三角函数复习版(最新版)含真题PPPPP

1、三角函数总复习一、基础知识点回顾二、考试内容：1、数学探索版权所有角的概念的推广和弧度制2、数学探索版权所有任意角的三角函数与单位圆中的三角函数线3、同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式4、数学探索版权所有两角和差的正弦、余弦、正切公式;二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式5、数学探索版权所有正弦函数、余弦函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)的图像和性质;正切函数y=Atan(x+)的图像和性质;6、数学探索版权所有正弦定理,余弦定理运用和解斜三角形；已知三角函数值求角。三、考纲要求：1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余

2、弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、W、的物理意义。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三

3、角函数的定义、性质解决一些简单问题。9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。知识结构（一）特殊角的三角函数值：3045600901802701575010110101002-2+1002+2- (二)同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式:（1）倒数关系：; ; . （2）商的关系： （3）平方关系：; ; 2、诱导公式函数（正弦）（余弦）（正切）（余切）注意：（1）诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。（2） 记忆规律：奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数

4、名称不变；符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点：一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。（3） 诱导公式（详细总结）：1）负角公式：(四象限角)sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=tan;cot(-)=cot.2) 中心对称公式：(180+三象限角)sin(180+)=-sin； cos(180+)=-cos；tan(180+)=tan； cot(180+)= cot.(3)Y轴对称公式：(180-二象限角)sin(180-)=sin； cos(180-)=-cos；tan(180-)=-tan； cot(180-)=

5、 -cot.（4）三角变名公式：(90+二象限角，90-一象限角)1）sin(90+)=cos；cos(90+)=-sin；tan(90+)=-cot； cot(90+)= -tan.2）sin(90-)=cos；cos(90-)=sin；tan(90-)=cot； cot(90-)= tan.3）sin(270+)=-cos；cos(270+)=sin；tan(270+)=-cot cot(270+)= -tan.(270+-四象限角)4）sin(270-)= -cos；cos(270-)=-sin；tan(270-)=cot cot(270-)= tan.(270-三象限角)（5）终边相等

6、角公式：sin(360+)=sin；cos(360+)=cos；tan(360+)=tan； cot(360+)= cot.sin(360-)= sin(-)=-sin；cos(360-)= cos(-)=cos；tan(360-)= tan(-)=-tan； cot(360-)= cot(-)= -cot公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 (三)两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数公式：,。2、两角和与差具体三角函数公式两角和公式 两角差公式 3、二倍角公式和半角公式二倍角公式 半角公式： 4、万能公式 二倍角公式与万能公式 ；5、积化和差公式：5、和差化积公式：注意：

7、熟悉以下公式变形(1) (2) （3） （4）(5)（6）注意“凑角”运用：,求值时,特别注意角的范围及符号。例如：已知则（7）辅助角公式的运用：,其中.如： 等。（8）几种常用变换思想：变不同角为同角 变不同函数为同名函数 见高次降幂 (四)三角函数图象一、三角函数的图象及性质表（1）函数图象定义域RR值域R奇偶性奇函数偶函数奇函数有界性无界函数最小正周期单调区间对称轴无对称轴对称中心最值无最值 表（2）函数定义域RR值域R奇偶性时是奇函数,时是偶函数。时是奇函数,时是偶函数。时是奇函数有界性无界函数最小正周期单调区间对称轴无对称轴对称中心最值无最值 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域

8、（或范围）如：求上的取值范围。例1 注意求单调区间时的整体意识。如：求的单调增区间,在上的单调增区间。而求单调增区间时,先化成的形式,再求的单调递减区间。（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时在对称轴处取最值。二、图象变换：函数的图象可由的图象做如下变换得到1、先相位变换 周期变换 振幅变换 ：把图象上所有的点向左（） 或向右（）平移个单位。 ：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短 （）到原来的 倍,纵坐标不变。 ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短 （）到原来的A倍,横坐标不变。2、先周期变换 相位变换 振幅变换：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短（） 到原来的 倍,纵坐标不变。：把图

9、象上所有的点向左（）或向右（）平移个单位. ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的A倍,横坐标不变。3、 注意：（1）要会画在一个周期的图象：（即五点作图法：设求相应的值和对应的值,描点作图）如,在上的图象的画法。（2）注意图象变换时先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 要先使函数名称相同再变换。如：为得到函数的图象,只需将函数的图象向 平移 个单位。（3）,（频率）。注意、相邻两对称轴间的距离为。（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求,看周期求,看特殊点求（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量进行变换。三、方法技巧归纳：1.八大基本关系

10、依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思

11、想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性5、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率

12、，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或

13、向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。6. 三角函数的图象与性质1）列表综合三个三角函数,的图象与性质,并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是,对称中心是；的对称轴是,对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意.2

14、）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时初相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.3）正弦型函数的图象变换方法如下：1、先平移后伸缩的图象得的图象得的图象 得的图象 得的图象2、先伸缩后平移的图象 得的图象 得的图象得的图象得的图象(五)解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名 称公 式变 形内角和定理A+B+C=+，2A+2B2-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=cosB=cosC正弦定理为ABC的外接

15、圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面积公式 S=aha=bhb=chcS=absinC=acsinB=bcsinAS=S=(P= (a+b+c)S=(a+b+c)r(r为ABC内切圆半径)sinA=sinB=sinC=概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线

16、的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：；）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于轴对称.（5）终边与终边关于原点对称.（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示

17、为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则_。（答：）4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_象限角（答：一、三）5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（答：）；（2）设是第三、四象限角，则的取值范围是_（答：（1，）；（3）

18、若，试判断的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若，则的大小关系为_(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_ （答：）；（3）函数的定义域是_（答：）8.特殊角的三角函数值：3045600901802701575010110101002-2+1002+2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要

19、应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数的值的符号为_（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是_（答：）；（3）已知，则_（答：）；（4）已知，则_；_（答：；）；（5）已知，则等于A、B、C、D、（答：B）；（6）已知，则的值为_（答：1）。10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限

20、（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如（1）的值为_（答：）；（2）已知，则_，若为第二象限角，则_。（答：；）11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 如（1）下列各式中，值为的是 A、 B、 C、D、（答：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的 A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知，那么的值为_（答：）；（4）的值是_（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正

21、确性你的判断是_（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等），如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的值（答：）；（3）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式变形使用（。如

22、（1）已知A、B为锐角，且满足，则_（答：）；(2)设中，则此三角形是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如(1)若，化简为_（答：）；（2）函数的单调递增区间为_（答：）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） （答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如（1）若 ，则 _（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）。13、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确

23、定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是_.（答：2,2）；（2）当函数取得最大值时，的值是_(答：)；（3）如果是奇函数，则=(答：2)；（4）求值：_(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值1。如（1）若函数的最大值为，最小值为，则_，（答：或）；（2

24、）函数（）的值域是_（答：1, 2）；（3）若，则的最大值和最小值分别是_ 、_（答：7；5）；（4）函数的最小值是_，此时_（答：2；）；（5）己知，求的变化范围（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如(1)若，则_（答：0）；(2) 函数的最小正周期为_（答：）；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为

25、过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。如（1）函数的奇偶性是_、（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则_（答：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 16、形如的函数：（1）几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_（答：）；（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象

26、；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0)，n(cos xsin x,2sin x)，函数f(x)mnt，若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x0，时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在ABC中，若f(C)1，且2sin2Bcos Bcos(AC)，求sin A的值【变式训练】（1）设函数，指出的最小正周期并求 取得最大值时的x的值.(2)在，已知，求角A，B，C的大小。【方法探究】函数式，三者关系密切，常可以“知一求二”，是考试命题的常考点.类似的数学结构还有， 、与组等.题

27、型5.以平面向量为工具的综合问题【5】已知向量，、为正实数，.（1）若，求的最大值；（2）是否存在、使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.I 解三角形1ABC中，若，判断ABC的形状2. ABC中，A、B的对边分别是a、b，且，b=4，那么满足条件的ABC( )A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定3在ABC中，AB是成立的_条件4在ABC中，则=_5在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，若,则C=_6.在ABC中，若其面积，则C=_7在ABC中，,b=1，这个三角形的面积为，则ABC外接圆的直径是_8.在ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边，则=_,的

28、最大值为_9.在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是_10设O是锐角三角形ABC的外心，若，且AOB，BOC，COA的面积满足关系式，求A同角三角函数诱导公式综合练习一、 选择题1、已知(，)，tan(7)，则sincos的值为 ()A B C. D2、已知tan2，则 ()A2 B2 C0 D.3、(tanx)cos2x ()Atanx Bsinx Ccosx D.4、已知cos()，则sin() ()AB. C D.5、记cos(80)k，那么tan100()A.B C. D6、已知A为锐角，lg(1cosA)m，lgn，则lgsinA的值为 ()Am Bmn C.(m) D.(

29、mn)7、若tan2，则的值是() A B C. D.8、已知，那么的值是()A.BC2D29、若cos2sin，则tan()A. B2 C D210、如果cos（x）=cosx,则x的取值范围是 （ ） A. 2kx2k B. 2kx2k （kZ）C. 2kx2k ,且x（2k1） D. （2k1）x2（k1） 二、填空11若f(cosx)cos3x，则f(sin30)的值为_12已知tan2，则(1)_；(2)_；(3)4sin23sincos5cos2_._.13、已知sin，则cos_.三、解答题1、（1）已知，求的值；（2）已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)

30、，求的值。（3） 已知，求的值（4）已知，求的值2、设和，求的值.3、若,求的值4、已知为锐角，且 ,，求的值5、已知f（x）= , 求f（）的值。6、化简：（1） （kZ）（2）化简 （3）化简：。 （思考：（4）化简（5）若为第三象限角，化简（6）化简：（7）化简：7、 （1）已知sin和cos是方程2 x2（1）xm = 0的两个根，求的值。（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值. 8、证明：(1) (2)tan2sin2tan2sin2（3）求证：sin4（）cos2（）sin2（2）cos2（）= 1（4）已知：sin（）=1 ，求证：tan（2）tan= 0.9、已知f()(

31、1)化简f()；(2)若为第三象限角，且cos()，求f()的值；(3)若，求f()的值必修4 第三章 三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0 B C D 2.，是第三象限角，则（ ） A B C D 3.设则的值是 ( )A B C D 4. 已知，则的值为 （ ）A B C D 5.都是锐角，且，则的值是 （ ） A B C D 6. 且则cos2x的值是 （）A B C D 7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A B C D 9.要得到函数的图像，只需将的图像 （）A、向右平移个单位 B、

32、向右平移个单位C、向左平移个单位 D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是 （ ） A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是 ( )A B C D 12.在中，则等于 ( )A B C D 二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于 14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则 15. 已知，则的值为 16. 关于函数，下列命题：若存在，有时，成立；在区间上是单调递增；函数的图像关于点成中心对称图像；将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值 19. 已知为第二象限角，且 sin=求的值. 20、（1）已知sin和cos是方程2 x2（1）xm = 0的两个根，求的值。（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值. 21.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。（2）函数的单调减区间（3）此函数的图像可以由函数的图像经过怎样变换而得到。必修4 第三章 三角恒等变换(2)一、选择题1 已知，则 （ ）A B C D 2 函数的最小值等于 （ ）A B C D 3 在ABC中，则ABC为 （ ）A 锐角三角形