D101对弧长和曲线积分学习教案

1、会计学1D101对弧长和曲线对弧长和曲线(qxin)积分积分第一页，共21页。AB弧段为AB , 其线密度(md)为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共21页第1页/共21页第二页，共21页。设 是空间中一条(y tio)有限长的光滑曲线,义在 上的一个(y )有界函数, kkkksf),(都存在(cnzi),),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 是定)

2、,(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共21页第2页/共21页第三页，共21页。kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义(dngy)对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长

3、的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第4页/共21页第3页/共21页第四页，共21页。szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数(chngsh)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线(qxin)弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共21页第4页/共21页第五页，共21页。tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl)

4、:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分（自学） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共21页第5页/共21页第六页，共21页。),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程(fngchng)为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间设空间(kngjin)曲线弧的参曲线弧的参数方程为数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()()

5、,(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共21页第6页/共21页第七页，共21页。,dLsx其中(qzhng) L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第8页/共21页第7页/共21页第八页，共21页。例例2. 计算计算(j sun),dLsx其中(qzhng) L 是：221xy上点 A (0,1)到点 之间的一段弧 . 1122

6、(,)B例例3. 计算计算(j sun)22d ,xyLes其中 L 是：4,0,ra所围平面区域的边界，( r, ) 为极坐标。例例4. 计算4433()d ,Lxys其中 L 是：222333xya的一周。第9页/共21页第8页/共21页第九页，共21页。,dsxIL其中(qzhng)L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限(xingxin)部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共21页第9页

7、/共21页第十页，共21页。,d)(222szyx其中(qzhng)为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共21页第10页/共21页第十一页，共21页。,d2sx其中(qzhng)为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知(k zh)sx d2szyxsxd)(31d22

8、22sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共21页第11页/共21页第十二页，共21页。d d s,d)(222szyxI其中(qzhng)为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数(cnsh)方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共21页第12页/共21页第十三页，共21页。0)1()1(2222zyxazyx计算(j sun)?d2sx解解:

9、令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆的形心在原点, 故0XaX22, 如何(rh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共21页第13页/共21页第十四页，共21页。1. 定义定义(dngy)kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质(xngzh)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),

10、(),(为常数szyxgLd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共21页第14页/共21页第十五页，共21页。 对光滑(gung hu)曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑(gung hu)曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共21页第15页/共21页第十六页，共21页。1. 已知椭圆(tuyun)134:22y

11、xL周长(zhu chn)为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共21页第16页/共21页第十七页，共21页。,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于(guny) z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心(zh xn) .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka

12、 而sxLd22kaa20dcostt0(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共21页第17页/共21页第十八页，共21页。syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业(zuy)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共21页第18页/共21页第十九页，共21页。xyo1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin), ar 0及4所围区域(qy)的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共21页第19页/共21页第二十页，共21页。2222Rzyx面的交