第一章-信号及其描述

1、第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱第四节第四节 随机信号随机信号第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 信号是传递信息的载体，存在于测试系统信号是传递信息的载体，存在于测试系统的各个环节的各个环节 测试过程始于信号，变换信号，处理信号，测试过程始于信号，变换信号，处理信号，分析信号。信号大多以分析信号。信号大多以时间时间为自变量（例如：加为自变量（例如：加速度、压力、流量），有的则是二维的以空间为速度、压力、流量），有的则是二维的以空间为自变量（例如：图像）。自变量（例如：图像）。第一节第一节 信号的分类与描

2、述信号的分类与描述第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为随机信号（非确定性信不能用数学关系式描述的信号称为随机信号（非确定性信号）。号）。1.1.确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类周期信号：是按一定时间间隔周而复周期信号：是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。始重复出现，无始无终的信号。（1 1）周期信号）周期信号例如，几种参量的单自由度振动例如

3、，几种参量的单自由度振动系统（见图系统（见图1-11-1）图图1-11-1确定性信号分为周期信号和非周期信号确定性信号分为周期信号和非周期信号。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类（1 1）周期信号）周期信号 01,2,3,x tx tnTn0:T周期周期集中参量的单自由度振动系统作无阻集中参量的单自由度振动系统作无阻尼自由振动，位移由下式确定：尼自由振动，位移由下式确定： 00sinkx txtm周周 期：期：02/Tk m圆频率：圆频率：002kTm简单周期信号简单周期信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述确定信号中那些不具有周期重复性的信

4、号称为非周期信号。确定信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号。其图形如图其图形如图1-21-2所示。所示。（2 2）非周期信号）非周期信号图图1-21-2 000sinatx tx et瞬变非周期信号：瞬变非周期信号：一、信号的分类一、信号的分类第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述随机信号随机信号：是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用：是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系式来描述的信号，但是数学关系式来描述的信号，但是具有某些统计特征具有某些统计特征，可以，可以用概率统计的方法来估计。用概率统计的方法来估计。一、信号的分类一、信号的分类2.2.连续信号和离散信

5、号连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。如图信号。如图1-3a1-3a所示。所示。 若独立变量取离散值，则称为离散若独立变量取离散值，则称为离散信号。如图信号。如图1-3b1-3b所示。所示。图图1-31-3第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类3.3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号在所分析的区间（在所分析的区间（- - ， ）能量为有限值的信号）能量为有限值的信号称为称为能量信号，能量信号，满足条件：满足条件：dttx)(2第一节第一节 信号的分类与描述信号的分

6、类与描述一、信号的分类一、信号的分类3.3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号dttx)(2dttxtttt)(121212功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量不是有限值此），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。时，研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号一般持续时间无限的信号都属于功率信号: :第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类能量信号能量信号 二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述直接测试或记录到的信号，一般是以时间为独立变量直接测试或记录到的信号，一般是以时间为独立

7、变量的，称其为信号的时域描述。如图的，称其为信号的时域描述。如图1-41-4所示。所示。时域信号不时域信号不能明显揭示能明显揭示信号的频率信号的频率组成关系，组成关系，因此需要将因此需要将信号的时域信号的时域描述变为频描述变为频域描述。域描述。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 000( )()(1, 2,)(0)2( )(0)2x tx tnTnTAtx tTAt 周期方波的时域描述：周期方波的时域描述：注意：注意：如何读懂频谱图？如何读懂频谱图？（教材（教材P21P21中的表中的表1-11-1）二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述第一节第一节 信号的分类与描

8、述信号的分类与描述图图1-51-5表示的周期表示的周期信号的时域分析和信号的时域分析和频域分析间的关系。频域分析间的关系。图图1-51-5书中书中P21P21的表的表1-11-1比较了方波平移后的幅频和相频谱比较了方波平移后的幅频和相频谱二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开称傅里叶级数。（称傅里叶级数。（傅里叶级数将信

9、号的时域表示转换为频域傅里叶级数将信号的时域表示转换为频域表示表示）。）。)sincos()(0100tnbtnaatxnnn常值分量：常值分量： 0020021TTaxt dtT 0020022cosTTnax tntdtT 0020022sinTTnbx tntdtT余弦分量的幅值：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：正弦分量的幅值：周周 期：期：圆频率：圆频率：0T002T第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱同频项合并：简单的三角函数和的计算同频项合并：简单的三角函数和的计算1000100sin)sincos()(nnnnnntnAatnbtnaatx第第n n次谐波的幅值：次

10、谐波的幅值：22nnnAabtannnnab第第n n次谐波的初相角：次谐波的初相角：结论：周期信号是由一个或者几个、乃至无穷多个不同频结论：周期信号是由一个或者几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。率的谐波叠加而成。一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱例题例题1 1：周期性三角函数的傅里叶级数展开：周期性三角函数的傅里叶级数展开( (时域到频域的转换时域到频域的转换) )图图1-61-6 0000202202TAAttTx tTAAttT 周期信号表达式：周期信号表达式：一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数

11、的三角函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期性三角函数的傅里叶级数展开周期性三角函数的傅里叶级数展开( (时域到频域的转换时域到频域的转换) )常值分量：常值分量： 00020000021222TTTAAax t dtAt dtTTT余弦分量余弦分量的幅值：的幅值： 00022000000222222242coscos41,3,5,4sin202,4,6,TTTnAax tntdtAtntdtTTTAnAnnnn正弦分量正弦分量的幅值：的幅值： 0020022sin0TTnbx tntdtT 000222411coscos3cos5235AAx tttt一、傅里叶级数

12、的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式周期性三角函数的幅值谱和相频特性周期性三角函数的幅值谱和相频特性一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复数表达形式（傅里叶级数的复数表达形式（推导推导）：x tC ennjntn( ), (,.) 0012dtetxTCTTtjnn20200)(10欧拉公式：欧拉公式：cossin1jwtetjtj1cos21sin2jtjtjtjtteetjee00

13、01( )(cossin)nnnx taantbnt傅里叶级数三角式傅里叶级数三角式 0020022cosTTnax tntdtT 0020022sinTTnbx tntdtTnInRnjCCC Cn：代表：代表n次谐波分量的幅度和相位，是个复数，具有实次谐波分量的幅度和相位，是个复数，具有实部和虚部部和虚部 其中的其中的n取值：取值： -到到+ 上的整数，代表有复数取值代表上的整数，代表有复数取值代表负频。复指数函数的傅里叶级数展开，是双边谱特性。负频。复指数函数的傅里叶级数展开，是双边谱特性。 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 实部频率特性：实部频率特性： 虚部频率特性：虚部频率特

14、性：22|nInRnCCC)/(tan1nRnInCCnRCnIC第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数三角展开式和复指数函数展开之间的关系傅里叶级数的复指数表达形式：傅里叶级数的复指数表达形式：10001001000110sin)(cos)()sin(cos)sin(cos)(000nnnnnnnnnntjnnntjnnntjnntnCCjtnCCCtnjtnCtnjtnCCeCeCCeCt

15、x)()(00nnnnnnCCjbCCaCa第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式单边频率特性与双边频率特性：单边频率特性与双边频率特性：)/(tan2121|)(21)(2112200nnnnbnnnnnnnnabAbaCjbaCjbaCaC 复指数展开系数具有共轭对称性：复指数展开系数具有共轭对称性： 双边幅值谱是单边幅值谱的一半。双边幅值谱是单边幅值谱的一半。nInInRnRnnCCCCCC*nnAC21第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱余、正弦函数的频谱图如图余、正弦函数的频谱图如图1-91-

16、9所示。所示。图图1-91-9 00)cos)sina x ttb x tt二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式1cos21sin2jtjtjtjtteetjee第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期信号的频谱具有三个特点：周期信号的频谱具有三个特点：1 1）离散性离散性：周期信号的频谱是离散的。：周期信号的频谱是离散的。2 2）谐波性谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，：每条谱线只出现在基波频率的整数倍上， 基波频率是诸分量频率的公约数。基波频率是诸分量频率的公约数。3 3）收敛性收敛性：谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高：谐波幅值总的趋

17、势是随谐波次数的增高 而减小而减小。二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式频谱图的概念频谱图的概念( (重要重要) ) 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 f fn n (0 0) )为横坐标，为横坐标，b bn n 、a an n为纵坐标画图，称为实频虚频谱为纵坐标画图，称为实频虚频谱图。图。图例图例二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式以频率为横坐标，以频率为横坐标，An、 为

18、纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值相位谱幅值相位谱n第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式以以fn为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为功率谱。为纵坐标画图，则称为功率谱。 2nA第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱例例2 2 分析周期方波的频谱，该方波信号的时域描述分析周期方波的频谱，该方波信号的时域描述如图所示。如图所示。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱解：由三角傅里叶级数求周期方波的频域描述。如解：由三角傅里叶级数求周期方波的频域描述。如图可知此信号为奇函数，由偶函数

19、和奇函数的傅里图可知此信号为奇函数，由偶函数和奇函数的傅里叶级数定理可得：叶级数定理可得： 二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱根据上述两点可知，即此周期方波信号完全由正弦根据上述两点可知，即此周期方波信号完全由正弦分量所组成，其各次正弦波的幅值：分量所组成，其各次正弦波的幅值：0)(1220dttxTaTT0cos)(2220TTntdtntxTa2022( )sinTTnbx tntdtT200020sin2sin2TTtdtnTtdtnT1cos2nn02 42( 1)141,3,()nnnnn ， ，（偶数

20、），奇数二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱此方波展开的傅里叶级数如下：此方波展开的傅里叶级数如下： ttttf0005sin513sin31sin4)(它不含它不含常值常值分量且仅含奇次谐波。它的两个序列为：分量且仅含奇次谐波。它的两个序列为：4,arctan0nnnnnaAbnb二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期方波的频谱图周期方波的频谱图二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式周期信号的强度以峰值、

21、绝对均值、有效值和平均功率周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表述。来表述。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述峰峰 值：值：峰峰- -峰峰 值：值：pxp px绝对均值：绝对均值：x有有 效效 值：值：rmsx平均功率：平均功率：avP周期信号强度计算方法周期信号强度计算方法第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述峰峰 值：值：峰峰- -峰值：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。峰值：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。 maxpxx t绝对均值：绝对均值：

22、0001Txx t dtT有有 效效 值：值： 02001Trmsxxt dtT平均功率：平均功率： 02001TavPxt dtT第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述实验：方波信号的合成与分解实验：方波信号的合成与分解.5/ )5sin(3/ )3sin()sin()(tAtAtAtx实验：手机和弦铃声的合成第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。通常所说的非周期信号是指瞬变非周期

23、信号。图图1-11a1-11a为矩形脉冲信号，为矩形脉冲信号，图图1-11b1-11b为指数衰减信号，为指数衰减信号，图图1-11c1-11c为衰减振荡，为衰减振荡，图图1-11d1-11d为单一脉冲。为单一脉冲。图图1-111-11一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）考虑到：考虑到：T0，0无穷小，记无穷小，记为为d； k 0 （由离散量变为（由离散量变为连续量），而连续量），而2d2111T同时，同时， 第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱dtetxTCT

24、Ttjnn20200)(10 x tC ennjntn( ), (,.) 0012一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT） 02000201( )TTjntjntnx tx t edt eT( )2j tj tdx t edt e1( )2j tj tx t edt ed已知已知( )( )edjtx tX傅里叶反变换式傅里叶反变换式于是，于是，111( )lim( )ed2jtkTXX Tx tt傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续

25、频谱信号的傅里叶变换（信号的傅里叶变换（FTFT） 12j tXx t edt信号的傅里叶逆变换信号的傅里叶逆变换(IFT)(IFT) j tx tXed FTIFTx tX傅里叶变换是用来建立信号的时域描述和频域傅里叶变换是用来建立信号的时域描述和频域描述一一对应关系的工具。描述一一对应关系的工具。X()称为称为x(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称简称频谱频谱。x(t)称为称为X()的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）也可简记为也可简记为 1F1F2j tj tXx tx t edtx tXXed或或 x(t)

26、 X()X()是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念X() 是一个是一个连续谱连续谱X() 包含了包含了从零到无限高从零到无限高频的所有频率分量频的所有频率分量各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波关系关系非周期信号非周期信号FT的物理意义的物理意义一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱X()一般是复函数，写为一般是复函数，写为说明：说明： 前面推导并未遵循严格的数学步骤。前面推导并未遵循严格的数学步骤。 jXXe |X()|幅度谱幅度谱 ()相位谱相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，非周期信号的幅度频谱是频

27、率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。 一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱22( )Re ( )Im ( )XXXIm( )( )arctanRe( )XX 求矩形窗函数的频谱，函数如图求矩形窗函数的频谱，函数如图1-121-12所示。所示。第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 1202Ttw tTt2f j tWw t edt 222212TjftjftjfTjfTTWfw t edtedteejf图图1-121-121sin2jftjftftj

28、eesinsinfTTTcfTfT一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）2jfTjfTjeefsinc 的图像如图的图像如图1-13所示。所示。第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-131-13sinsinsinsinc fTTTcfTfT，一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）实验：典型信号的频谱分析实验：典型信号的频谱分析第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）频谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分

29、析中最常用的一种手段。常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFT）1.1.奇偶虚实性奇偶虚实性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱

30、瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系。立彼此一一对应的关系。时时 域域频频 域域实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数2.2.线性叠加性线性叠加性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 11221 1221122,x tXfxtXfc x tc xtc Xfc Xf若：则： 12j tX

31、x t edt j tx tXed3.3.对称性对称性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-141-14)()(fXtx若若)- ()(fxtX则则利用已知的傅里叶变换对即利用已知的傅里叶变换对即可得出相应的变换对。可得出相应的变换对。二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 1( )21( )2j tj txtXedxX tedtF Xt 4.4.时间尺度改变特性时间尺度改变特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-151-15)()(fXtx若若则则1()()0fx ktXkkk当时间尺度压缩当时间尺度压缩(k1)时，

32、频谱的频时，频谱的频带加宽、幅值降低；带加宽、幅值降低；当时间尺度扩展当时间尺度扩展(k1)时，其频谱变时，其频谱变窄、幅值增高。窄、幅值增高。二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 2211 122fjktjftkx kt edtx kt ed ktk5.5.时移和频移特性时移和频移特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱( )( )x tX f 020()( )jftx ttX f e 020( )()jf tx t eX ff 若若则则时移特性时移特性频移特性频移特性 （1 1）将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而）将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而

33、相频中相角的改变量和频率成正比相频中相角的改变量和频率成正比02ft 证明时移特性：证明时移特性： FT x (t t0 ) tttxtjde)(000ede)(tjjttx)(e0Xtj二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 （2 2）左侧是时域信号与正、余弦信号之和的乘）左侧是时域信号与正、余弦信号之和的乘积积证明频移特性：证明频移特性： IFT x (t t0 ) 0001000121212j tj stjtjtj sFXXedsXs edseXs edsex t第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质6.6

34、.卷积特性卷积特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱112212121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x tXfx tXfx tx tXf Xfx t x tXfXf 若若则则卷积的定义：卷积的定义： 1212x txtxxtd二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 卷积积分在测试中是一个十分重要的概念。特别是关于信卷积积分在测试中是一个十分重要的概念。特别是关于信号的时域与频域分析，号的时域与频域分析，它是沟通时域它是沟通时域频域的一个桥梁频域的一个桥梁。 时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理时域

35、卷积特性证明时域卷积特性证明第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 21212jftFT x txtxxtdedt二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 212jftxxtedt d 1212x txtxxtd按照定义按照定义 时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。卷积，等效于在频域中频谱中相乘。 21212()=根据时移特性jftxXf edXfXf7.7.微分和积分特性微分和积分特性第三节第三节 瞬变非周

36、期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱( )( 2)( )nnnd x tjfX fdt ( )(2)( )nnnd X fjfx tdf ( )( )x tX f 若若则则)(21)(fXfjdttxt 在振动测试在振动测试中，如果测得振中，如果测得振动系统的位移、动系统的位移、速度或加速度中速度或加速度中之任一参数，应之任一参数，应用微分、积分特用微分、积分特性就可以获得其性就可以获得其他参数的频谱。他参数的频谱。二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质1.1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、

37、几种典型信号的频谱幅值谱幅值谱相位谱相位谱主瓣主瓣旁瓣旁瓣2. 函数及其频谱函数及其频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱(1) 函数的定义：在很短的时间内激发一个矩阵脉函数的定义：在很短的时间内激发一个矩阵脉冲，其面积为冲，其面积为1，当时间长度趋近于，当时间长度趋近于0时，矩形脉冲时，矩形脉冲的极限就称为的极限就称为函数。函数。图图1-161-16从极限值看从极限值看： 000ttt从强度角度看从强度角度看： 0lim1t dtSt dt三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱(2) 函数的采样性质函数的采样性质任一信号任一信号 与与 相乘的广义积分等于此信

38、相乘的广义积分等于此信号在零点处的函数值号在零点处的函数值 。( )x t( ) t(0)x00( ) ()()x ttt dtxt任一信号与具有向左或向右时移任一信号与具有向左或向右时移t t0 0的单位脉冲信的单位脉冲信号号 乘积的广义积分等于在乘积的广义积分等于在 点处的函数点处的函数值值 ，此性质对连续函数的采样十分重要。此性质对连续函数的采样十分重要。0t0()tt0( )x t第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft( ) ( )(0) ( )f ttft

39、第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-171-17(3) 函数的卷积函数的卷积)()(*)(txttx)()(*)(00ttxtttx =x ttxtdxt dx t 三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱(4) 函数的频谱函数的频谱 201jftft edte傅里叶变换：傅里叶变换：三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱时域时域频域频域(t)(脉冲信号)1(均值频谱密度函数)1(直流

40、信号)(f)(在f=0处有脉冲谱线)(t-t0)(函数时移t0)e-j2ft0(各频率成份分别相移2ft0)ej2ft0(复指数函数)(f-f0)(将(f)频移到f0) 根据傅立叶变换的对称性和时移、频移性质，根据傅立叶变换的对称性和时移、频移性质，可得到如下变换对可得到如下变换对 对线性系统来说，对线性系统来说，系统的输出是任意输入与系统系统的输出是任意输入与系统脉冲响应函数的卷积。脉冲响应函数的卷积。在单位脉冲输入时，其输出中在单位脉冲输入时，其输出中必定包含有对所有频率的响应。必定包含有对所有频率的响应。( (t t) )频谱的均匀性频谱的均匀性在各种机械结构的动态性能试验中得到广泛的应

41、用在各种机械结构的动态性能试验中得到广泛的应用。工程中，我们经常使用钢球或榔头来敲击机械结构，工程中，我们经常使用钢球或榔头来敲击机械结构，在此冲击力的作用下，机械结构的各部分会相应地产在此冲击力的作用下，机械结构的各部分会相应地产生振动，此振动中含有在一定频率宽度上对各频率激生振动，此振动中含有在一定频率宽度上对各频率激振分力的响应。如果我们测出了此振动响应，就知道振分力的响应。如果我们测出了此振动响应，就知道了机械结构的频率特性，这就是我们通常所说的脉冲了机械结构的频率特性，这就是我们通常所说的脉冲激振试验法。激振试验法。第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几

42、种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱3 3、 正、余弦函数的频谱正、余弦函数的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱000cos2 ()() Ff tffff0001sin2 ()()2Ff tjffff由由0001sin2jtjttjee0001cos2jtjttee有有三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱两侧求傅里叶变换：两侧求傅里叶变换：tfjtfjeFeFtfF0022021212cos4 4、 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-201-20梳状函数：梳状函数：,(0,

43、 1, 2)ssncomb t TtnTn 三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱式中，式中，Ts周期脉冲的周期。周期脉冲的周期。,scomb t T是周期信号，所以可由傅里叶级数展开为是周期信号，所以可由傅里叶级数展开为,sjntsnncomb t TC e 其中：其中：221,sssTjntTnssCcomb t TedtT221( )-22sssTjntssTsTTt edttT在内只有一个（）ssfT1将上式傅里叶级数展开式，有：将上式傅里叶级数展开式，有：21,sjnftsnscom b tTeT第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频

44、谱三、几种典型信号的频谱频谱：频谱：11,sskkssskcomb f ffkffTTT根据傅里叶变换的频移特性可求得它的频谱：根据傅里叶变换的频移特性可求得它的频谱：图2-16 周期单位脉冲信号的频谱图周期单位脉冲信号的频谱图仍然是一个周期脉冲，其频域周期周期单位脉冲信号的频谱图仍然是一个周期脉冲，其频域周期fsfs为时域周期为时域周期TsTs的倒数，各脉冲的强度也为时域周期的倒数，各脉冲的强度也为时域周期TsTs的倒数。的倒数。第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱第四节第四节 随机信号随机信号一、概述一、概述 随机信号是

45、不能用确定的数学关系式来描述的随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。变动服从统计规律。随机过程随机过程平稳过程平稳过程非平稳过程非平稳过程各态历经随机过程各态历经随机过程第四节第四节 随机信号随机信号一、概述一、概述图图1-211-21),(,),()(1txtxtxi单个样本函数：单个样本函数：)(txi随机过程随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数：在同一试验条件下，全部样本函数的集合就是随机过

46、程，记作的集合就是随机过程，记作第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数1 1） 均值、方差和均方值均值、方差和均方值2 2） 概率密度函数概率密度函数3 3） 自相关函数自相关函数4 4） 功率谱密度函数功率谱密度函数 信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。读取特征参数。 第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征

47、参数二、随机信号的主要特征参数信号波形图信号波形图AtT PPp-p周期周期T T，频率，频率f=1/Tf=1/T峰值峰值P P峰峰值峰峰值P Pp-pp-p1 1、 均值、方差和均方值均值、方差和均方值第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数均值表示均值均值表示均值Ex(t)Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。表示集合平均值或数学期望值。TTTxdttxtxE01)(lim)(x 均值均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。为直流分量。第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的

48、主要特征参数方差描述随机信号的波动分量。方差描述随机信号的波动分量。22120 xTTxTE x tE x tx tdt ( ( ) ( ) lim( ( )大方差大方差 小方差小方差 方差：反映了信号绕均值的波动程度。方差：反映了信号绕均值的波动程度。 201limTxxTx tdtT标准差标准差第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2rmsxx22210( )lim( )TxTTE x tx t dt均方值描述信号的均方值均方值描述信号的均方值Ex2(t)Ex2(t)，表达了信号，表达了信号的强度；其正平方根值的强度；其正平方根值 ，又称为有效值

49、，又称为有效值(RMS)(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。，也是信号平均能量的一种表达。 rmsx均值、方差、和均方值的相互关系：均值、方差、和均方值的相互关系：第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2 2、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间的概率。如图区间的概率。如图1-221-22所示。所示。图图1-221-22二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2 2、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号如

50、图如图1-221-22中，落在区间内的时间为：中，落在区间内的时间为：121nxniiTtttt 幅值落在区间的概率：幅值落在区间的概率： limxrTTPxx txxT概率密度函数的定义：概率密度函数的定义： 0limrxPxx txxp xx 二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2 2、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号直方图：直方图：以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。直方图直方图概率密度函数概率密度函数 归一化归一化二、随机信号的

51、主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2 2、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号概率密度函数的性质：概率密度函数的性质： 10p x 21p x dx 3baP axbp x dx二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数 概率密度函数概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一。是随机信号的主要特征参数之一。2 2、 概率分布函数概率分布函数第四节第四节 随机信号随机信号 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R R的概率，其定义为：的概率，其定义为： 概率分布函数又称之

52、为累积概率，表示了落概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。在某一区间的概率。 二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数第四节第四节 随机信号随机信号常见的四种随机信号如图常见的四种随机信号如图1-231-23所示。所示。图图1-231-23 正弦信号、正弦信号加随机噪声、窄带随机正弦信号、正弦信号加随机噪声、窄带随机信号、宽带随机信号的概率密度函数信号、宽带随机信号的概率密度函数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数2 2、 概率分布函数概率分布函数第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数第四节第四节 随机信

53、号随机信号三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差 对于时间平均估对于时间平均估计来说，随机误差还计来说，随机误差还与信号的频带宽度的与信号的频带宽度的平方根成反比，平方根成反比，信号信号频带愈宽，愈容易获频带愈宽，愈容易获得误差小的估计得误差小的估计。估。估计值的统计采样误差计值的统计采样误差如图如图1-241-24所示。所示。图图1-241-24 随机信号特征参数分析就是由有限样本获取样本随机信号特征参数分析就是由有限样本获取样本参数，然后以样本参数作为随机信号特征参数的估计参数，然后以样本参数作为随机信号特征参数的估计值，带来的误差称为值，带来的误差称为

54、统计采样误差统计采样误差。第四节第四节 随机信号随机信号三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差均方误差：均方误差：)(2 ED)()()()(222222222bDEEbEEEEEED第四节第四节 随机信号随机信号三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差时间平均估计：时间平均估计：0201( )1( )TxTxx t dtTxt dtT集合平均估计：集合平均估计：MiitxMiitxtxMtxMu112,11,)(1)(1111 1、周期性信号的傅里叶级数展开（、周期性信号的傅里叶级数展开（3 3个公式）个公式）2 2、非周期信号的傅里叶变换公式、非周期信号的傅里叶变换公式（正、反变换公式）（正、反变换公式）3 3、傅里叶变换的性质、傅里叶变换的性质4 4、随机信号的特征参数及其物理意义、随机信号的特征参数及其物理意义本章小结本章小结习题解析习题解析周期性三角函数