Chapt线性代数方程组的数值解法实用学习教案

1、会计学1Chapt线性代数方程组的数值线性代数方程组的数值(shz)解法解法实用实用第一页，共45页。1112131121222322123123jnjniiiijinnnnnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA12inbbbbb12inxxxxx 求解线性代数方程组的数值计算方法很多，大致可分为两大类：消去（元）法和迭代法。消去法是直接从方程组的系数矩阵入手，经过有限步运算求出方程组的精确解（假如没有(mi yu)舍入误差的话）。迭代法则是将求方程组的问题化为构造一组递推计算结构，从一组近似解出发，用这组递推结构逐步算出精度更高的近似解。上述这两类算法各有其优点和缺点，消去法的计

2、算量小，但程序复杂；迭代法计算量大，精度不高，但程序结构简单。 本章将主要介绍求解线性代数方程组的简单高斯消去法和三角分解法，迭代法将在以后相关章节中介绍。第1页/共45页第二页，共45页。1232414312954625xxx24143129546252132rr2152rr2414071/2150147/235322rr2414070.515002.55第2页/共45页第三页，共45页。32x 22x 11x 3x第3页/共45页第四页，共45页。(1)(1)(1)(1)(1)(1)1112131111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2122232221(1)(1)(1)(1)(1)(

3、1)3132333331(1)(1)(1)(1)(1)(1)1231jnnjnnjnniiiijininaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(1)(1)(1)(1)(1)(1)1231nnnnjnnnnaaaaaa(4.3)第4页/共45页第五页，共45页。( )( )(1)( )( )1,2,3,11,2,1,2,1kikkkkkkkijijkjknikknaRajkknaaRa(4.4)第5页/共45页第六页，共45页。(1)(1)(1)(1)(1)(1)1112131111(2)(2)(2)(2)(2)22232221(3)(3)(3)(3)333331( )( )( )1(

4、 )( )10000000000jnnjnnjnniiiijininnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(4.5)第6页/共45页第七页，共45页。( )1( )( )( )11( )()1,2,3,2,1nnnnnnnnkkknkjjj kkkkkaxaaaxxaknn (4.6)第7页/共45页第八页，共45页。1111()(11)(1)(25)6nkNnk nkn nn 2(0 1)(1 1)(1 1)12(1)2Nnnnn 3212/3/3NNNnnn第8页/共45页第九页，共45页。STARTINPUT N, A(), BCALL eliminationCALL ba

5、ckOUTPUT X(N)END第9页/共45页第十页，共45页。第10页/共45页第十一页，共45页。SUBROUTINE eliminationK=1,n-1i=k+1,nR=a(i,k)/a(k,k)j=k+1,n+1a(i,j)= a(i,j)-R*a(k,j)end jend jend iend kEND SUBROUTINE elimination第11页/共45页第十二页，共45页。第12页/共45页第十三页，共45页。SUBROUTINE backX(n)= a(n,n+1)/a(n,n)k=n-1,1,-1s=0j=k+1,ns=s+ a(k,j)*x(j)end jX(k)

6、=(a(k,n+1)-s)/a(k,k)end kEND SUBROUTINE back第13页/共45页第十四页，共45页。第14页/共45页第十五页，共45页。512121021232xxxx510212325212 10rr 555102104 102 10 第15页/共45页第十六页，共45页。5634 10399997100.4000 10.5x 20 x 2x 第16页/共45页第十七页，共45页。第17页/共45页第十八页，共45页。SUBROUTINE gausspk=1, n-1 a(p,j)=ti=k+1,nc= abs(a(i,k); p=iend it=a(k,j);

7、a(k,j)=a(p,j)end jEND SUBROUTINE gausspc= abs(a(k,k); p=kIf abs(a(i,K)c?YNj=1, n+1 end k第18页/共45页第十九页，共45页。第19页/共45页第二十页，共45页。(1)(1)1112131111111(2)(2)2122232222221( )( )1231( )( )12310000000000000000jnnjnniiiiiijiniijinnnnnnnjnnnnnnnaaaaabaaaaaaabaaaaaaabaaaaaaabaa 第20页/共45页第二十一页，共45页。( )( )(1)( )(

8、 )1,2,3,11,2, ,(),1,1kikkkkkkkijijkjknikknikaRajk knaaRa( )( )(1)( )( )1,2,3,11,2,()1,2,1kikkkkkkkijijkjknikknikaRajkknaaRa改进(gijn)后(4.8)(4.7)第21页/共45页第二十二页，共45页。(4.9)(4.10)2112100101nnlllL11121222000nnnnuuuuuuU第22页/共45页第二十三页，共45页。1(, ;1,2, )rrirkkikal uirn rn(4.11)1(1, ;1,2,1)ririkkrkal uirn rn(4.1

9、2)11(1, )iiuain 1111(2, )iialinu(4.13)(4.14)第23页/共45页第二十四页，共45页。11(, ;2, )rririrkkikual uirn rn(4.15)11(1, ;2,1)rriikkrkirrral ulirn rnu(4.16)11(, ;1,2, )riririkkrklal uirn rn(4.17)第24页/共45页第二十五页，共45页。11(1, ;1,2,1)rrirkkikrirral uuirn rnl010ikkrkl u(4.18)0(1, )iiuin 1111(2, )rrrriiiybybl yrn(4.19)第2

10、5页/共45页第二十六页，共45页。1(1,1)nnnnnrriii rrrryxuyu xxrnu (4.20)111111(2, )rrriiirrrbylbl yyrnl(4.21)第26页/共45页第二十七页，共45页。主元；用（4-18）式求uir, 进行分解；回代。通用公式为1(1,1)nnnrrriii rxyxyu xrn (4.22)1111,1,1,111,2,1,1,()1,1max(,iijijikkjkijijijkkiknpijiij ni ni nikk nk iinjinjinaaa aiaaa aiinaaaaa apip i Rxy分解,算 行）算 列（选主

11、元）解回代）当时交换行(4.23)第27页/共45页第二十八页，共45页。111222233331111nnnnnnnbcfabcfabcfabcfabfA f 第28页/共45页第二十九页，共45页。1223311nnnnlalalalalL1122331111111nnnuyuyuyuyyU 11111,/lbyfl11111,(2, )iiiiiiiiiiiiculbaulfa yyinl1,(1,1)nniiiixyxyu xin (4.24)(4.25)第29页/共45页第三十页，共45页。第30页/共45页第三十一页，共45页。00, 00 xx时,xx xyxyT12( ,)nx

12、 xxx12( ,)nx xxx0,0 xx时, xxx+yxy第31页/共45页第三十二页，共45页。xxyyxyyxyxy121nxxxx222 1/2122()nxxxx1maxii nx x第32页/共45页第三十三页，共45页。2222222222111221222111()2()()()nnniiiiiiiniiinnniiiiiiixyxyx yxyx y xyx+yxyxy22221111()2()0nnnniiiiiiiiiixyxx yy第33页/共45页第三十四页，共45页。0( )AA0,00OAA时, AAA+BA + BABA B21/211()nnijFijaA第

13、34页/共45页第三十五页，共45页。111max()nijj nia A11max()niji nja A2()TAA ATA ATA ATA AAxA x1I1BI-B1()1/(1)I-BB(4.26)第35页/共45页第三十六页，共45页。1201210111max (1 1 0),(22 1),(0 1 1)5 Amax (120),(12 1),(0 1 1)4 A110120209221121091011011112TA A第36页/共45页第三十七页，共45页。32209det()0911121338250TIA A2max9.1423.0237iA1239.142,2.921

14、,0.96312222222 1/2(12( 1)2( 1)11 )133.6056F A() A x+xb+b第37页/共45页第三十八页，共45页。AxbAxb1xA b11xA bAbA xAxb(4.27)(4.28)(4.29)(4.30)(4.31)1xbA Axb(4.32)()()AA x+xb(4.33)第38页/共45页第三十九页，共45页。() AA xAx(4.34)1()AAA IA A(4.35)11A A11()IA A1111()()AAIA AA(4.36)111()xIA AA Ax(4.37)1111111()11xIA AAA xAA xAA xA AAA(4.38)第39页/共45页第四十页，共45页。11AA111AA AxAAxA AA(4.39)1A A1A A1cond()AA A(4.40)1cond( )AAA1max222mincond( )TTA AAAAA A(4.41)第40页/共45页第四十一页，共45页。77121 1010112xxcond( )A17771 101 1011011111-1A77177(101)(101)cond( )10101AAA120,1xx第41页/共45页第四十二页，共45页。710001D7121101211xx 1717711101