[研究生入学考试]拉普拉斯变换的定义ppt课件

1、13-1 13-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义第第13章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换13-2 13-2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质13-3 13-3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换13-4 13-4 运算电路运算电路13-5 13-5 运用拉普拉斯变换分析电路运用拉普拉斯变换分析电路13-1 13-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的的VCRVCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用

2、经典的微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分方程法来求解比较困难各阶导数在方程法来求解比较困难各阶导数在t=0+t=0+时辰的值难以确时辰的值难以确定。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时定。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。优点：不需求确定积分常数，适用优点：不需求确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。于高阶复杂的动态电路。相量法：相量法：iii 21正弦量正弦量正弦运算简化正弦运算简化为复数运算为复数运算拉氏变换定义：一个定义在拉氏变换定义：一个定义在0，区间的函区间

3、的函数数 f(t)，它的拉氏变换定义为：，它的拉氏变换定义为： 0dte )t (f)S(Fst 式中：式中：s = + j (复数复数) f(t) 称为原函数，是称为原函数，是 t 的函数。的函数。 F(s) 称为象函数，是称为象函数，是s 的函数。的函数。 III21 相量相量 拉氏变换存在条件：对于一个函数拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，假设存在正的有限，假设存在正的有限值值M和和c，使得对于一切，使得对于一切t 满足：满足： 0dte )t (f)S(Fst ctMe)t (f 那么那么f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)总存在。总存在。积分下限从积分下限从0 开场，称为开场，

4、称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0+ 开场，称为开场，称为0+ 拉氏变换拉氏变换 。 000积分下限从积分下限从0 开场，可以计及开场，可以计及 t=0时时 f(t)所包含的冲所包含的冲激激 。 反反变变换换正正变变换换 21 de )j(F)t (fdte )t (f)j(Ftjjjtj傅立叶变换傅立叶变换拉氏反变换：假设拉氏反变换：假设F(s)知，由知，由F(s)到到f(t)的变换称为拉氏反变的变换称为拉氏反变换，它定义为：换，它定义为：dse )S(Fj)t (fstjj 21特殊情况：当特殊情况：当 =0，s=j ，且积分下限为，且积分下限为时，时，拉氏变换就是傅立叶变

5、换拉氏变换就是傅立叶变换)()(1sFLtf 记记作作：(2)单位阶跃函数单位阶跃函数(1)指数函数指数函数aseasdteeeLtasstatat 101)(0sesdtedtettLststst101)()(00 )()( 0atteat 时时当当(3)单位冲激函数单位冲激函数1)()()(0000 dtetdtettLsst 例例13-1 求以下函数的象函数。求以下函数的象函数。 13-2 13-2 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质一、线性一、线性)()(, )()(2211SFtfLSFtfL 若若)()()()( )()(210201021SbFSaFdtetbfdtet

6、afdtetbftafststst 证：证：)()(21tbftafL 则则)()(21SbFSaF 221121)(21)sin()1 SjSjSjeejLtLtjtj解解：例例13-2 假设假设：)1()()2)sin()()1atektfttf 上述函数的定义域为上述函数的定义域为0， ，求其象函数。，求其象函数。)()1()2assKaasKsKKeLKLeKLatat 二二 、导数性质、导数性质1. 时域导数性质时域导数性质)0()()( fSSFdttdfL)0()()(0)()()(000 fSSFdtstfetfetdfedtedttdfstststst证：证：则：则：设：设：

7、),()(SFtfL )t (dfdv,euvduuvudvst 2222)0(1)(sin(1)cos()1: sssstdtdLtL解解).()()2);cos()()1ttfttf 101)()(1)(),()()2 sstdtdLtLstLtdtdt 由于由于推行：推行：)(22dttfdL)0()0()( ffSSFS)0()0()(2 fSfSFS)(nndttfdL)0()0()0()()1(21 nnnnffSfSSFS)0()()( fSSFdttdfL2.频域导数性质频域导数性质dSSdFttfL)()( 则则： 0)( dtetfdsd st证证： 0)(dtettfst

8、)(ttfL )()(SFtfL 设设：nnnndSSFdtftL)()()(1 推推广广：)1(SdSd )(1ttL ：例例dSSdFttfL)()( 21S )1()1()()(SdSdnnn )(2ttLn ：例例1! nSn)1(aSdSd 3atteL：例例2)(1aS 三、积分性质三、积分性质)(1)(0SFSdttfLt 则则：)()(0 tdttfdtdLtfL)(SF 000)()(tttdttfdttfsL tdttfdtdtf0)()(证证：)()(SFtfL 设：设：)(1)(0SFSdttfLt 2001)(1)()()()()(413stLsdLtfLdttftt

9、ftt 解：由于解：由于的象函数。的象函数。利用积分性质求函数利用积分性质求函数例例322stL 推广：推广： ttdtt022302222sstLtdtLtLt 1! nnsntL推广：推广：四、延迟性质四、延迟性质1.时域延迟时域延迟f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0)()()(000SFettttfLst 则则：dtettfttfLst 000)()(证：证： defdtettftsstt)(0000)()( defesst 0)(0)(0SFest 0tt令0)()()(00 ttfttSFtfL时时，当当设设：例例13-5 求图示矩形脉冲的象函

10、数求图示矩形脉冲的象函数1Ttf(t)()()(Ttttf STeSSSF 11)(TTf(t)()()(Tttttf 221)(SeSSFST 2、频域平移性质、频域平移性质dtetfestt 0)( 证证：)()( SFtfeLt则则：dtetftas)(0)( )()(SFtfL 设设：)( sF积分积分 )(t )( t )( tt )( ttn 1 1 S2S1 1! nSn )(sintt )(costt )(e t-t )(sine t-tt )(et-ttn 22 S22 SS S122)( S1)(! nSn 小结：小结：)()()(000SFettttfLst 微分微分 1

11、3-3 13-3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式dseSFjtfstjj)(21)( (2)对对F(S)进展部分分式展开进展部分分式展开)()()()(21SFSFSFSFn )()()()(21tftftftfn 象函数的普通方式：象函数的普通方式：)( )()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmm nSSnSDmn 10)(. 1个个单单根根的的根根为为，设设利用部分分式利用部分分式F(S)分解为：分解为：nnSSkSSkSSkSF 2211)(tsntstsnekekektf 2121)()(

12、 )()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmm 1)(11SSSSSFk 2)(22SSSSSFk nSSnnSSSFk )(6554)(:2 SSSSF例例3221 SKSK21354 SSSK3725432 SSSK)(7)(3)(32tetetftt iiSSiSSiiSDSSSNSFSSk )()()()()()()(limSDSNSSSNissi )()(iiSDSN 3525421 SSSk7525432 SSSk不定式不定式006554)(:2 SSSSF例例3221 SKSK例例13-6 。的原函数的原函数求求)(10712)(23tfsssssF

13、解：令解：令D(s)=0D(s)=0，那么，那么 s1 = 0 s1 = 0，s2=s2=2 2，s3=s3=5 5 10143)(2 sssD1 . 01014312)()(0211 sssssssDsNK6 . 05 . 032 KKtteetf526 . 05 . 01 . 0)( 有有共共轭轭复复根根，设设0)(. 2 SDmn jS 2, 1)()()()()()(SQjSjSSNSDSNSF )()(21SQSPjSkjSk jsjssDsNsFjsK )()()()(1 jsjssDsNsFjsK )()()()(2 tjtjeKeKtf)(2)(1)( K1、k2也是一对共轭复

14、根也是一对共轭复根111211 jjekkekk ，则则设设)cos(2)(11)(1)(1)(2)(111 tekeekeekekektfttjjtjjtjtj。的原函数的原函数求求例例)(523)(7132tfSSSSF 21, 0)(12jssD 则则解解：令令 4525 . 0223)()(21211jSjssssDsNk)452cos(2)452cos(2)(1 tetektftt 4525 . 0223)()(21212jSjssssDsNk重根重根有有，设设nSDmn0)(. 3 )()(1110nmmmSSaSaSaSF nnnnSSkSSkSSkSSkSF)()()()(11

15、11112112111 1)()(11SSnnSFSSk 1)()(111SSnnSFSSdsdk 1)()(! 2112221SSnnSFSSdsdk 1)()()!1(111111SSnnnSFSSdsdnk 222211)1()1( SKSKSK2)1(4 SSS例例：4)1(4)0(021 SssssK3)1(4)1(12222 SssssK1221)()1( SSFSdsdK441 SSSdsdttteetf 344)(2222131321211)1()1()1()(sKsKsKsKsKsF 111213 ssK221131212 ssssdsdK362112114122211 ss

16、ssdsdK1)1(10322 ssK3)1(3)1(1040321 ssssdsdK23213)1(1)1(213)(ssssssF tetteetfttt 35 . 023)(2的原函数。的原函数。求求例例23)1(1)(8-13sssF 小结：小结：1.) n =m 时将时将F(S)化成真分式化成真分式)()()(0S SD DS SP PC CS SF F 1.由由F(S)求求f(t) 的步骤的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换

17、 。2.拉氏变换法分析电路拉氏变换法分析电路 )()(titu正变换正变换 反变换反变换U(S)I(S) 65119)(22 SSSSSF例：例：655412 SSS37231 SS)()37()()(23teettftt 相量方式相量方式KCL、KVL元件元件 复阻抗、复导纳复阻抗、复导纳相量方式相量方式电路模型电路模型i13-4 13-4 运算电路运算电路类似地类似地)()(titu元件元件 运算阻抗、运算导纳运算阻抗、运算导纳运算方式运算方式KCL、KVL运算方式运算方式电路模型电路模型u I U I(S)U(S) 2.电路元件的运算方式电路元件的运算方式R：u=Ri)()(SGUSI

18、)()(SRISU 1.运算方式的电路定律运算方式的电路定律 0 0 uKVLiKCL 0)(SU 0 (S) I+ u -iR+ U(S) -I(S)RL:dtdiLu )0()()( LiSSLISUSiSLSUSI)0()()( SLSLi i(0-)/S(0-)/S+ + U U( (S S) ) - -I I( (S S) )I I( (S S) )L Li i(0-(0-) )+ + U U(S) (S) - -SLSLi i+ + u u - -L+ u -iC:SuSISCSUccc)0()(1)( )0(10 ctccudtiCu)0()()( cCCCuSSCUSII IC

19、 C(S)(S)1/SC1/SCu uc c(0-(0-) )/S/S+ + U UC C(S) -(S) - + + U UC C(S) -(S) - CuCuc c(0-(0-) )1/SC1/SCIC(S)IC(S) dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MiSSMIiLSISLSUMiSSMIiLSISLSUM ML L1 1L L2 21 12 2+ +u u1 1- -+ +u u2 2- -L L1 1i i1 1(0-(0-MiMi2 2(0-(0-MiMi1 1(0-(0-L

20、L2 2i i2 2(0-(0-+ +U U2 2(S)(S)- -+ +U U1 1(S(S) )- -I I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)SLSL1 1SLSL2 2+ SM + +121uuiRu )()()()(121SUSURSISU (s)(s)U U+ +1 1(s)(s)- - R RI(S)+ +U U2 2- -U1(S)+ +u u1 1- -+ +u2u2- - u1u1R Ri0)0( 0)0( Lciu tcdtiCdtdiLiRu01)(1)()()(SISCSSLIRSISU )1)(SCSLRSI 运算阻抗运算阻抗)()()(SZSISU )()(

21、)(SYSUSI )(1)(SZSY 运算方式运算方式欧姆定理欧姆定理SCSLRSZ1)( + +u u- -i iR RL LC C+ +U U(S)(S)- -I(S)I(S)R RSLSL1/SC1/SC0)0( 0)0( Lciu)0(10 ctcudtiCdtdiLiRusuSISCLiSSLIRSISUc)0()(1)0()()()( suLisUSCSLRSIc)0()0()()1)( 运算阻抗运算阻抗SCSLRSZ1)( + +u u- -i iR RL LC C+ +U(S)U(S)- -I(S)I(S)R RSLSL1/SC1/SC uc(0-)/s Li(0-)3.运算电

22、路运算电路运算电路运算电路如如 L 、C 有初值时，初值应思索为附加电源有初值时，初值应思索为附加电源R RR RL LL LC Ci1 1i2 2EE( (t t) )时域电路时域电路0)0( 0)0( Lciu物理量用象函数表示物理量用象函数表示元件用运算方式表示元件用运算方式表示R RRLRLSLSL1/SC1/SCI1(S)E/SE/SI 2 2( (S)S)例例551F1F2020101010100.5H0.5H50V50V+-uc c+ -iL时域电路时域电路t=0时翻开开关时翻开开关AiL510/10550)0( VuC25)10/10(5)0( t0运算电路运算电路20200.

23、5S0.5S-+-1/S25/S2.55IL(S)UC(S) 5. 5.拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路步骤：步骤： 1.由换路前电路计算由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 2. 画运算电路图画运算电路图3. 运用电路分析方法求象函数运用电路分析方法求象函数4. 反变换求原函数反变换求原函数例例1：200V200V30300.1H0.1H1010- -u uc c+ +1000F1000FiL Lt = 0时闭合时闭合k,求求iL，uL。100)0( cu已知：已知：VAiL5)0()1( 解解：(2)画运算电路画运算电路SSL1 . 0 SSSC10001010001

24、16 200/S200/S3030 0.1s0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)Vuc100)0( 例例1：200V200V30300.1H0.1H1010- -u uc c+ +1000F1000FiL L )3(回路法回路法221)200()40000700(5)( SSSSSI5 . 0200)(10)1 . 040)(21 SSISSISSISSI100)()100010()(10-21 200/S200/S3030 0.1s0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI I

25、L L(S)(S)I I2 2(S)(S)I1(S)I2(S)2222111)200(200)( SKSKSKSI(4)反变换求原函数反变换求原函数200030)(321 SSSSD，个根个根有有221)200()40000700(5)( SSSSSI01)( SSSFK5200400)40000700(50222 SSSSS1500)200)(200222 SSSFK2222111)200(200)( SKSKSKSI0)()200(200221 SSFSdsdK21)200(1500)200(05)( SSSSIAttetit)()15005()(2001 t tt tL LL Lt te

26、 ee ed dt tt td di iL Lt tu u20020030000150)()( SLSISUL)()(1 求求UL(S)UL(S)5 . 0)()(1 SLSISUL2)200(30000200150 SSVteetuttL)30000150()(200200 200/S200/S3030 0.1s0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)?RC+ucis (t)例例13-10 求冲激呼应求冲激呼应0)0( CuR1/SC+Uc(S)IS1SCSISCRRSUC1)(/1)( )/1(RCSRCR 1

27、)()( RSCRSCSSCUSICC1111 RSCRSCRSC)0(1/ teCuRCtc)0(1)(/ teRCtiRCtc tuc(V)C10ticRC1 )(t 例例13-11 图示电路已处于稳态，图示电路已处于稳态，t=0时将开关时将开关S闭合，知闭合，知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5 ,L1=1H,求求t0时的时的uL(t).22221 seLuLtssLuLs552 ARuisL1)0(22 S R1 R2 iL + US1 L uL US2 R1 R2 + UL(s) sL Li(0-)+ 22 ss5SLLiRSRSSUSLRRL)0(15122)()111(2121 )52)(2(2)( SSSSULVeetuttL)54()(5 . 22 ML1L1L2L2R1R2 usSi1i2例例13-12 图示电路，知图示电路，知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：，试求：t=0时开封锁合后的电流时开封锁合后的电流i1(t)和和i2(t)。0)0()0(21 iiSss