一元二次方程动点问题讲解

1、一元二次方程中的动点问题一元二次方程中的动点问题例例1 1 如图如图OA=OB=50cm,OCOA=OB=50cm,OC是一条射线，是一条射线，OCAB,OCAB,一只蚂蚁一只蚂蚁由点由点A A以以2cm/s2cm/s的速度向的速度向B B处爬行，同时另一只蚂蚁由处爬行，同时另一只蚂蚁由O O点以点以3cm/s3cm/s的速度沿的速度沿ococ方向爬行，则是否存在这样的时刻，使方向爬行，则是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与两只蚂蚁所在位置与O O点组成的三角形的面积为点组成的三角形的面积为450cm450cm? ?通过观察，有两种情况：（通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完）蚂蚁未爬完

2、OA这段距离这段距离（2）蚂蚁爬完）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由这段距离后，再由O点向点向B爬行爬行0CBAPQ0CBAQP例例1 1 如图如图OA=OB=50cm,OCOA=OB=50cm,OC是一条射线，是一条射线，OCAB,OCAB,一只蚂蚁一只蚂蚁由点由点A A以以2cm/s2cm/s的速度向的速度向B B处爬行，同时另一只蚂蚁由处爬行，同时另一只蚂蚁由O O点以点以3cm/s3cm/s的速度沿的速度沿ococ方向爬行，则是否存在这样的时刻，使方向爬行，则是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与两只蚂蚁所在位置与O O点组成的三角形的面积为点组成的三角形的面积为450cm450cm?

3、?（1）蚂蚁未爬完）蚂蚁未爬完OA这段距离这段距离op=50-2x0CBAPQ解：设离开解：设离开A点点x秒后，秒后，oq=3xSOPQ=(50-2X)3X450=(50-2X)3XX-25X+150=0解得：解得：X =10;X =15例例1 1 如图如图OA=OB=50cm,OCOA=OB=50cm,OC是一条射线，是一条射线，OCAB,OCAB,一只蚂蚁一只蚂蚁由点由点A A以以2cm/s2cm/s的速度向的速度向B B处爬行，同时另一只蚂蚁由处爬行，同时另一只蚂蚁由O O点以点以3cm/s3cm/s的速度沿的速度沿ococ方向爬行，则是否存在这样的时刻，使方向爬行，则是否存在这样的时刻

4、，使两只蚂蚁所在位置与两只蚂蚁所在位置与O O点组成的三角形的面积为点组成的三角形的面积为450cm450cm? ?X-25X-30=0解：当蚂蚁爬完解：当蚂蚁爬完OA这段距离用这段距离用了了25秒，再继续爬时；秒，再继续爬时；0CBAPQOQ=3X；OP=2X-50；SOPQ=(2X-50)3X450=(2X-50)3X解得：解得：X =-5(舍去）舍去）;X =30解得：综合以上情况在解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，时，OPQ的面积为的面积为450解：设解：设x x秒后，三角形的面积为秒后，三角形的面积为8 80 x6BQ=2Xn-5例例2 2 在矩形在矩形ABCDABCD中

5、中,AB=6cm,BC=12cm,AB=6cm,BC=12cm,点点P P从点从点A A开始开始以以1cm/s1cm/s的速度沿的速度沿ABAB边向点边向点B B移动移动, ,点点QQ从点从点B B开始以开始以2cm/s2cm/s的速度沿的速度沿BCBC边向点边向点C C移动移动, ,如果如果P P、QQ分别从分别从A A、B B同时出发，几秒后同时出发，几秒后 PBQ PBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2？QPCDBA依题意列方程：依题意列方程：2x(6-x)=8则则AP=Xcm PB=6-X解这个方程，得解这个方程，得2680 xx122,4xx整理整理 得到得到所以所以2秒或秒或

6、4秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm例例3 3：等腰直角：等腰直角 ABCABC中中,AB=BC=8cm,AB=BC=8cm,动点动点P P从从A A点出发点出发, ,沿沿ABAB向向B B移动移动, ,通过点通过点P P引平行于引平行于BC,ACBC,AC的的直线与直线与AC,BCAC,BC分别交于分别交于R R、Q.Q.当当APAP等于多少厘米等于多少厘米时时, ,平行四边形平行四边形PQCRPQCR的面积等于的面积等于16cm16cm2 2? ?QRPCBA解：设解：设AP=X，PB=8-XS=底高底高整理：x-8x+16=0整理：x =x =4当当AP=4cm时，时，平行四边形

7、平行四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2以题意得方程：以题意得方程：CQPB=16即得方程：即得方程：x(8-x)=16例例3 3：等腰直角：等腰直角 ABCABC中中,AB=BC=8cm,AB=BC=8cm,动点动点P P从从A A点出发点出发, ,沿沿ABAB向向B B移动移动, ,通过点通过点P P引平行于引平行于BC,ACBC,AC的的直线与直线与AC,BCAC,BC分别交于分别交于R R、Q.Q.当当APAP等于多少厘米等于多少厘米时时, ,平行四边形平行四边形PQCRPQCR的面积等于的面积等于16cm16cm2 2? ?QRPCBA解：设解：设AP=X，PB=8-X16=

8、32-(8-X)-(X)SABC=32SAPQ=(X)SBPQ=(8-X)S=SABC-SBPQ-SAPQ整理：x-8x+16=0整理：x =x =4当当AP=4cm时，时，平行四边形平行四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2(1)(1)解：解： BAC=45,AP=x,(0 x2)例例4：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为垂足为D,CD=2,P是是AB上的一动点上的一动点(不与不与A,B重合重合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线L与与AB垂直垂直. 1)设设 ABC位于直线位于直线L左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函之间的函数关系式

9、数关系式; 2)当当x为何值时为何值时,直线直线L平分平分 ABC的面积的面积? ACBDSAPQ=xx=x 当当L位于位于CD的左侧时的左侧时,与与AC交于点交于点Q,则则PQ=XLp pQ(1)(1)解：解： BAC=45,AP=x,AP=X,PB=3-X例例4：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为垂足为D,CD=2,P是是AB上的一动点上的一动点(不与不与A,B重合重合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线L与与AB垂直垂直. 1)设设 ABC位于直线位于直线L左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函之间的函数关系式数关系式; 2)当当x为何值时

10、为何值时,直线直线L平分平分 ABC的面积的面积? ACBD当当L位于位于CD的右侧时的右侧时,与与BC交于点交于点QSPQB=PBPQ=（3-x)2（3-x)=（3-x)由小学学习的比例计算由小学学习的比例计算PQLp pQCD=2,PQ=?(2x3)即：即：CD:DB=PQ:BQ2:1=pQ:3-XpQ=2(3-X)S=SABC-SPBQ=3-（3-x)(2x3)当当1x2时可能平分时可能平分例例4：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为垂足为D,CD=2,P是是AB上的一动点上的一动点(不与不与A,B重合重合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线L与与AB垂直垂直.

11、1)设设 ABC位于直线位于直线L左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函之间的函数关系式数关系式; 2)当当x为何值时为何值时,直线直线L平分平分 ABC的面积的面积? (2)(2)解：解： BAC=45,AD=2,SABC=3，SADC=2221212321x3x3x时可能平分时可能平分ACBDLp p负值不符合题意，应舍去负值不符合题意，应舍去例例5：客轮沿折线：客轮沿折线A-B-C从从A出发经出发经B再到再到C匀速航行匀速航行,货轮货轮从从AC的中点的中点D出发沿某一方向匀速直线航行出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品将一批物品送达客轮送达客轮,两船若同时起航两船

12、若同时起航,并同时到达折线并同时到达折线A-B-C上的某上的某点点E处处,已知已知AB=BC=200海里海里, ABC=90,客轮速度是货客轮速度是货轮速度的轮速度的2倍倍. i)选择选择:两船相遇之处两船相遇之处E点点( )A.在线段在线段AB上上; B.在线段在线段BC上上; C.可以在线段可以在线段AB上上,也可以在线段也可以在线段BC上上;客轮客轮DCBA 货轮货轮Bii)求货轮从出发到两船相遇共航行求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里了多少海里?(结果保留根号结果保留根号)F客轮客轮DCBA 货轮货轮ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里

13、?(结果保留结果保留根号根号)解：设货轮从出发到两船相遇共航行了解：设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过海里，过D作作DF CB，连接，连接DE，则，则DE=x，AB+BE=2x，DF=100，EF=300-2x， 在在RtDEF 中，E222DEDFEF2222300100 xx解方程，得解方程，得36100200 x20036100200 x36100-200 DE练习练习1 1： 在在ABCABC中中, AC=50cm, CB=40cm, , AC=50cm, CB=40cm, C=90C=90, ,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ACAC边向点边向点C C以以2cm/s2cm/s的速度移动的速度移动, , 同时另一点同时另一点QQ由由C C点以点以3cm/s3cm/s的速度的速度沿着沿着CBCB边移动边移动, ,几秒钟后几秒钟后, PCQ, PCQ的面积等于的面积等于450cm450cm2 2? ?QBACP练习练习2:2:在直角三角形在直角三角形