线性代数课件：009-第三章-行列式（1-1-1-2)

1、1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义1.2 1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 1.3 行列式的应用行列式的应用第三章第三章 行列式及其应用行列式及其应用1. 行列式的递归定义行列式的递归定义2. 行列式的展开定理行列式的展开定理3. 依行列式定义计算行列式依行列式定义计算行列式1. 1. 行列式递归定义行列式递归定义111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaaLLMMMLnA阶方阵 的元素按一种方式计算出来的一个数记为：|An称为，式简记为阶行列。一阶行列式的定义：一阶行列式的定义：1Daa；二阶行列式的定义：二阶行列式的定义：111222122aaDaa1

2、1221221a aa a；11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 323 122721D （）例例2 2阶行列式的计算规则：阶行列式的计算规则：三阶行列式的计算三阶行列式的计算1112133212223313233aaaDaaaaaa按第一行展开：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 对角线法则：注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 222321

3、232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaan n阶行列式的代数余子式阶行列式的代数余子式ijnaij在 阶行列式中，将元素 所在的第行与第列去掉，1ijna留下的元素组成了一个阶行列式，称为元素 的余子式，1ijijijijMAM 记为；记，称为它的代数余子式。111111jniijinnnjnnaaaaaaaaaLLMMMLLMMMLL注意：ijijMA，表示的是数，不是矩阵。ijM 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 233223

4、1MA .23M 例例行列式递归定义:11122112212212122Daaa aa aaa；定义二阶行列式：n阶行列式：1111111( 1)nnjnjjjjjjDa AaM。1111121211nnnDa Aa Aa ALn阶行列式的值为：第一行的元素各自乘它自己的代数余子式之和。1122niiiiininDa Aa Aa AL1,2,inL2.行列式展开定理1122njjjjnjnjDa Aa Aa AL1,2,jnL1定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与它自己的代数余子式乘积之和，即：按对角线法则： D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 248

5、43264 14 。计算三阶行列式例124221342D按行列式展开：21212212( 4)423234D 14 。例3 计算上三角行列式11121222000nnnnaaaaaaLLLLL按列展开：11121222000nnnnaaaaaaLLLL1122nna aa。L解例411223344a a a a1234042100560008D 1 4 5 8160 。同理可得下三角行列式11212212300000nnnnnaaaaaaaLLLL1122nna aa。L12nN12121n nn 。L12n ；Ln 21例5 证明对角行列式1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义1.2 1.

6、2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 1.3 行列式的应用行列式的应用第三章第三章 行列式及其应用行列式及其应用1. 行列式的性质行列式的性质2. 行列式的计算行列式的计算记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211TDD行列式称为行列式 的转置行列式。| |TAA。说 明 行 列 式 中 行 与 列 具 有 同 等 的 地 位 ， 凡 是 对 行 成 立 的 性 质 对 列 也 同 样 成 立 ；TD是 一 个 整 体 记 号 ， 不 代 表 一 个 数 的 转 置 。行列式与它的转置行列式相等。1性质1

7、. 行列式的性质行列式互换两行(列)，行列式变号。2.性质1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa LLLLLLLLLLLLLL推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。111211212niiinnnnnaaakakakaaaaLL LLL LL111211212niiinnnnnaaak aaaaaaLLLLL3.性质kk行列式某行(列)乘数 ,等于行列式乘 。推论00如果某一行(列)元素全为 ，则行列式为 。11111212221ijnijjnninjnjaaaaaaaaa

8、aaaLLLLLLMMMMLLL1111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaarkraakaaaLLLLLLMMMMLLL k4.性质k行列式某行(列) 倍加到另一行(列)上去，行列式不变。11121121212niiiniiinnnnnaaaaaakakakaaaaLLLLLLL11121121212niiiniiinnnnnaaaaaakaaaaaaLLLLLLL. 0 推论 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则行列式为零。1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaaLLLL

9、MMMMLL111111112122212211ininininnninnnninnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL5.性质行列式按行(列)可以拆成两个行列之和。D则 等于下列两个行列式之和：等式反过来看：i它的和为第 列相加，其它列不变。i除第 列外行列式各列相同，则行列式可相加，1122iininx Ax Ax AL()()行列式某行 列 代数余子式的线性组合等于该行 列替换成组合数的行列式。6.性质111211212nnnnnnaaaxxxaaaLLLLL11221,+=0,;nijijinjnikjkijkDija Aa Aa Aa ADi

10、j当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中定理Dn设 是一个 阶行列式，则：11221,+=0,;nijijninjkikjijkDija Aa Aa Aa ADij当当1. 行列式的性质1.| |TAA；6.()()行列式某行 列 代数余子式的线性组合等于该行 列替换成组合数的行列式。()行列式与其转置行列式相等2.行列式互换两行(列)，行列式变号；3.kk行列式某行(列)乘数 ,等于行列式乘 ；4.k行列式某行(列) 倍加到另一行(列)上去，行列式不变；5.行列式按行(列)可以拆成两个行列之和；定理Dn设 是一个 阶行列式，则：1nikjkijka AD；1nkikjijka AD。

11、推论1.行列式某行(列)全为零，行列式为零；2.行列式两行(列)相等，行列式为零；3.行列式两行(列)成比例，行列式为零。2. 2. 行列式的计算行列式的计算例例2101044614753124025973313211 D计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 （1 1） 无规律的数字行列式无规律的数字行列式2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr210104461475314

12、0202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 可以边化阶梯形，边按第一列展开。可以边化阶梯形，边按第一列展开。

13、例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2（2 2） 行和相同的行列式行和相同的行列式 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3 计算行列式计算行列式0120 1111100100 ,0100nnaaDaa aaa 解：化成阶梯形：（3 3） 爪型行列式爪型行列式0110 1211111000,0000000nnnaaaaDa aaaa （4 4） 加边

14、法计算行列式加边法计算行列式例例4 4 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解1000bbbabbbabbba D1100=100100bbbababab111122220+aaAannnn a11111111011110002222000+00aaAaannn ana1111111000(1)10002000ninnnniiaain naaaaaa求求A A的行列式的行列式解：解： （加边法）1111111111110000knkkkkknnnnnaaccaaccDbbbb设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbb

15、bbD .21DDD 证明证明分块下三角行列式分块下三角行列式证明证明111111;0kkkkkppDppp1DkD对的前 行作初等变换，把化为上三角形行列式：2,DnD对的后 行作初等变换 把化为上三角形行列式：111211.0nnnnkqqDqqp11111111110,00knkknknnnnppccpccDqqq,ijijDkrkrnrkrD对的前行作运算，再对后行作运算把化为上三角形行列式nnkkqqppD1111 故故.21DD 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例7证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(范德蒙德行列式范德蒙德行列式，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙