杆件结构的有限元法

1、第二章 杆件系统的有限元法第一节第一节 引引 言言 杆是最重要的基本结构件，在材料力学里杆是最重要的基本结构件，在材料力学里集中研究了单根杆的力学行为，但实际工程集中研究了单根杆的力学行为，但实际工程中很少有单根杆的结构，像钢塔、起重机臂、中很少有单根杆的结构，像钢塔、起重机臂、桥梁、化工生产及城市生活中的管道、机器桥梁、化工生产及城市生活中的管道、机器中的轴系、支架、结构物平台等都需要将单中的轴系、支架、结构物平台等都需要将单根杆组装起来成为杆系。根杆组装起来成为杆系。 任何物体都是三维尺度的。杆的几何特任何物体都是三维尺度的。杆的几何特征是横截面的尺度远小于杆的长度。材料力征是横截面的尺度

2、远小于杆的长度。材料力学中研究了等截面直杆的三种基本变形模型：学中研究了等截面直杆的三种基本变形模型：（1）轴向拉（压）杆；（）轴向拉（压）杆；（2）自由扭转轴；）自由扭转轴；（3）平面弯曲梁。三种模型都是将实体杆简）平面弯曲梁。三种模型都是将实体杆简化成数学意义上的化成数学意义上的“轴线轴线”，杆的轴线由所，杆的轴线由所有横截面的形心的连线构成。有横截面的形心的连线构成。 简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。与杆的轴线重合，如图所示。 以弹簧为例：以弹簧为

3、例：弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜率就是弹簧的刚度的斜率就是弹簧的刚度k:kF 对于如图示的复杂的铰支杆对于如图示的复杂的铰支杆系统，要确定在力的作用下，系统，要确定在力的作用下，结点结点BCDE处的变形，以便处的变形，以便计算出各杆件的内应力及各计算出各杆件的内应力及各杆的轴向力，可以假设整个杆的轴向力，可以假设整个杆件系统具有和单根杆一样杆件系统具有和单根杆一样的刚度，不过此时的刚度应的刚度，不过此时的刚度应采用矩阵来表示，同样各点采用矩阵来表示，同样各点的位移及力

4、都用矩阵表示。的位移及力都用矩阵表示。即：即：FEDCBAkF 重点：重点：式中式中K为多少阶？如何求出？为多少阶？如何求出？求出求出K 节点处的位移节点处的位移各杆的受力和各杆的受力和应力。应力。kF 第二节 弹簧系统的刚度矩阵22,Fu11,Fu11,Fu一、单个弹簧的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵1222,Fu分别是作用在节点分别是作用在节点1和和2上的位移和力上的位移和力弹簧的作用力向量为：弹簧的作用力向量为：21FF21uu弹簧的位移向量为：弹簧的位移向量为：可以推断出弹簧的刚度矩阵是：可以推断出弹簧的刚度矩阵是：2*2阶阶212221121121uukkkkFF待定待定1u（1）只

5、有结点）只有结点1可以变形，节点可以变形，节点2固定，此时有：固定，此时有：aF1aF202uA A1k11kuFa11221110kuFFFFkuFaaaaa则：由力的平衡有：2u（2）只有结点）只有结点2可以变形，节点可以变形，节点1固定，此时有：固定，此时有：21221220kuFFFFkuFbbbbb则：由力的平衡有：bF1bF201ukBB11F2F1ukBB12uA A121221122211121kukuFkukuFFFFFFFbaba或上的合力作用在节点上的合力作用在节点(3)据迭加原理，结果为：据迭加原理，结果为：kkkkKKuukkkkFFee为：可得单元刚度矩阵写成矩阵形

6、式：2121二、组合弹簧的刚度矩阵（推导自学）二、组合弹簧的刚度矩阵（推导自学）以系统有两个弹簧为例：以系统有两个弹簧为例：步骤步骤（1）写出每个弹簧单元的受力方程和）写出每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：3232212121uukkkkFFuukkkkFFbbbbaaaa：单元：单元32132132132132132100)3(000000000033)2(uuukkkkkkkkFFFuuukkkkFFFuuukkkkFFFbbbbaaaabbbbaaaa叠加后：阶：为个节点，扩充上述方程由于整个系统有 对于具有对于具有n个节点的弹簧系统，由于每个节点的弹簧系统，由于每个节

7、点只有一个可能的位移方向（即一个自个节点只有一个可能的位移方向（即一个自由度）因此整个系统有由度）因此整个系统有n个自由度，相应的个自由度，相应的总纲矩阵应该是总纲矩阵应该是n*n阶。具体方法为：写出阶。具体方法为：写出一个空的一个空的n*n阶矩阵，将单元刚度矩阵按单阶矩阵，将单元刚度矩阵按单元节点号写到空阵中去。以两弹簧为例说明，元节点号写到空阵中去。以两弹簧为例说明，总刚度矩阵应是总刚度矩阵应是3*3阶，第一个单元的节点阶，第一个单元的节点号为号为1和和2，则单元刚度矩阵是：，则单元刚度矩阵是：aaaaekkkkK1 中的元素在总刚度矩阵中应在的位置是中的元素在总刚度矩阵中应在的位置是第第

8、1行、第行、第2行的第行的第1列、第列、第2列列00000122121112111kkkk 再将第二个单元（节点号为再将第二个单元（节点号为2和和3）的刚）的刚度矩阵加到总刚度矩阵的第度矩阵加到总刚度矩阵的第2行、第行、第3行的第行的第2列、第列、第3列列23323222322200000kkkk23323222322212212111211100kkkkkkkk再叠加：三、方程求解（约束条件的引入）三、方程求解（约束条件的引入） 刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为0，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，需给系统加上一定

9、的约束。需给系统加上一定的约束。321321000uuukkkkkkkkFFFbbbbaaaa总结：用有限元法求解弹簧系统的受力问题总结：用有限元法求解弹簧系统的受力问题的基本步骤为：的基本步骤为：（1）形成每个单元刚度矩阵；）形成每个单元刚度矩阵；（2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加整个）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加整个系统的刚度矩阵；系统的刚度矩阵；（3）引入约束条件；）引入约束条件；（4）以节点位移为未知量求解线性方程组）以节点位移为未知量求解线性方程组（5）用每个单元的力）用每个单元的力-位移关系求的单元力。位移关系求的单元力。 简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆简单拉（压）杆的受

10、力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。与杆的轴线重合，如图所示。 第三节第三节 杆件系统的有限元法杆件系统的有限元法杆横截面上的内力只有轴向力杆横截面上的内力只有轴向力 横截面上的应力只有均匀分布的正应力横截面上的应力只有均匀分布的正应力 轴向应变为轴向应变为 杆的伸长量为杆的伸长量为 NFNFANFEANF llEA 对于简单的拉杆，同一截面上各点在对于简单的拉杆，同一截面上各点在x方方向的位移向的位移u相同。如上图所示，杆相同。如上图所示，杆A端受力端受力 ，位移为位移为 ；杆；杆B端受力端受力 ，位移，位移

11、 。材料力。材料力学中力与变形的关系是：学中力与变形的关系是：可以模仿前面的有限元方程写为如下的矩阵可以模仿前面的有限元方程写为如下的矩阵形式：形式：xAFAuxBFBu11uLEAF 11221111xxFuEAFul 实际上，杆件系统都是由互相成一定角度实际上，杆件系统都是由互相成一定角度排列的杆件连接在一起，在处理这种结构的排列的杆件连接在一起，在处理这种结构的刚度矩阵时，不能根据每个杆件的单元坐标刚度矩阵时，不能根据每个杆件的单元坐标系统（称为局部坐标系），而必须依据对所系统（称为局部坐标系），而必须依据对所有杆件的单元都适用的整体坐标系统。有杆件的单元都适用的整体坐标系统。12x(u

12、)y(v)x(u)y(v)图图2-9 杆系单元的坐标系统杆系单元的坐标系统整体坐标系下，位整体坐标系下，位移和力的表示为：移和力的表示为：yxFFvu,局部坐标系下，位局部坐标系下，位移和力的表示为：移和力的表示为：yxFFvu,注意注意：（：（1）图中的）图中的角是从整体坐标系角是从整体坐标系x x轴轴正向起逆时针转到杆件方向。正向起逆时针转到杆件方向。（2 2）铰支连接的杆只能承受轴向力）铰支连接的杆只能承受轴向力FxFx和产生和产生轴向位移轴向位移u u，因此局部坐标系下，因此局部坐标系下FyFy=0,v=0=0,v=0。之所以要写出来，是因为轴向力和位移在之所以要写出来，是因为轴向力和

13、位移在整体坐标系中有两个分量，为方便计算，整体坐标系中有两个分量，为方便计算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：将力和位移的矩阵用四阶方程表示：)122(000001010000010122112211vuvuLEAFFFFyxyx可将上式由局部坐标系转到整体坐标系下：可将上式由局部坐标系转到整体坐标系下：cossinsincos111111yxyyxxFFFFFFcossinsincos222222yxyyxxFFFFFF节点节点2处的表达式为：处的表达式为：为：，则节点力的变换关系令cos,sin2211221100000000yxyxyxyxFFFFFFFF TKTKKTKTFKTFTTK

14、FTTTFTFeTeeeTeTTe可以推出：）代入：再将（所以：由于）有：）代入（把（相对于位移有：为变换矩阵。简写为：142,122132)142()132(,1 2222222222eeeeeekkkkkLEALEAK其中：求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：求解整体坐标系下结构受力与位移方程组： KF 可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的受力，简单推导可得：受力，简单推导可得：单元的两个节点号。为整体坐标系中任一杆式中jivvuuLEApijijijij,二、刚阵存储与节点排二、刚阵存储与节点排列列 从单元刚阵叠加总体刚度矩阵的过程知，从单元刚阵

15、叠加总体刚度矩阵的过程知，对于节点号为对于节点号为i和和j的单元的单元e，其单元刚度矩阵，其单元刚度矩阵的的16个元素在总体刚度矩阵的位置如下：个元素在总体刚度矩阵的位置如下：*2i-1 2i2j-1 2j2i-1 2i2j-1 2j行行行行列列列列刚度矩阵的性质：刚度矩阵的性质：（1）对称性）对称性关于主对角线对称；关于主对角线对称；（2）稀疏性）稀疏性大量大量0元素；元素；（3）带状分布）带状分布非非0元素在主对角线两侧元素在主对角线两侧呈带状分布。呈带状分布。所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法是：找出所有各行中非法是：找出所有各行中非0元素所占最宽一行，元素所占最宽一行，以离对角线最远的元素为基准画一条平行于以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主对角线的带子，称为其带宽，方法称为等主对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽存