第14章线性动态电路的复频域分析

1、第十四章第十四章 线性动态电路的线性动态电路的 复频域分析复频域分析14-1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14-2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开14-4运算电路运算电路14-5用拉普拉斯变换法分析线性电路用拉普拉斯变换法分析线性电路14-6网络函数的定义网络函数的定义14-7网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点14-8极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应14-9极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应首首 页页本章重点本章重点l重点重点 (1) (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质拉普拉斯变换的基本原理

2、和性质 (2) (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤路的方法和步骤 (3) (3) 网络函数的概念网络函数的概念(4) (4) 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点返 回 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数把时间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，拉氏

3、变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。又称运算法。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法下 页上 页返 回一些常用的变换一些常用的变换 对数变换对数变换ABBAABBAlglglg 乘法运算变换乘法运算变换为加法运算为加法运算 相量法相量法IIIiii2121 相量正弦量时域的正弦运算时域的正弦运算变换为复数运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)( (频域象函数频域象函数) )对应对应f(t)( (时域原函数时域原函数) )下 页上 页返 回js2. 拉氏变换的定义拉氏变换的定义定义定义 0 , )区间函数区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式的

4、拉普拉斯变换式0( )( )e d 1( )( )e d 2jstcjstcjF sf ttf tF ss正变换正变换反变换反变换s 复频率复频率下 页上 页返 回 ( )( ) ( )( )F sf tf tF s，LL-1简写简写000积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0 + 开始，称为开始，称为0 + 拉氏变换拉氏变换 。 积分域积分域注意今后讨论的均为今后讨论的均为0 拉氏变换。拉氏变换。0000( )( )e d ( )e d( )e dstststF sf ttf ttf tt0 ,0区间区间 f(t) =(t)时此项时此项 0

5、 象函数象函数F(s) 存在的条件：存在的条件：0( )e dstf tt下 页上 页返 回如果存在有限常数如果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t) 满足：满足： 则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可总存在，因为总可以找到一个合适的以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页 象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示, ,如如I(s)、U(s)。原函数原函数f(t) 用小写字母表示用小写字母表示，如，如 i(t)、 u(t)。返 回( )e 0,)ctf tMts()00( )ededts c tf ttMtcsM3.

6、3.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数0( )( )ed stF sf tt( )( )f tt0( )( )( )edstF stttL1e0sts s10edstt下 页上 页返 回(3)指数函数的象函数指数函数的象函数()1e0s a tsa as1(2)单位冲激函数的象函数单位冲激函数的象函数00( )edsttt( )( )f tt0( )( )( ) edstF stttL0e1s( )eatf t 0( )ee e datatstF stL下 页上 页返 回14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1.1.线性性质线性

7、性质11220( )( ) edstA f tA ftt112200( )ed( )edststA f ttA ftt)()(2211sFAsFA)()(2211sFAsFA1122 ( )( ) , ( )( )f tF sftF s若若LL1 1221122 ( )( )( )( )A f tA f tAf tAf tLLL1 122 ( )( )A f tA f tL下 页上 页证证返 回则则j1j1j21ss22s例例2-1解解 KKssa-( ) eatF sKK-LL例例2-2解解( )sin()F stLj j ee1()2jttL 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数根据拉氏变

8、换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。函数的象函数再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论 )(assKa返 回 ( )(1 e)atf tK求求的的象象函函数。数。 ( )sin( )f tt求求的的象象函函数。数。2. 2. 微分性质微分性质0e( )( )(e)d0ststf tf tst)()0(ssFfd ( )( )(0 )df tsF sftL ( )( )f tF s若若：L00d ( )eded ( )dststf ttf ttd ( ) df ttL下 页上 页证证uvu

9、vvudd 利用若若足够大足够大返 回则则下 页上 页3.3.积分性质积分性质 ( )( )f tF s若若：L01( )d ( )tfF ssL证证0 ( )d ( )tf tts令令L0d ( ) ( )ddtf tf t ttLL应用微分性质应用微分性质00( )( )( )dttF sssf tt( )( )F sss0返 回则则4.延迟性质延迟性质00()edsttf ttt0e( )stF s ( )( )f tF s若若：L000 ()()e( )stf ttttF sL00000()()()()e dstf ttttf tttttL0()0( )edstf0 tt令 延迟因子延

10、迟因子下 页上 页证证00e( )edstsf返 回则则求周期函数的拉氏变换。求周期函数的拉氏变换。 设设f1(t)为一个周期的函数为一个周期的函数111( )( )()() (2 )(2 )f tf tf tTtTf tTtT231( )eeesTsTsTF s11( )1 esTF s例例2-3解解11( )( )f tF sL2111 ( )( )e( )e( )sTsTf tF sF sF sL下 页上 页.tf(t)1T/2 TO返 回因为因为/2111( )(e)sTF sss1( )( )()2Tf ttt/211()1 esTs11 ( )( ) 1esTf tF sL/211

11、 1(e)1 esTsTs s ( )f tL下 页上 页对于本题脉冲序列对于本题脉冲序列5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理1122 ( )( ) ( )( )f tF sf tF s若若：LL返 回下 页上 页t1212012 ( )( )()( )d ( )( )f tf tf tfF s F sLL证证t121200 ( )( )e()( ) ddstf tf tf tftL1200e()()( ) ddstf ttft tx 令1200( )( )( )ee d dssxf xx fx 1200( )( )ed( )e dsxsf xxxf)()( 21sFsF返 回则则14

12、-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式jj1( )(s)e d2jcstcf tFs(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部分分式展开法展

13、开法返 回利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为分解为下 页上 页象函数的一般形式象函数的一般形式nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常数待定常数讨论1212n( )eeenp tp tp tf tKKK返 回101101( )( ) ()( )mmmnnna sa saN sF snmD sb sb sb(1)若若D(s)=0有有n个单根分别为个单根分别为p1、 、 pn( )() 1 2 3iiispKF s spin、 、 、待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1下 页上 页 nnpsKpsKpsKFps22111)() s ()(方法方法2 2求极限的方法求极限

14、的方法( )()lim( )iiispN s spKD s令令s = p1返 回( )()( )lim( )iispN s spN sD s()()iiiN pKD p下 页上 页1223KKss124533ssKs 234572ssKs例例3-1解法解法1245( )56sF sss返 回( )()lim( )iiispN s spKD s245 ( )56sF sss求求 的的原原函函数。数。23( )3e( )7e( )ttf ttt 1121()45325()sN psKsD p 2232()45725(sN psKsD p )解法解法2下 页上 页121212()()()( )eee

15、()()()np tp tp tnnN pN pN pf tDpDpDp原函数的一般形式原函数的一般形式返 回12jjpp1(s)(s)(s)(s)(sj )(sj )(s)NNFDD1211(s)sjsj(s)KKND具有共轭复根若 0)( )2(sD下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数。也是一对共轭复数。注意j21 )()()j)(jssDsNssFKs，返 回j(j)j(j)1(e eee)( )ttKKf tj()j()1ee( )tttK ef t12 K ecos()( )ttf tj2j1e e-KKKK设：(j )(j )121( )(ee)( )ttf tKKf t下 页上

16、 页返 回14-4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基尔霍夫定律的时域表示： 0)(ti 0)(tu1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页( )0I s ( )0U s 根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：时域形式：R+-)(sU)(sI返

17、 回tiLudd( )( )(0 )( )(0 )U sL sI sisLI sLisisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路下 页上 页时域形式：时域形式：返 回i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-sL+ U(s)I(s )si)0( -d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 电容电容C的运算形式的运算形式C的的运算运算电路电路下 页上 页时域形式：时域形式：取拉氏变换取

18、拉氏变换,由积分性质得由积分性质得返 回i(t)+ u(t) -C+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式下 页上 页时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得sMsYsMsZMM1)()(互感运算阻抗互感运算阻抗返 回i1*L1L2+_u1+_u2i2M耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路下

19、页上 页)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU返 回+-+sL2+sM+ +)(2sUsL1)(2sI)0(22iL)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +1211/iiRui)()(/ )()(1211sIsIRsUsI 受控源的运算形式受控源的运算形式受控源的运算电路受控源的运算电路下 页上 页时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换返 回 i1+_u2i2_u1i1+R)(1sU)(1sI)(2sU)(1sI)(2sI+_+R3. RLC串联电路的运算形式串联电路的运算

20、形式下 页上 页时域电路时域电路 0)0( 0)0(Lciu若：0d1ddtCiuiRLittC)(1)()()(sIsCssLIRsIsU拉氏变换拉氏变换运算电路运算电路)()()1)(sZsIsCsLRsIsCsLRsYsZ1)(1)(运算阻抗运算阻抗返 回u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 页上 页运算形式的运算形式的欧姆定律欧姆定律(0 )0 (0 )0CLui若若：拉氏变换拉氏变换返 回u (t)RC-+iL+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)(0 )Cus1() ( )( ) ( )(0

21、 ) ( )(0 )CRsLI sZ s I ssCuU sLis下 页上 页(0 )1( )( )s( )(0 )( )CuU sI s RLI sLiI ssCs返 回+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)(0 )Cus 电压、电流用象函数形式。电压、电流用象函数形式。 元件用运算阻抗或运算导纳表示。元件用运算阻抗或运算导纳表示。 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结例例4-1给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。解解t=0 时开关打开时开关打开uC(0-)=25V

22、 iL(0-)=5A时域电路时域电路返 回1F100.5H50V+-uC+-iL51020注意附加电源注意附加电源下 页上 页t 0 运算电路运算电路返 回1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)+-14-5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性电路分析线性电路 由换路前的电路计算由换路前的电路计算uC(0-) , iL(0-) 。 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。加电源的作用。 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数。应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数

23、。 反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1. 1. 运算法的计算步骤运算法的计算步骤返 回例例5-10)0( Li(2) 画运算电路画运算电路1sLs1111sCss(0 )1VCu解解(1) 计算初值计算初值下 页上 页电路原处于稳态，电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算时开关闭合，试用运算法求电流法求电流 i(t)。返 回1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(3) 应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页12(0 )111(1) ( )( )0CusI sIsssss 12(0 )111( )(1)( )CuI sIsssss-返 回1

24、/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2sI下 页上 页2)2(1)()(21ssssIsI312( )1j(1j)KKKI ssss (4)反变换求原函数反变换求原函数101( )2sKI s sj)2(11) j1)(j12sssIKj)2(11) j1)(j13sssIK返 回123( )03 : 01j1jD sppp 有有根根，个个下 页上 页) j1() j1 (21j1) j1 (2121)(ssssI11( )( )(1 e cose sin )2ttI si tttL返 回14-6 网络函数的定义网络函数的定义1. 网络函数网络函数H(s)的定义的定义

25、 线性线性时不变网络在单一电源激励下，其线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的象函数与激励的象函数之比定义为零状态响应的象函数与激励的象函数之比定义为该电路的网络函数该电路的网络函数H(s)。下 页上 页返 回def( )( )( ) ( ) r tR sH se tE s） LLLL 零状态响应零状态响应 激励函数激励函数 由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱域网络函数可以是驱动点阻抗动点阻抗(导纳导纳)、转移阻抗、转移阻抗(导纳导纳)、电压转移函、电压转移函数或电流转

26、移函数。数或电流转移函数。下 页上 页注意 若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响网络函数是该响应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回)()()(sEsRsH)()()(sEsHsR例例6-1下 页上 页解解画运算电路画运算电路返 回12( )( )S tS t、。图示电路，图示电路， 响应为响应为求阶跃响应求阶跃响应12uu、 ，S( )( )i tt，1/4F2H2iS(t)u1+-u2111s

27、2( )( )( )1444156122U sH sI ssssss 2122ss( )( )24( )( )22( )56UsUsssHsIss Isss11s244( )( ) ( )(56)sU sH s I ss ss22s24( )(s) ( )(56)sUsHI ss ss23128( )2ee33ttS t232( )4e4ettS t下 页上 页返 回I1(s)4/s2sIs(s)U1(s)U2( )2+-1下 页上 页3. 应用卷积定理求电路响应应用卷积定理求电路响应)()()(sEsHsR100( )( )( )( )* ( ) () ( )d( ) ()dttr tE s

28、 H se th te theh tL结论 可以通过求网络函数可以通过求网络函数H(s)与任意激励的与任意激励的象函数象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应激励下的零状态响应 。 返 回14-7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1. 1. 极点和零点极点和零点)()()()()()()(21210nmpspspszszszsHsDsNsH 下 页上 页njjmiizszsH110)()(当当 s =zi 时时，H(s)=0， 称称 zi 为零点；为零点； zi 为重根，为重根，称为重零点。称为重零点。当当 s =pj 时时，H(

29、s) ， 称称 pj 为极点；为极点；pj 为重根，为重根，称为重极点。称为重极点。返 回2. 2. 复平面（或复平面（或s 平面）平面）js 在复平面上把在复平面上把 H(s) 的极点用的极点用“ “ ” ”表示表示 ，零点用零点用“ “ o ” ”表示。表示。零、极点分布图零、极点分布图下 页上 页zi ， Pj 为复数。为复数。j oO返 回42 )(21zzsH，的零点为：12,333 1j22pp ，例例7-136416122)(232ssssssH绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解)4)(2(216122)(2sssssN)23j23)(23j23)(1( 364)(23ssss

30、sssD下 页上 页返 回H(s)的极点为：的极点为：下 页上 页24 -1j oOo返 回14-8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应)()()(sEsHsR下 页上 页1. 1. 网络函数与冲激响应网络函数与冲激响应1 ( )( ) ( )( )( )R sH sr th tH sL零零状状态态(t)h(t) 1 R(s)冲击响应冲击响应H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回 ( )( ) ( )1 e ttE s，当当 时时) 1() 1()(0sssHsHH0=-10例例8-1 已知网络函数有

31、两个极点为已知网络函数有两个极点为s =0、s =-1，一个，一个单零点为单零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s) 和和h(t)。10)(limtht解解由已知的零、极点得由已知的零、极点得11000(1)( )( ) 2e(1)tHsh tH sHHs s LL10)(lim tht令：下 页上 页) 1() 1(10)(ssssH返 回下 页上 页2. . 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为络的冲激响应为1i11einnp tiiiiKKspL1( )( )h tH sL讨论 当当pi为负实根时，为负实根时，h(t)为衰减的指数函数；为衰减的指数函数；当当pi为正实根时，为正实根时，h(t)为增长的指数函数。为增长的指数函数。 极点位置不同，响应性质不同，极点反极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。映网络响应动态过程中自由