医用物理学ch-3流体运动

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*第三章 流体动力学(Hydrodynamics)1一、本章的根本要求1、理解流体力学中的几个根本概念：理想流体、流线、流管、流动性、粘滞性、可压缩性、稳定流动、层流、湍流等。2、掌握连续性原理和理想流体的伯努利方程，并能熟练应用。3、了解实际流体运动时的内摩擦力、牛顿粘滞定律、泊肃叶定律，了解运动流体对物体的作用。2 流体运动的规律不仅在航空、水利、化工、建筑等工程技术上有着广泛的应用，而且在人体内部也起着十分重要的作用。例如，人体中养分的输送和废物的排泄就是通过血液循环和呼吸过程完成的。 在药物的合成和制造过程中，流体

2、的输送、测量和控制都是必不可少的。 掌握流体运动的规律是了解这些生理过程的根底下面先对静止流体中压强的概念进行讨论。二、流体动力学的应用3相对惯性系静止的流体内的压强分布 等高各点压强相等 说明：流体内等高各点压强相等, 即等压面与竖直方向垂直PASPBSAB在流体中取一柱状体积元，在水平方向应用平衡方程4xzydypS（p+dp）Sw如有自由外表，令p2=p0 p1=p 那么 p = p0+gh 设、g与y无关压强沿竖直方向的分布 取一高为dy的柱状体元，在竖直方向 应用平衡条件：5例 求大气压随高度的变化规律。设g为恒量，大气密度与压强成正比，即 ，为海平面大气的密度和压强解: 以海平面为

3、原点建立图示坐标o-y 63-1 理想流体的定常流动拉格朗日的追踪法 追踪每个流体微元的运动，根据动力学方程和初始条件求得微元的运动学方程和运动轨迹。流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条件不同，流迹也不同 。优缺点： 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 欧拉的速度场法 该方法把注意力放在流体流动的空间，观察各个流体微元经过空间各点的流速，每一点都对应一个流速矢量，这些流速矢量构成流速场。 本章采用欧拉的流速场的概念研究流体的运动。7实际流体 绝对不可压缩、完全没有粘性的流体。一、理想流体(ideal fluid)流动性 (flu

4、idity)可压缩性 (compressibility)粘滞性 (viscosity)理想流体:在研究流体问题时，突出流体的流动性,其可压缩性、粘性处于次要地位，可把实际流体视为理想流体，从而使问题变得简单。实际流体并非不可压缩,在(1)压缩系数小 如10的水,加1000atm,体积只改变5%.可看作不可压缩,气体虽易压缩,但在T、P不变时,v亦不变.(2)粘性小 气体的内摩檫小;水、酒精亦小。8二、定常流动1、稳定流动Steady Flow 稳定流动又称为定常流动。指流场中各空间点上的速度不随时间变化，只是坐标的函数 ，如以下图左所示。2、非稳定流动Unsteady Flow 非稳定流动又称

5、为非定常流动。指流场中各空间点上的运动参数全部或个别随时间变化,如以下图右所示。91流线3流线的特性：定常流动时，a. 流线和流迹线重合；b. 流线不能相交；c. 流线的形状保持不变。流线只能是一条光滑曲线。3 、流线(stream line)2稳定流动如果流线上各点流体微粒的速度都不随时间而改变,这种流动称为定常流动或稳定流动。 在流场中画一些曲线，使曲线上每点切线方向与该点的流速方向相同，这些曲线就叫作流线.10在定常流动中,将流体看成由许多流管组成,只要掌握一个流管中流体运动的规律,便知道整个流体运动的规律。4、流管：在流速场中, 由一束流线组成的管状体叫作流管tube of flow。

6、 sls 因为流线不能相交,所以管内外流体不能通过管壁互流，一般流管形状随时间而变，只有在稳定流动中，流管形状才不随时间变化。如下图211三.流体的连续性方程 equation of continuity 在稳定流动的理想流体中, 任取一细流管，由于体积不可压缩，流管形状不随时间变化，流迹与流线重合，故单位时间内通过截面S1的流体体积与通过截面S2的流体体积质量必然相等，即V1 S1V2 S2上式说明：截面大处，流速小，流线疏；截面小处，流速大，流线密。这一关系对任何垂直于流管的截面都是成立的，即12单位时间内通过某截面流体的体积当不可压缩流体做稳定流动时，沿同一流管流量守恒。流体的连续性方程

7、equation of continuity 连续性方程不仅适用于理想流体,对于实际流体,只要不可压缩并作定常流动也是适用的,只是速度为截面上的平均速度。连续性方程的应用:(1)浇花时怎样做才能使远处的花浇上水？(2)从主动脉到毛细血管为什麽v越来越小？见以下图Q称为通过该截面的流量，连续性方程可表述为：13143-2 伯努利方程及其应用 伯努利方程是理想流体稳定流动的根本动力学方程，它是在理想流体中应用功能原理推导出来的结果。一.伯努利方程(Bernoulli equation) 在稳定流动的理想流体中取一细流管, 任选ab这一段流体作为研究对象, 在t时间内从ab移动到a b v2,S2l

8、1l2v1,S1aabbP1P2h1h2功能原理：15v2,S2l1l2v1,S1aabbP1P2h1h2根据连续性方程：能量的变化16v2,S2l1l2v1,S1aabbP1P2h1h2代入 两边消去m，同时乘, 把脚标相同的项放在一起对有限细管，p,v,h应理解为平均值,令s0，流管趋于流线。称为势能静压强称为动能动压强由上式可知对于任意截面有17方程的物理意义：不可压缩的理想流体作定常流动时，在同一流线的不同点上或者同一微元流管的不同截面上，每单位体积流体的动能、势能和压强之和为一常量。 方程的适用条件：理想流体在同一流管中作定常流动。流管不同，相应的常量也不同，对于实际流体该方程仍具指

9、导意义。 伯努利方程是瑞士物理学家、数学家、医学家伯努利在1738年推导出来的,故称为伯努利方程。18伯努利，D(Daniel Bernoulli 17001782)生平简介： 伯努利，D(Daniel Bernoulli 17001782)瑞士物理学家、数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是数学家J.伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学。1721年获医学硕士学位。在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动

10、力学教授，1750年成为物理学教授。19在17251749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。 伯努利的奉献涉及到医学、力学、数学等各个方面。二、伯努利方程的应用1.水平管中p与v的关系对于水平流管，或在气体中高度差效应不显著的情况，那么伯努利方程为下面分析几个实际应用：方程说明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流速低的点上压强高。20(1)文丘利流量计原理P1,S1,v1P2,S2,v2hP1P2解：取图示流线上1、2两点，由伯努利方程有 由连续性方程有 求得 由压强公式：1221将代入中： 流量： P1

11、,S1,v1P2,S2,v2hP1P2所以根据h即可求出流速和流量 。均为定值，2122(2) 比托管 测量流速 如图,沿流线B A 列伯努利方程：测压管比托管驻点，测总压测静压总压和静压之差 称为动压强。 法国人比托，1773年原理：测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。23例 用于测气体流速的比托管原理P1,v1P2hP2P1v解：比托管附近的流线都来自流速相同的空间，因而对空间各点都相等式中是U形管中所装液体的密度，为流动气体的密度，g是重力加速度，h是U形管中液面的高度差。 对1,2两点列方程：24(3)

12、小孔流速 解：由于容器线度远大于小孔，在短时间内可视为理想流体稳定流动, 且vAvB, 可认为vA0 由伯努利方程： ABhP0,vP0,v0可见,从小孔流出的速度与物体自由下落h高度时的速度是相同的。如遇图示情况,均可按小孔流速问题处理，如输液器等。25例 如 图(a)所示是一虹吸管示意图。把一根充满水的粗细均匀的虹吸管插入水桶中，于是水就从虹吸管中流出。虹吸管的出口处比桶中水面低 H ，管 CD 比水面高 h 。设水桶很大而虹吸管很细，求:(1)虹吸管中水流的速度；(2)B、C、D三点的压强。EHhDCAB(4) 虹吸管 (2.v与h的关系)(a)解 设水桶很大而虹吸管很细，那么桶内水面下

13、降速度很小，所以水的流动看作稳定流动。在流体中取一条流线 ABCDE，先对 A、E 两点应用伯努利方程，并规定E点为零势能点，列方程261图b，近似认为小孔附近的流线是平行的，同一条流线的两点 E、F，可近似认为压强相等,即将此代入1式即可得到虹吸管出口处流速说明:当由此可见,水从虹吸管口流出的速度与小孔流出的速度是相同的.如遇图示情况,均可按小孔流速问题处理。EF图(b)27 为了求出 B、C、D 三点的压强，由于虹吸管的粗细是均匀的，根据连续性方程可知虹吸管中 B、C、D 三点的流速亦为 ，这样对 B、C、D、E 四点应用伯努利方程就得到EHhDCAB28结果说明，在粗细均匀的虹吸管中等高

14、的 C、D 两点的压强是相等的： ；而 A、B 两点虽然是等高的，但由于 A 点在水桶水面上，而 B 点在虹吸管中，它们的压强却是不相等的： 水之所以能通过虹吸管源源不断地流出，是由于虹吸管外水桶中的水压比虹吸管内等高点的水压大，水在该压强差的驱使下由水桶流向虹吸管，产生虹吸现象。有人在解释虹吸现象时认为：水之所以能从虹吸管中流出，是由于虹吸管中 C 点比等高的D 点的压强大。从上面的讨论中可以看出这个解释是错误的。当虹吸管的粗细均匀时，虹吸管中等高的 C、D 两点的压强是相等的。当虹吸管粗细不均匀时，如 D 点处虹吸管的截面比 C 点粗，那么 D 点处的压强反而比 C 点大，尽管水是由 C

15、点流向 D 点的。293.P与h的关系如果流体在管中流动的流速不变,或者流速的改变可忽略不计时,压强与高度的关系为在此情况下：即高处压强低,低处压强高。30P与h的关系可用来解释体位因素对测血压的影响。31(5)空吸作用喷雾器火车、双层纸p0ab32 航空中，在速度较快的一侧出现一个“负压，这样使得物体两侧出现“压力差，对飞机就是一种升力。V1V033例题3-1 设有流量为0.12m3s-1的水流过如下图的管子。A点的压强为5Pa，点的截面积为100cm2,点的截面积为60cm2,点比点高2。假设水的内摩擦可以忽略不计，求、点的流速和点的压强。34解：= 0.12m3s-1,100cm2=10

16、m2,= 0cm2=10-4 m2,=210-5,= 0 ,= 2 。根据连续性方程有：流量流速35由A、B两点列伯努利方程可得：先代数式再代入数值和单位36首先根据题意画出草图；选取适宜的流管和参考面；在流管中选定两点，一点与给定的条件有关，一点和待求的未知量有关，写出伯努利方程；代入量，统一单位，计算出结果。在流体动力学中，伯努利方程十分重要，应用也非常广泛。伯努利方程解题的一般步骤是：37第三章 流体动力学作业： 1-5注意：抄题，画图、统一单位。383-3 粘性流体的流动一、层流和湍流 1、层流：(现象)V较小时，流体分层流动的状态2、湍流：V较大,不再保持分层流动状态，即垂直于流层方

17、向存在分速度，因而各流层混淆起来。整个流动杂乱不稳定。39 湍流特点： 1. 流体不再保持分层流动状态，即垂直于流层方向存在分速度，流动杂乱不稳定。2. 消耗的能量比层流多。3. 能发出声音。医学应用: 流体作湍流所消耗的能量比层流多.湍流与层流的主要区别之一就是发声,使医师能够用听诊器来区分血流是否正常.40它是由分子间的相互作用力引起的，液体的内摩擦力远大于气体的。二.牛顿粘滞定律1.粘性力：Viscous force如图,设粘性流体分层流动,相邻两层流体沿层面以不同速度运动，即两层流体具有相对速度。相邻两层流体间将互相作用以沿层面的切向力，即“快拉慢、 “慢阻快。这一对力就是流体层间的摩

18、擦力，故称为内摩擦力internal friction。ff 41在层流中，内摩擦力的大小与从一层到另一层流速变化的快慢程度有关。如图，相距x的两层，其流速分别为 2.速度梯度Velocity gradient：它反映了速度随空间位置变化的情况。流速在与速度垂直方向上的变化率。3.牛顿粘性定律0 x比值表示在x距离内的平均速度变化率速度差为v,42式中称为粘滞系数coefficient of viscosity或黏度。实验证明，粘性流体作层流时,内摩擦力f的大小是与相邻两层的接触面积S和速度梯度dv/dx成正比，即 的大小取决于物质的性质，并和温度有关，可由实验测定。 粘度表示流体两层间的速度

19、梯度为1时，单位面积流体层上所受内摩擦力的大小。43但凡服从上式的流体称为牛顿流体Newtonian fluid。在温度恒定的条件下，不服从以上关系式的流体称为非牛顿流体。水和血浆是牛顿流体，而血液因含有血细胞，不是牛顿流体，它们的粘滞系数不是常数。在SI单位制中，粘滞系数的单位为帕斯卡秒Pas。 液体的粘滞系数随温度的升高而减小，气体那么反之。44式中=fs为切应力，表示作用在流层单位面积上的内摩擦力；牛顿粘滞定律还可改写为实际上血液是一种具有粘弹性的非均匀液体，分析血液的粘性，对于某些疾病的诊断具有重要的参考价值。这种方法称为血液流变学方法。45三、层流 湍流 雷诺数1.层流 如图 当阀门

20、K开小时，管内流速小，出现层流，即各层间不互相混杂，分层流动，速度按层分布。 2.湍流 当阀门k开大时，管内流速大，出现湍流，即流线混 杂、紊乱，有垂直管轴方向的分速度，出现漩涡。 3. 是湍流还是层流，与流体的粘性、流速、和管子尺寸有关，雷诺数可作为判据。KK461、Re1000 层流2、Re1500 湍流3、1000Re1500 过渡态雷诺数Reynold number由英国人雷诺於1883年给出： 式中,为流体密度，为流体的粘性系数，v为流速，r为管子的半径47例题3-2设主动脉的内半径为0.01m，血流的速度v=0.25m/s，血液的粘滞系数为=3.010Pas，密度=1.0510/m

21、求雷诺数并指出血液流动是否为片流？解 雷诺数为 这个数值小于1000，故血液在主动脉中流动时为片流。四、泊肃叶定律 如图,不可压缩的牛顿流体在水平圆管中做稳定流动时，如果平均流速不大，流动为层流。假设各流层从轴线开始，呈一系列薄圆筒形。中心的流速最大，随着各层半径的增加而流速减小。在管壁处，液体粒子附着在管壁 内侧，流速为零。P1P2R，L 48 (1)粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r处的流速： (2)流量： 1846年,法国医生泊肃叶研究血管内血液的流动情况，同时对在压强差P1-P2的作用下，液体在长为L的细玻管中的流动情况也进行了研究。结果发现，流量Q 与压强梯度P1-P2 /L和

22、管子半径的四次方成正比，即概括为:这个公式就叫做泊肃叶定律Poiseuilles law 令 Rf=8L/R4，那么泊肃叶定律可以写成：49 Rf称为流阻，在生理学中常称为外周阻力。 上式说明，粘性流体在等截面水平细圆管中稳定流动时，流量Q与管子两端的压强差P成正比，与Rf成反比。 流阻Rf的大小，可用来表示粘性流体在管中通过时所表现的阻滞程度。不难看出，粘滞性液体在等截面的水平管中以一定的平均速度流动时，流量、压强差和流阻三者之间的关系与电学中的欧姆定律相似。50当多个等截面的水平管串联或并联时，其总流阻Rf 和各管的流阻之间的关系与电阻串并联时的关系式相同，即串联时 并联时 医学上在研究心

23、血管系统方面，常用这些关系式分析心输出量，血压降和外周阻力之间的关系。泊肃叶定律不仅用来分析血液循环系统，而且也用来测定液体的粘滞系数。 51泊肃叶定律推导： 1.速度分布 设不可压缩的牛顿流体在半径为R的水平管中流动。在管内取半径为r，长为L 并与管共轴的圆柱形流体元，如图(1)所示。该流体元左端所受的压力为P1r，右端所受的压力为P2r，它所受的总压力 液体元外表上所受的粘滞力由粘滞定律决定，因面积S=2rL，所以粘滞力为负号表示v随r的增大而减小。图(1)52 当管内流体作稳定流动时， 有 F = F整理 上式说明，速度梯度随r的增大而增大，在r=0，即管轴处，速度梯度为零；在r=R，即

24、管壁处，速度梯度最大。别离变量后取定积分，即53上式为牛顿流体在水平圆管中作稳定流动时，流速随半径的分布情况。 速度的最大值与管子的内半径的平方成正比，与压强梯度 成正比。 可见，流速在管轴 r=0处有最大值 图(2)为其速度分布的剖面图。 由图可见，v随r变化的关系曲线为抛物线。这与前面甘油演示的结果一致。54如图(3)所示，在管中取一与管共轴、半径为r、厚度为dr的薄壁圆筒形流体元，单位时间内通过该流体元端面的体积 ，式中v为半径r处的流速(上面已推导),而 为小圆环的横截面积，所以2.流量图(3)那么泊肃叶定律为55对于理想流体，在同一流线或细流管上任取两点，有：对于粘性流体, 有内摩擦力造成的能量损失, 设w12表示单位体积的流体自点1运动到点2时的能量损失，那么有：五、不可压