D7_8周期为2l的函数的傅里叶级数(黑字)

1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 第十一章第十一章 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为周期为 2l 函数函数 f (x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换lxz将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期

2、函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: 令令lxz, 则则,llx,z令令)(zF, )(z lf则则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以所以)(zF且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件, 将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:1

3、0sincos2)(nnnznbznaazF( 在在 F(z) 的连续点处的连续点处 )(xf变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数 , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zznzFandcos)(1其中其中zznzFbndsin)(1令令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在在 f (x) 的的 连续点处连续点处 )xlxnxflldcos)(证毕证毕 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

4、束结束 说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中其中(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)lxnsinl20l如果如果 f (x) 为为偶函数偶函数, 则有则有(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况无论哪种情况 ,).()(21xfxf在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, 傅里叶级傅里叶级数数收敛于收敛于l20l如果如果 f (x) 为为奇函数奇函数, 则有则有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(tfto

5、0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流电压交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消经半波整流后负压消失失, ,试求半波整流函数的试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数这个半波整流函数2,它在它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅傅里里叶级数叶级数. .,上的表达式为上的表达式为0t t02E的周期是的周期是22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1

6、(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时时机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由于半波整流函数由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直

7、流部分直流部分说明说明:交流部分交流部分由收由收收敛定理可得收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 把把展开成展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 则有则有2oyx),2,

8、1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在在 x = 2 k 处级处级数收敛于何值数收敛于何值?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2oyx(2) 将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)

9、20( x12 kn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 此式对此式对0 x也成立也成立,8) 12(1212kk由此还可导出由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk据此有据此有2oyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,方法方法1, , )(baxxf令令,2abzx即即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在在2,2abab上展成傅里叶

10、级数上展成傅里叶级数)(zF周期延拓周期延拓将将2abxz)(xf在在,ba代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方法方法2, , )(baxxf令令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在在ab,0上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数)(zF奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式axz)(xf在在,ba即即axz上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(zFz55例例3. 将函数将函数)155(

11、10)(xxxf展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解: 令令,10 xz设设)55( )10()()(zzzfxfzF将将F(z) 延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数, 理理条件条件.由于由于F(z) 是奇函数是奇函数, 故故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用利用欧拉公式欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设设 f

12、(x)是周期为是周期为 2 l 的周期函数的周期函数 , 则则lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(

13、dnxlxnie注意到注意到2nnnbacxd同理同理),2, 1(nlxnie机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2, 1,0(n因此得因此得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 式式的傅里叶级数的傅里叶级数 . 例例4. 把宽为把宽为 ,高为高为 h ,周期为周期为 T 的矩形波展成复数形的矩形波展成复数形解解: 在一个周期在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里叶系数为它的复数形式的傅里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函

14、数表达式为内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为正弦为正弦 级数级数. 内容小结内容小结1. 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxn

15、annnsincos1(x 间断点间断点)其中其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当当f (x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓3. 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出利用欧拉公式导出机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形图形?答答: 易看出奇偶性及间断点易看出奇偶

16、性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子如分母中出现因子nk作业作业: P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3 从而便于计算系数和写出从而便于计算系数和写出收敛域收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算必须单独计算.习题课习题课 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题备用题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数期的傅立叶级数, 并由此求级数并由此求级数121nn(91 考研考研) 解解:y1ox12)(xf为偶函数为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxn