力代替(图图2-9e)。注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；必须满足静力等效条件；(2)只能在只能在次要次要边界上用圣维南原理，边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。在主要边界上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界第12页/共36页第十三页，共37页。左侧左侧(zu c)面：面：0, 1ml0 xyff()()()()xsxysxysxysylmfmlf代入应力代入应力(yngl)边界条件公式边界

8、条件公式00hxxyhxx例例1 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件应力边界条件。( 为水的容重为水的容重)第13页/共36页第十四页，共37页。()0 xxhxyxhy 右侧右侧(yu c)面：面：0, 1ml,0 xyfy f代入应力代入应力(yngl)边界条边界条件公式，有件公式，有第14页/共36页第十五页，共37页。上端面上端面(dunmin)：为次要边界为次要边界(binji)，可由圣维南原理求解，可由圣维南原理求解。y 方向(fngxing)力等效：0dhh()yyxsi

9、nP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx 方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！,yxy第15页/共36页第十六页，共37页。yPxyyx上端面上端面(dunmin)：（方法（方法(fngf)2(fngf)2）在在P点附近点附近(fjn)取图示微段，由微段的平衡求得取图示微段，由微段的平衡求得0yF0sin0Pdxyhhysin0Pdxhhyy 0OM0sin20hPxdxyhhyxdxyhhy0)(sin2hP 0 xF0cos0Pdxyhhyxdxyhhyx0)(cosP第16页/共36页第十七

10、页，共37页。例例2 2 试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)第17页/共36页第十八页，共37页。2/2, ( ) , 0;yxyxyhql ( (a) )在主要边在主要边界界 应应精确满足下列精确满足下列边界条件：边界条件：2/hySFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl解解: :1/2, 0, .yxyyhq ()()()()xsxysxysxysylmfmlf第18页/共36页第十九页，共37页。在小边界在小边界x = 0应用圣维南原应用圣维南原理，列出三个理，列出三个积分的近似边积分的近

11、似边界条件，当板界条件，当板厚厚 时，时，1/2/200/2/2/20/2()d,()d,()dhhxxxxhhhxyxshyFyyMyF。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl第19页/共36页第二十页，共37页。在小边界在小边界x = l，当平衡微分，当平衡微分方程和其它各方程和其它各边界条件都已边界条件都已满足满足(mnz)的的条件下，三个条件下，三个积分的边界条积分的边界条件必然满足件必然满足(mnz)，暂时，暂时可以不写。可以不写。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl第20页/共36页第二十一页，共37页。例例3 试列出图试列出图中的

12、边界条中的边界条件。件。(a)030FOxyqhgy b/2 b/2) 1,(bh第21页/共36页第二十二页，共37页。在主要边界在主要边界(binji)x= 0, b，应精确满足下列边应精确满足下列边界界(binji)条件：条件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh第22页/共36页第二十三页，共37页。 在小边界在小边界y = 0，列出三个积分的边列出三个积分的边界条件，当板厚界条件，当板厚 时，时，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby030FOxyqh(b)gy b/

13、2 b/2) 1,(bh第23页/共36页第二十四页，共37页。注意注意(zh y)在在列力矩的条件列力矩的条件时两边均是对时两边均是对原点原点o 的力矩的力矩来计算的。来计算的。 对于对于y = h的的小边界可以不小边界可以不写。写。030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh第24页/共36页第二十五页，共37页。（1）按位移求解）按位移求解(qi ji)（位移法、刚度法）（位移法、刚度法） 以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用条件都用u、v 表示表示(biosh)，并求出，并求出u、v ，再由几，再由几何方程、物理方程求出应力

14、与形变分量。何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力）按应力(yngl)求解（力法、柔度法）求解（力法、柔度法） 以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程为基本未知函数，将所有方程都用都用应力分量表示，求出表示，求出应力分量后 ，再用几何再用几何方程、物理方程求出形变分量与位移。方程、物理方程求出形变分量与位移。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面问题的求解方法整体上可分为以下三种平面问题的求解方法整体上可分为以下三种:第25页/共36页第二十六页，共37页。（3）混合）混合(hnh)求解求解 以部分位移分量以部分位移分量 和部分应力分量和部分应力分量 为基本为基本

15、未知函数，求出这些未知函数，求出这些(zhxi)未知量后，再求出未知量后，再求出其余未知量。其余未知量。第26页/共36页第二十七页，共37页。一、平面一、平面(pngmin)应力应力问题问题xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1平面平面(pngmin)应力应力问题的物理方程为：问题的物理方程为：由上面三式求解出由上面三式求解出应力应力(yngl)分量，分量，得：得：xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122第27页/共36页第二十八页，共37页。将几何将几何(j h)(j h)方程代入上方程代入上式：式：)()1 (2)(1)(122yuxvExuyvEyvxuExyyx

16、（a a）yuxvyvxuxyyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122第28页/共36页第二十九页，共37页。再将式（再将式（a）代入平衡微分）代入平衡微分方程方程(wi fn fn chn)简化以后，即得简化以后，即得22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 这是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求这是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解平面应力问题时所需用解平面应力问题时所需用(x yn)(x yn)的基本微分方的基本微分方程。程。（1 1）0 xyyyfxy0yxxxfxy第29页/共36页第三十页，共

17、37页。将（将（a）式代入应力边界条件，简化）式代入应力边界条件，简化(jinhu)以后以后，得：，得：221 ()() 121 ()() 12ssxssyEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy这是用位移表示这是用位移表示(biosh)的应力边界条件，也就是按的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。（2 2）()(),()()xsyxsxysxysylmfmlf第30页/共36页第三十一页，共37页。 总结起来，按位移求解平面应力问题时满足平衡微总结起来，按位移求解平面应力问题时满足平衡微分方程分方程(fngchng

18、)（1）和位移边界条件或应力边界条）和位移边界条件或应力边界条件（件（2）。求出位移分量以后，用几何方程）。求出位移分量以后，用几何方程(fngchng)求出形变分量，再用物理方程求出形变分量，再用物理方程(fngchng)求出应力分求出应力分量。量。位移位移(wiy)边界条件：边界条件：vvuuss,二、平面应变二、平面应变(yngbin)(yngbin)问题问题1,12EE 只须将平面应力问题的各个方程中只须将平面应力问题的各个方程中E 和和作作代换：代换：第31页/共36页第三十二页，共37页。0,xyffg0gloyx第32页/共36页第三十三页，共37页。解：解：则位移则位移 , 00,( )uvv y22ddvgyE gloyx按位移求解，位移应满足式按位移求解，位移应满足式(1),(2)。代入式。代入式(1)，第一式自，第一式自然然(zrn)满足，第二式成为满足，第二式成为22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 第33页/共36页第三十四页，共37页。22gvyAyBE ly, 0, 0)(, 0)(0lyyvvv0 ;2gBAlEgloyx解得解得22ddvgyE 第34页/共36页第三十五页，共37页。).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在在 处，处，2ly0y