概率论与数理统计第3讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第三讲第三讲主讲教师：范俊花主讲教师：范俊花东南大学成贤学院东南大学成贤学院 在实际问题中在实际问题中, 除了要考虑某事件除了要考虑某事件A的概率的概率P(A)外，有时还要考虑在外，有时还要考虑在“事件事件B已经发生已经发生”的条件下，事件的条件下，事件A发生的概率。发生的概率。2.4.1 条件概率条件概率I. 条件概率的概念条件概率的概念 通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下, 事件事件A发生的发生的概率为概率为 P(A|B)。一般情况下，一般情况下， P(A|B) P(A) 。2.4 条件概率条件概率例例1：100件产品中有件产品中有5件不合格品

2、，而件不合格品，而5件不合件不合格品中又有格品中又有3件是次品，件是次品，2件是废品。现从件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到抽到的可能性都相同的可能性都相同，求，求(1).(1).抽到的产品是次品的概率；抽到的产品是次品的概率；(2).(2).在抽到的产品是不合格品条件下在抽到的产品是不合格品条件下, , 产品是产品是 次品的概率次品的概率。解：解：设 A=抽到的产品是次品， B=抽到的产品是不合格品。可见，可见，P(A) P(A|B)。(2). .53)|(BAP又又 P(B)=5/100， P(AB)=3/100。.)()(10

3、05100353)|(BPABPBAP.)()()|(BPABPBAP(1).(1). ;1003)(AP 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB。 由于我们已由于我们已经知道经知道B已发生已发生, 故故B就就变成变成了新的样本空间了新的样本空间 , 于是于是 就有就有(1)。II. 条件概率定义条件概率定义为在事件为在事件B发生条件下，事件发生条件下，事件A的条件概率。的条件概率。定义定义1: 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，称，称) 1

4、( )()()|(BPABPBAPIII. 条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0, 则则1. 对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;2. P(|P(|B)=1)=1；而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。适用于条件概率。3. 设设A1, A2,互斥，则互斥，则)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP2.4.2 乘法公式乘法公式若若 P(A)0，则，则P(A

5、B)=P(A)P(B|A) 。 (3)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。当当 P(A1A2An-1) 0 时，有时，有 P (A1A2An）= P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) .多个事件乘法公式的推广多个事件乘法公式的推广: 例例 2: 根据以往资料表明，一个根据以往资料表明，一个3 3口之家患某种口之家患某种传染病的概率有以下规律：孩子得病的概率为传染病的概率有以下规律：孩子得病的概率为0.30.3，已知孩子得病的条件下母亲得病的概率，已知孩子得病的条件下母亲得病的概率

6、为为0.50.5，已知母亲及孩子得病的条件下，父亲，已知母亲及孩子得病的条件下，父亲得病的概率为得病的概率为0.40.4，求母亲和孩子都得病但父，求母亲和孩子都得病但父亲不得病的概率。亲不得病的概率。 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式例例3:

7、有三个箱子有三个箱子, 分别编号分别编号1, 2, 3。1号箱装号箱装有有1红球红球, 4白球白球; 2号箱装有号箱装有2红球红球, 3白球白球; 3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱红球。某人从三箱中任取一箱, 再再从箱中任取一球，求取到红球的概率。从箱中任取一球，求取到红球的概率。解：解：记记 Ai=球取自球取自 i 号箱号箱, i =1,2,3; B =取得红球取得红球。 B= A1BA2BA3B， 其中其中 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式运用加法公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将

8、此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式。全概率公式。对和式中的各项对和式中的各项运用乘法公式得运用乘法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP 设设A1, A2, An是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式 我们可以形象地把全概率公式看成是：我们可以形象地把全概率公式看成是：由原因推结果由原因

9、推结果，每个原因对结果的发生有，每个原因对结果的发生有一定的一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与，即结果发生的可能性与各种原因的各种原因的“作用作用”大小有关。全概率公大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系式表达了因果之间的关系 。诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果练习：练习：1、有两批相同产品各有、有两批相同产品各有12件和件和10件，在每批件，在每批产品中有产品中有1件次品，任意地从第一批中抽取件次品，任意地从第一批中抽取1件件混入第二批中，然后再从第二批中抽取混入第二批中，然后再从第二批中抽取1件，件，求从第二批中抽出的求从第二批中抽出的1件是次品的概率件是次品的概率.2、盒子中有

10、、盒子中有15个乒乓球，其中有个乒乓球，其中有9个新球，第个新球，第一次比赛时从盒子中任意取一次比赛时从盒子中任意取3个球，比赛后仍个球，比赛后仍放回盒子中；在第二次比赛时同样任取放回盒子中；在第二次比赛时同样任取3个球，个球，求：求：(1)第二次比赛时取出的第二次比赛时取出的3个球都是新球的概率；个球都是新球的概率；实际中还有下面一类问题：实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。已知结果求原因。 这一类问题在实际中常见，它所求的是这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。发生的可能性大小。接上例，考虑如下问

11、题：接上例，考虑如下问题：或者问：或者问：“该球取自各箱的可能性大小该球取自各箱的可能性大小” 。某人从任意一箱中任意摸出一球，某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是发现是红球，求该球是取自红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP记记 Ai = 球取自球取自 i 号箱号箱， i =1, 2, 3; B = 取得红球取得红球。所求所求为为 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|()(将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjji

12、ii贝叶斯公式贝叶斯公式 设设A1, A2, An是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 练习：练习：2、盒子中有、盒子中有15个乒乓球，其中有个乒乓球，其中有9个新球，个新球，第一次比赛时从盒子中任意取第一次比赛时从盒子中任意取3个球，比个球，比赛后仍放回盒子中；在第二次比赛时同样赛后仍放回盒子中；在第二次比赛时同样任取任取3个球，求：个球，求：(1)第二次比赛时取出的第二次比赛时取出的3个球都是新球的个球都是新球的概率；概率；(2)若已知第二次比赛时取出的若已知第二次比赛时取出的3个球都是个球都是新球，则第一次比赛时取出的新球，则第一次比赛时取出的3个球中有个球中有1个新球的概率个新球的概率.练习：练习：3、在数字通信中，输入的信号为、在数字通信中，输入的信号为0，1序序列，由于随机干扰，输入信号为列，由于随机干扰，输入信号为0输出信输出信号为号为1的概率为的概率为0.02，输入信号为，输入信号为1输出信输出信号为号为0的概率为的概率为0.01，输入过程中输入信号，输入过程中输入信号为为0，1的比例为的比例为2:1，若已知输出的信号，若已知输出的信号为为0，