第4章动态电路的时域分析

1、第四章 动态电路的时域分析第四章 动态电路的时域分析4.1 动态元件动态元件 4.2 动态电路的方程动态电路的方程 4.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的完全响应一阶电路的完全响应 4.6 一阶电路的单位阶跃响应一阶电路的单位阶跃响应 4.7 二阶电路分析二阶电路分析 4.8 正弦激励下一阶电路的响应正弦激励下一阶电路的响应 4.9 小结小结 第四章 动态电路的时域分析4.1 动动 态元件态元件 图图 4.1-1 线性时不变电容元件线性时不变电容元件 第四章 动态电路的时域分析电荷电荷量量q与其端电压的关系为与其端

2、电压的关系为)()(tCutq式中C称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)。电容元件简称为电容， 其符号C既表示元件的参数，也表示电容元件。 在电路分析中，关心的是元件的VAR。若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向， 如图4.1-1(b)所示， 则有dtduCdtdqi（4.1-2）第四章 动态电路的时域分析 (1) 任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。如果电容两端加直流电压， 则i=0， 电容元件相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。 (2) 在实际电路中， 通过电容的电流i总是为有限值，这意味着du/dt必须为有限值，也就是说， 电容两端电压u必定是时间t的连

3、续函数，而不能跃变。这从数学上可以很好地理解， 当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。将式(4.1-2)改写为 dttiCtdu)(1)(对上式从-到t进行积分，并设u(-)=0，得 tdiCtdu)(1)(第四章 动态电路的时域分析电容有“记忆”电流的作用 设t0为初始时刻。如果只讨论tt0的情况，式(4.1-3)可改写为 diCtudiCdiCtuttttt000)(1)()(1)(1)(0diCtut0)(1)(0dttdutCutitutp)()()()()(第四章 动态电路的时域分析)(21)(21)()()()()()(22)()(CutCuduCuddduCudpttuuttC

4、一般总可以认为u(-)=0， 得电容的储能为 )(21)(2tCutC电容所储存的能量一定大于或等于零。第四章 动态电路的时域分析 例 4 . 1 - 1 图 4 . 1 - 2 ( a ) 所 示 电 路 中 的 us( t )波形如图(b)所示，已知电容C=0.5F，求电流i，功率p(t)和储能wC(t)， 并绘出它们的波形。解解 写出us的函数表示式为 0)2(220)(tttusstststt221100第四章 动态电路的时域分析0110)(dtduCtisstststt2211000)2(220)(tttpstststt221100第四章 动态电路的时域分析其波形如图(d)所示。 根

5、据电容储能 )(212tCuwC0)2(0)(22tttwCstststt221100第四章 动态电路的时域分析图 4.1 2 例4.1 - 1用图 第四章 动态电路的时域分析图 4.1 2 例4.1 - 1用图 第四章 动态电路的时域分析4.1.2 电感元件电感元件 图 4.1 3 实际电感器示意图 第四章 动态电路的时域分析图 4.1 4 线性时不变电感元件 第四章 动态电路的时域分析dttdiLtudtdtutLit)()()()()( (1) 任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变化率成正比。如果通过电感的电流是直流，则u=0， 电感相当于短路。 (2) 由于电感上的电压为有限值

6、， 故电感中的电流不能跃变。（4.1-9）第四章 动态电路的时域分析对(4.1 - 9)式两端同时积分，并设i(-)=0， 得 duLtit)(1)(设t0为初始时刻， (4.1 - 10)式可改写为 duLtiduLduLtittttt000)(1)()(1)(1)(0duLtit)(1)(0（4.1-10）第四章 动态电路的时域分析 设电感上的电压、电流采用关联参考方向，由(4.1-9)式，得电感元件的吸收功率为 dttditLititutp)()()()()(对上式从-到t进行积分， 得电感元件的储能为 )(21)()()()()()(2)()(tLidiiLdddiiLdptwtiit

7、tL第四章 动态电路的时域分析4.1.3 电感、电容的串、并联电感、电容的串、并联 图 4.1 5 电感串联 第四章 动态电路的时域分析根据电感元件VAR的微分形式， 有 dtdiLudtdiLu2211,dtdiLdtdiLLuuu)(212121LLLnLLLL 21uLdtdi1第四章 动态电路的时域分析uLLLuLLuuLLLuLLu2122221111 电感L1与L2相并联的电路如图4.1 - 6(a)所示，电感L1和L2的两端为同一电压u。根据电感元件VAR的积分形式有 duLiduLitt)(1)(12211第四章 动态电路的时域分析图 4.1 6 电感并联 第四章 动态电路的时

8、域分析由KCL，得端口电流 duLduLLiiitt)(1)(112121式中 21111LLL2121LLLLL第四章 动态电路的时域分析nLLLL111121 Lidut)(iLLLiLiiLLLiLi211222121111第四章 动态电路的时域分析图 4.1 7 电容串联第四章 动态电路的时域分析ttdiCudiCu)(1)(12211diCdiCCuuutt)(1)(11212121111CCC第四章 动态电路的时域分析或写为 2121CCCCC若有n个电容Ci(i=1, 2, , n)相串联，同理可推得其等效电容为 nCCCC111121Cudit)(第四章 动态电路的时域分析uC

9、CCuCCuuCCCuCCu2112221211 电容C1和C2相并联的电路如图4.1-8(a)所示，电容C1与C2两端为同一电压u。根据电容元件VAR的微分形式，有 dtduCidtduCi2211第四章 动态电路的时域分析由KCL，得端口电流为 dtduCdtduCCiii)(212121CCC第四章 动态电路的时域分析图 4.1 8 电容并联 第四章 动态电路的时域分析若有n个电容Ci(i=1, 2, , n)相并联，同理可推得其等效电容为 nCCCC21iCdtdu1iCCCiCCiiCCCiCCi2122221111第四章 动态电路的时域分析4.2 动态电路的方程动态电路的方程 4.

10、2.1 方程的建立方程的建立 图 4.2 1 RC串联电路 第四章 动态电路的时域分析 电路中开关的接通、断开或者电路参数的突然变化等统称为“换路”。 )()()(tututusCRdtduRCRiudtduCiCRC,sCCuRCuRCdtdu11根据KVL列出电路的回路电压方程为 由于 将它们代入上式， 并稍加整理， 得 第四章 动态电路的时域分析图 4.2 2 RL并联电路 第四章 动态电路的时域分析)()()(tititisLRdtdiLuRuCiLLL,sLLiLRiLRdtdi第四章 动态电路的时域分析图 4.2 3 RLC串联电路 第四章 动态电路的时域分析 图4.2-3所示RL

11、C串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得 )()()()(tutututusCRL由于 22,dtudLCdtdiLudtduRCRiudtduCiCLCRCsCCCuLCuLCdtduLRdtud1122 一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。 第四章 动态电路的时域分析4.2.2 电路量的初始值计算电路量的初始值计算 我们把电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为 )()()()(0000tititutuLLCC0000)(1

12、)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu（4.2-4）第四章 动态电路的时域分析若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。 一般情况下，选择t0=0，则由(4.2 - 4)式得 )0()0()0()0(LLCCiiuu 根据置换定理，在t=t0+时，用电压等于u(t0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件，独立电源均取t=t0+时的值。 第四章 动态电路的时域分析 例例 4.2 1 电路如图4.2 - 4(a)所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当t=0时开关

13、闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。 图 4.2 4 例4.2 - 1用图 第四章 动态电路的时域分析 解解 (1) 求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图(b)所示，由图(b)可得 VuC12)0(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有 VuuCC12)0()0(第四章 动态电路的时域分析(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值。由图(c)可知 AiiiARuiRuUiCCCs5 . 1)0()0()0(5 . 1812)0()0(041212)0()0(21

14、2211第四章 动态电路的时域分析 例例 4.2 电路如图4.2 - 5(a)所示，t=0时开关S由1板向2，在t0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。 图 4.2 5 例4.2 - 2用图 第四章 动态电路的时域分析解解 ARUisL339)0(1(1) 由t0时的电路，求iL(0-)。 AiiLL3)0()0(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有 第四章 动态电路的时域分析(3) 由0+等效电路，计算各初始值。由图(c)可知 ViRuALiiiAiRRRiLL6) 1(6)0()0(132)0()0()0(23636)0()0(22122121第四章 动

15、态电路的时域分析 例例 4.2-3 电路如图4.2 - 6(a)所示，t=0时开关S由1扳向2，在t0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。 图 4.2 6 例4.2 - 3用图 第四章 动态电路的时域分析解解 (1) ViRuARRUiLCsL2045)0()0(45124)0(221(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有 AiiVuuLLCC4)0()0(20)0()0(第四章 动态电路的时域分析(3) 由0+等效电路，计算各初始值。 044)0()0()0(4520)0()0(222iiiARUiLCC求初始值的简要步骤如下： (1) 由t0时的电路， 求出uC(0-)

16、, iL(0-)； (2) 画出0+等效电路； (3) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。 第四章 动态电路的时域分析4.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 我们把这种外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。 图 4.3 1 一阶RC电路的零输入响应 第四章 动态电路的时域分析(4.3-1)(4.3-2)第四章 动态电路的时域分析(4.3-2)令 具有时间量纲,即,RC第四章 动态电路的时域分析 电路在t0时，处于稳定状态，电容上的电压为R0Is。当电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐下降到零，我们把这一过程称为过渡过程，或称为暂

17、态过程。当t时，过渡过程结束，电路又处于另一稳定状态。时间常数的大小反映了电路过渡过程的进展速度，越大，过渡过程的进展越慢。当t=时，当t=4时， 第四章 动态电路的时域分析图 4.3 2 不同时间常数的uC波形 第四章 动态电路的时域分析第四章 动态电路的时域分析由由KVL得得 LRLLRLRiudtdiLuuu,00LLiLRdtdi根据换路定律，得初始条件为0)0()0(IiiLL第四章 动态电路的时域分析(4.3-9)第四章 动态电路的时域分析令=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，(4.3 - 9) 式可表示为0)0(0teIeiittLL 由于零输入响应是

18、由动态元件的初始储能所产生的，随着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗，因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么0)0()(teytytxx第四章 动态电路的时域分析 例例 4.3 1 电路如图4.3 - 4(a) 所示。t0时电路处于稳定， t=0时开关S打开。求t0 时的电流iL和电压uR、uL。图 4.3 4 例4.3 - 1用图 第四章 动态电路的时域分析第四章 动态电路的时域分析第四章 动态电路的时域分析4.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零，仅由t0外

19、加激励所产生的响应。 图4.4-1 一阶RC电路的零状态响应 第四章 动态电路的时域分析RtuUtiCs)()(sCRUuudtduRCRiudtduCiCRC,sCCURCuRCdtdu11第四章 动态电路的时域分析0)0(CuCpChCuuu01ChChuRCdtdu其初始条件为 其特征方程为 01RCpRCp1第四章 动态电路的时域分析RCtptChAeAeusURCKRC11表表 4-1 不同激励时动态电路的特解不同激励时动态电路的特解 第四章 动态电路的时域分析sCpUKu0)0(sCUAusUA00)1 (tAeRUdtduCitVeUutsCtsCsLRIii1第四章 动态电路的

20、时域分析LLRRLLRLRiRRdtdiRLRuiiRdtdiLuuu121111221sLLILRiLRRdtdi1210)0(Li第四章 动态电路的时域分析121LRRp21RRLtLhAeisILRKLRR121sLPIRRRKi211第四章 动态电路的时域分析stLpLhLIRRRAeiii2110)0(211sLIRRRAisIRRRA21100)1 (1211tVeIRdtdiLutAeIRRRitsLLtsL第四章 动态电路的时域分析AIRRRitVeutAeisLtLtL1)(060121122第四章 动态电路的时域分析4.4-2 一阶一阶RL电路的零状态响应电路的零状态响应第

21、四章 动态电路的时域分析4.5 一阶电路的完全响应一阶电路的完全响应 假若电路的初始状态不为零，同时又有外加激励电源的作用，这时电路的响应称为完全响应。对于线性电路而言，其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即 )()()(tytytyfx第四章 动态电路的时域分析图 4.5-1 一阶电路的等效第四章 动态电路的时域分析图4.5-2 一阶RC电路 sRRRCCRCsRCIidtdidtdiRCdtduCiRiuIii11,(4.5-1)第四章 动态电路的时域分析图 4.5-3 一阶RL电路 sLLLLLRsLRULidtdidtdiLuRiuUuu11,(4.5-2)第四章 动态电路的时域

22、分析 假如电路的响应用y(t)表示，激励用f(t)表示，那么由(4.5-1)式和(4.5-2)式可知，一阶电路微分方程的一般形式可表示为 )0(:)()(1)(ytbftydttdy初始条件(4.5-3)式中为一阶电路的时间常数。b为常数，其大小由电路结构和元件参数所决定。(4.5-3)式为一阶线性常系数非齐次微分方程。其齐次解为Ae-t/，其中A为待定常数。由于激励f(t)为直流电源，故其特解为常数，令yp(t)=K。这样(4.5-3)式的完全解为 KAetytytytph)()()(4.5-4)第四章 动态电路的时域分析将初始条件代入上式， 得 KAy)0(KyA)0(teKyKty)0(

23、)()()(ytyIimKt当t时，上式右端的第二项趋于零，于是得 (4.5-6)第四章 动态电路的时域分析y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。将(4.5-6)式代入(4.5-5)式，得 0)()0()()(teyyytyt自由响应暂态响应强迫响应稳态响应第四章 动态电路的时域分析 计算图4.5-3所示RL电路中的电感电流iL。由于iL(0+)=I0，iL()=Us/R和=L/R，代入三要素公式得 00teRUIRUitLRssL暂态响应稳态响应上式也可改写为 010teRUeIitLRsLtLR 零状态响应零输入响应第四章 动态电路的时域分析 以图4.5-3所示的电

24、路为例，在求零输入响应时，独立电源要为零，即电压源短路、电流源开路，如图4.5-4(a)所示。这时电感中的初始电流iLx(0+)=I0。由于电路中无独立电源，故t时，电感中储存的磁能全部被电阻所消耗，电感电流iLx()=0。时间常数=L/R, 利用三要素公式得 00teIitLRLx第四章 动态电路的时域分析图4.5-4 分别求零输入响应和零状态响应时的RL电路第四章 动态电路的时域分析 求零状态响应时，初始状态为零，即iLf(0+)=0，电路如图4.5-4(b)所示。当t时，电路达到稳定，iLf()=Us/R。利用三要素公式得 0)1 (teRUitLRsLf第四章 动态电路的时域分析图 4

25、.5-5 iL的波形 第四章 动态电路的时域分析 例例 4.5-1 图4.5-6(a)所示电路，t=0时开关S闭合，闭合前电路处于稳定。求t0时的电感电流iL。 图 4.5-6 例4.5-1用图 第四章 动态电路的时域分析 解解 (1) 求iL(0+)。开关闭合前电路处于稳定，电感看作短路，iL(0-)=Is=3A，根据换路定律，有 AiiLL3)0()0(2) 求iL()。 AIRRRisL13211)(211第四章 动态电路的时域分析(3) 求。 sRLRRR3132121(4) 求iL 021) 13(133tAeeittL暂态响应稳态响应第四章 动态电路的时域分析 例例4.5-2 电路

26、如图4.5-7(a)所示，t0，即R2 。此时p1, p2为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根 CL/20222021pp微分方程的通解为 tptpCeAeAu2211第四章 动态电路的时域分析0)0(2211021pApAdtduAAutCC21121221)0()0(ppupAppupACC)()()0(211212tepepppuutptpCC第四章 动态电路的时域分析回路中的电流 )0()()(212121CtptpCuppCppKteeKdtduCi放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得，令 0)(2121mmtptpepepKdtdi122111ppnpptm第四章 动态电路的时域分析图 4.7-2 过阻尼时的uC和i的波形 第四章 动态电路的时域分析 (2) =0, 即 。 此时p1, p2为相等的负实数，称为临界阻尼。特征根为 CLR/221pp微分方程的通解为 )(21tAAeuatC1)0(AuC由初始条件 0210AAdtdutC第四章 动态电路的时域分析)0()0(21CCauAuA)()0()()1)(0(2tteCaudtduCiteatuuatCCatCC第四章 动态电路的时域分析 (3