圆锥曲线解题技巧学习教案

1、会计学1圆锥曲线圆锥曲线(yun zhu q xin)解题技巧解题技巧第一页，共48页。 (2004全国(qun u)东北理科卷)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y = x，则该双曲线的离心率e=( ) A. 5 B. C. D.5525412222222cabeaa=1+k2. 其中(qzhng)k为双曲线渐近线的斜率.C e2=5/4.第1页/共48页第二页，共48页。 (2005全国卷文科)已知双曲线 的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为 ( )A B C D)0( 1222ayax23x232326332 x y oF1F2 ba1ka232ac2;3ke将k2=e2-1代入上式,

2、 整理(zhngl)得9e4-9e2-4=0e2=4/3.D第2页/共48页第三页，共48页。42212212,2 ,1.3bPFFFcaPFFF2221,32ba ab423440kk 已知F1、F2为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，过F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于P, 且PF1F230(如图), 求双曲线的渐近线方程. 22221xyabxyoPF1F2第3页/共48页第四页，共48页。即 ec 3a, e23,11costan2.3e 已知F1、F2为双曲线 (a 0,b 0)的焦点(jiodin)，过F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于P, 且PF1F230(如图), 求双曲线

3、的渐近线方程. 22221xyabxyoPF1F2|PF1|2|PF2|， exP+a=2(exP-a)，exP3a, k2=e2-1=2.y= x.2第4页/共48页第五页，共48页。 (2005福建理科) 已知F1、F2是双曲线 - = 1(a0, b0)的两焦点, 以线段F1F2为边作正三角形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( ) A. 4+2 B. -1 C. D. +1 22xa22yb333312 x y oF1F2MA30 x1由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,3即 ex1-a=c, ex1+a= c, 3两式相减：2a=( -1)c,

4、3两边同除以a得 e=231.31第5页/共48页第六页，共48页。(2005福建理科)已知F1、F2是双曲线 (a 0,b 0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是 ( ) A. 4+2 B. -1 C. D. +122221xyab333312因为(yn wi)|NF1|=exN-a=c, 即exN+a= c3 y x oMF2NF1又|NF2|= |NF1|,3D3 2exN=( +1)c将xN=c/2代入即得.第6页/共48页第七页，共48页。 要点提炼：设双曲线的离心率为e, 一条有较小倾斜角 的渐近线的斜率为k,则双

5、曲线的如下(rxi)性质在解题时十分有用：过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长；arccos(1/e)； e2k21. 此外, 双曲线的焦半径公式：r1|ex0a|，r2|ex0a| 在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.第7页/共48页第八页，共48页。1122,PFr PFr设.162212221rrrr22212(2 )4 520,rrc, 221rr121212F PFSr r 设而不求 (1994全国)设F1, F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2=90则 F1PF2的面积是 ( ) A. 1 B. C.

6、2 D.1422 yx255124rr =1.A第8页/共48页第九页，共48页。 x y oF1F2P1 21212PF FPSFFy222244,5xyxy211.55Pyy12121112 51.225PF FPSF Fy 以F1F2为直径的圆的方程是： x2+y2=5,第9页/共48页第十页，共48页。 (2005全国卷)已知双曲线 的焦点为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1MF2=0,则点M到 x轴的距离为( )A B C D1222yx43532 333 x y oF1F2Mx2+y2=3MF1MF2=0MF1MF2x2+y2=3,2x2-y2=22P y =4.3平几知识(zh

7、 shi)的应用C第10页/共48页第十一页，共48页。 已知F1、F2为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，M为双曲线上的点, 若F1MF290, 则F1MF2的面积等于_. 22221xyab x y oF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2-a2)=b4 y=b2/c SF1MF2=b2.第11页/共48页第十二页，共48页。 (2005全国卷)已知双曲线 的焦点为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1MF2=0,则点M到 x 轴的距离为( )A B C D1222yx43532 333 x y oF1F2MCSF1MF2=b2=2设点M到 x

8、轴的距离(jl)为d,则 cd=S d= 2.3第12页/共48页第十三页，共48页。 将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意(rny)两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的不变量. 第13页/共48页第十四页，共48页。 (1995全国)直线l过抛物线y2a(x+1)(a0)的焦点, 并且与x轴垂直, 若l被抛物线截得的线段长为4, 则a . 直线l过抛物线 y24(x+1)的焦点, 并且与x轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长为 . 4 4 y2a(x-3)第14页/共48页第十五页，共48页。（2003 新课程卷）设a

9、0，f(x)=ax2+bx+c, 曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线的倾斜角的取值范围为 ，则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为 ( ) A. B. C. D.0,410,a10,2a0,2ba10,2ba 曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线(qixin)的斜率 k=2ax0.依题意(t y),0k1,即 02ax01.010.2xa B f (x)=2ax, 第15页/共48页第十六页，共48页。 x y oFP y=ax2 y=-14a y =2ax, y | =1.12xa21xya 证明：点P处的切线(qixin)斜率为1第16页/共4

10、8页第十七页，共48页。 x y oFP 证明(zhngmng)：点P处的切线斜率为1 法一：由 y2=2px 2yy=2p,pyy1.ypy法二：由2ypx1222pypx 21.pxy第17页/共48页第十八页，共48页。F 回 顾 y2=2px PF = p x y oA2px 第18页/共48页第十九页，共48页。x=- 命题1 设抛物线y2=2px(p0)的通径为PQ，则抛物线在点P、Q处的切线的斜率(xil)分别为1和-1,且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.xyOPQF2px= -M第19页/共48页第二十页，共48页。 x y oFP (2004 全国东部卷) 设抛物线y2=8

11、x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ( ) A. B. -2,2 C. -1,1 D. -4,41 1, 2 2 y2=18x y2=8(x-6)C第20页/共48页第二十一页，共48页。 已知F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上的任一点，过点F且斜率为1的直线与C交于A、B两点，若PAB的面积为4 ，则这样的点P有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2AB：x-y-1=0 求得|AB|=8 ；取点M(1,2) MAB的面积为42C2 点M到直线AB的距离为 x y oABFM第21页/共48页第二十二页，共48

12、页。 引申1椭圆通径一个端点处切线的斜率 x y oF1P22,byaxa由2212.2bxyaax 得22.xcbcyeaac 引申2 双曲线通径端点(dun din)处切线的斜率为e.第22页/共48页第二十三页，共48页。 引申3 过椭圆 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：22221(0)xyabab00221;x xy yab20020().b xkfxa y 切 引申4 过双曲线 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：22221(0,0)xyabab00221;x xy yab20020().b xkfxa y切第23页/共48页第二十四页，共48页。 引申5 过抛物

13、线y2=2px上一点P (x0, y0)的切线方程为： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切=0py第24页/共48页第二十五页，共48页。 命题2 若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为e和-e，且切线通过(tnggu)相应准线与x轴的交点. 或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线的准线与x轴的交点，且斜率为e(或-e)的直线(zhxin)，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.第25页/共48页第二十六页，共48页。 x y o作离心率(xn l)为1/2的椭圆第26页/共48页第二十七页，共48页。 x y oFAB|OF|c,

14、 |FA|b, |OA|a. c|AB|2ab |AB|2abc2.be作离心率(xn l)为2的双曲线第27页/共48页第二十八页，共48页。 (2004湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m) (m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点. ( I ) 设点P分有向线段AB所成的比为，证明QP(QA-QB)； ( II ) 设直线AB的方程(fngchng)是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程(fngchng). x y oAPBQ第28页/共48页第二十九页，共48页。 x y oAPBQ(0,-m

15、)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1, m-y1), PB=(x2, y2-m), 由已知, x1=-x2, y1-m=-(y2-m).即2222221212,.xxymym因为A、P、B共线, 且AP=PB.QP= QA+ QB= (QA+QB).11111欲证QP(QA-QB), 只须证QP (QA-QB)=0, 即证|QA|2-2|QB|2=0. 而 |QA|2-2|QB|2= +(y1+m)2-2 +(y2+m)221x22x第29页/共48页第三十页，共48页。光 的 反 射基本原理: ()光的传播(chunb)遵循“光行最速原理”; ()光的反射(fnsh)应满足：“入射角

16、=反射(fnsh)角”;由此推得 入射线与反射线关于法线对称; 投影线为水平线时, k入射线+k反射线=0.第30页/共48页第三十一页，共48页。光 的 反 射基本(jbn)技巧:始点终点 入射线; 始点终点(zhngdin)的对称点反射线.始点的对称点终点(zhngdin)第31页/共48页第三十二页，共48页。 (1989全国) 自点A( -3, 3 )发出的光线 l 射到x轴上被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切, 求光线 l 所在直线的方程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o1-1.A.A?始点的对称点终点(zhngdin) -反射线；

17、终点(zhngdin)的对称点始点 -入射线.第32页/共48页第三十三页，共48页。 (2005江苏) 点P(-3,1)在椭圆 的左准线上, 过点P且方向为a=(2,-5)的光线, 经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 222210 xyabab33132212第33页/共48页第三十四页，共48页。 x y oP(-3,1)F(-c,0)MNl解法(ji f)一：依题意(t y), 入射线方程为y-1=- (x+3)52令y=-2, 得M(- , -2);95令y=0, 得N(- ,0).135F(-1,0) a2=323ac33e

18、第34页/共48页第三十五页，共48页。 x y oP(-3,1)F(-c,0)MNl解法(ji f)二： 点F关于(guny)直线y=-2的对称点为Q(-c,-4 ).c=1 a2=323ac 依题意, kPQ=- ,52Q33e 第35页/共48页第三十六页，共48页。要点提炼： 光反射的理论依据，是物理学中的光行最速原理；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的对称性，这就是“通法”. 只有(zhyu)把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.第36页/共48页第三十七页，共48页。 (2004江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F(-m,

19、0) (m是大于零的常数). ()求椭圆方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率.12()22221.43xymm第37页/共48页第三十八页，共48页。()22221.43xymm x y oMQF|MQ|=2|QF|()分析(fnx)：由题设，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，即|xQ|=2|xQ+m|，即xQ=-2m 或 xQ=- m.233x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0令x=-2m ，得k=0；令x=- m ，得k=2 .623第38页/共48页第三十九页

20、，共48页。(2004东北理科卷) 给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. () 设l的斜率为1，求OA与OB的夹角； () 设BF=FA, 若4, 9，求l在y轴上截距的变化范围. x y oABF () 由对称性，我们(w men)只须研究如图的情况.第39页/共48页第四十页，共48页。 x y oABF24 ,1yxxmy ( 1 ) 当yB=-4yA时，234 ,44ABAABAyyymyyy 2440ymyyA=1m = .34令x=0，得y1=4.3( 2 ) 当yB=-9yA时，同理可得y2=3.4 m433 4,.344 3第40页/共4

21、8页第四十一页，共48页。CDABE (2000新课程卷) 如图, 已知梯形ABCD中, |AB|=2|CD|, 点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点. 当 时，求双曲线离心率e的取值范围.2334由|AE|=|EC|,xy设|AB|=2c, 则A(-c,0), C( , yC), 又设E(x0, y0),2c得 x0+c=( -x0),2cx0=(2)2(1)c|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),因为(yn wi)|EC|=|AC|-|AE|第41页/共48页第四十二页，共48页。因为|EC|= (exC+a)-(-ex0-

22、a)=2a+e(xC+x0), |AE|=|EC|,x0=(2)2(1)c所以-ex0-a=2a+e( +x0)2c t = 0(2)2(1)xea -2et-2=4+e(e+2t) 2e(+1)t= -(e2+4+2) 将代入两边同乘以2a e2(-2)= -(e2+4+2) e2= 123211 因为2334所以(suy) 7 e210,得710.e第42页/共48页第四十三页，共48页。 (2004天津(tin jn)理科卷)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 ，相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. ()求椭圆的方程及离心率； ()若OPOQ=0，求直线 PQ的方程； ()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆