专题9三角函数(三)

1、 中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号： 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题三角函数（三）教学目的教学内容第五节 两角和与差的三角函数 （一）高考目标考纲解读1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系考向预测1利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容2公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点3在选择题、填空题、解答题中都可能考查（二）课前自主预习知识梳理1cos(

2、)cos·cossin·sin(C)cos() (C)sin() (S)sin() (S)tan() (T)tan() (T)前面4个公式对任意的，都成立，而后面两个公式成立的条件是ak，k，kZ，且k(T需满足)，k(T需满足)kZ时成立，否则是不成立的当tan、tan或tan(±)的值不存在时，不能使用公式T±处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解2要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：()，()，2()()，2()()等等3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T±可变形为

3、：tan±tan，tantan .（三）基础自测1(2010·福建理)计算sin43°cos13°cos43°sin13°的结果等于()A.B. C. D.答案A解析原式sin(43°13°)sin30°.2已知，sin，则tan等于()A. B7 C D7答案A解析，sin，cos，tan.而tan.3(2011·烟台模拟)已知，都是锐角，sin，cos()，则cos等于()A. B. C. D.答案D解析，(0，)，由sin，得，又由cos()，得，故，cos.4tan15°cot

4、15°等于( )A2B2 C4 D.分析可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°30°或者15°求解答案C解析解法1：tan15°cot15°4.解法2：tan15°cot15°tan(45°30°)4.解法3：tan15°cot15°tan4.5函数ysinxcos的最大值和最小值分别为_答案，解析ysinxcosxcossinxsinsinxcosxsin.当x2k(kZ)时，ymax；当x2k(kZ)时，ymin.6化简：cossin_.答案cos解

5、析cossincoscossinsinsincoscossincossincossincos.7若锐角，满足(1tan)(1tan)4，求的值解析(1tan)(1tan)1tantan3tantan4，(tantan)3(1tantan)，即tantan(1tantan)，tan()，又、均为锐角，0<<，.（四）典型例题1.命题方向：化简求值问题例1求下列各式的值：(1)()(2)·cos10°sin10°tan70°2cos40°分析角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件解析(1)32cos20

6、°.原式32.(2)·cos10°sin10°tan70°2cos40°2cos40°2cos40°2cos40°2cos40°2.点评在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法跟踪练习1求2sin50°sin10°(1tan10°)·的值解析原式·sin80°(2sin50°2sin10°·)&#

7、183;cos10°2sin50°·cos10°sin10°·cos(60°10°) 2sin(50°10°)2×.点评对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值(2)化为正负相消的项，消去求值(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值(4)给值(或式)求值.2.命题方向：条件求值例2已知sin(30°)，60°<<150°，求cos的值分析(1)因为30°是特殊角，所以可用和

8、角公式展开后，设法求值(2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解解析方法一：sin(30°)sin30°·coscos30°·sincossin，cossin.又sin2cos21，由得cossin，代入得100sin260sin110.sin.又60°<<150°，sin>.而sin<，只取sin.代入，得cos·.方法二：把30°看作整体，可求cos(30°)的值60°<<150°，90°<30&#

9、176;<180°.sin(30°)，cos(30°).sin(30°)sin30°·coscos30°·sincossin，cos(30°)cos30°·cossin30°·sincossin.由，得cos.方法三：60°<<150°，90°<30°<180°.sin(30°)，cos(30°).coscos(30°)30°cos(30°

10、;)·cos30°sin(30°)·sin30°××.点评(1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sin的范围，从而得cos值这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误方法二注意到了把30°看作整体，先求出cos(30°)，再将两式展开，解方程组即可比方法一大大简化而方法三注意到了角之间的关系，(30°)30°，从而快捷地求出cos的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想跟踪练习2(2011·襄樊)已知cos，cos()，

11、且0<<<.(1)求tan2的值；(2)求角.解析(1)由cos，0<<，得sin.tan4.于是tan2.(2)由0<<<，得0<<.又cos()，sin().由()得，coscos()coscos()sinsin()××.3.命题方向：给值求解问题例3已知3sin22sin21,3sin22sin20，且，都是锐角，求2的值分析(1)欲求角，应先求其某种三角函数值(2)从已知条件找出角2的范围，确定其值解析方法一：由3sin22sin21，得12sin23sin2，即cos23sin2.又由3sin22sin2

12、0，得sin2sin2.cos(2)coscos2sinsin2cos·3sin2sin·sin23sin2·cos3cos·sin20.又0°<<90°，0°<<90°，0°<2<270°.故290°.方法二：由3sin22sin21得3sin2cos2又由3sin22sin20得sin2sin2÷得tancot2.0°<<90°，0°<2<90°，cot(90°)

13、cot2，又0°<90°<90°，0°<2<90°，290°.跟踪练习3已知0<<<<，tan，cos().(1)求sin的值；(2)求的值解析(1)tan，sinsin2sincos.(2)0<<，sin，cos.又0<<<<，0<<.由cos()，得0<<.sin()，sinsin()sin()coscos()sin××.由<<得.(或求cos，得)（五）思想方法点拨理解和运用两角和与差的三角

14、函数公式需注意的几个问题：1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况、中若有为的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便2公式的逆用及有关变形tan±tantan(±)(1tantan)；sin±cossin.3角的变换()，()，2()()，2()()注意：在公式T(±)中，、±必须使等式两端均有意义，即、±都不能取2k(kZ)否则，利用诱导公式求解（六）课后强化作业一、选择题1(2010·新课

15、标文)若cos，是第三象限的角，则sin()()AB. C D.答案A解析本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题由题知，cos，是第三象限的角，所以sin，由两角和的正弦公式可得sin()sincoscossin()×()×.2(2011·济南模拟)sin15°cos75°cos15°sin105°等于()A0 B. C. D1答案D解析sin15°cos75°cos15°sin105°sin15°cos75&

16、#176;cos15°sin75°sin90°.3已知<<，sin，则sin()A. B. C. D.答案A解析<<，<<，又sin，cos，sinsin，故选A.4已知sin，为第二象限角，且tan()1，则tan的值是()A7 B7 C D.答案B解析由sin，为第二象限角，得cos，则tan.tantan()7.5已知cos，则sin2的值为()A. B CD.答案C解析方法1：sin2cos(2)2cos2()1，故选C.方法2：cos()cossin两边平方得sin2，sin2，故选C.6已知sinxsiny，cosx

17、cosy，且x、y为锐角，则tan(xy)的值是()A. B C± D±答案B解析由已知sinxsiny，cosxcosy，得，相加得cos(xy)，且x、y均为锐角，sin(xy)，tan(xy)，故选B.7若，cos，sin，则cos()的值等于()A B C. D.答案B解析sin，cos，或由有或(舍去)，cos()cos.8在ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由条件知2tanBtanAtanC()显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0()式不成立t

18、anBtan(AC)，且tanB0，tanAtanC3，(2tanB)2(tanAtanC)2tan2Atan2C2tanAtanC4tanAtanC12，因此tan2B3，tanB>0，tanB，B<，即B的取值范围是，选D.二、填空题9(2011·乐山模拟)已知cos，cos()，、，则_.答案解析、，(0，)，sin，sin()，coscos()cos()cossin()sin，0<<，.10函数ysinsin的最小正周期T_.答案解析解法1：f(x)sinsincos.T.解法2：ycosxsin2xcos2xsin，T.11若cos()，cos()，

19、则tan·tan_.答案解析由题意知：coscos，sinsin，得：tantan.三、解答题12(2011·北京海淀区模拟)已知tan2.求：(1)tan的值；(2)的值解析(1)tan，且tan2，tan3.(2)tan.13如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan()的值；(2)求2的值 解析由已知得cos，cos.、为锐角，sin，sin，tan7，tan.(1)tan()3.(2)tan2，tan(2)1.、为锐角，0<2<，2.14(文)若sinA，s

20、inB，且A，B均为钝角，求AB的值分析欲求AB，先求AB的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得AB的值解析A、B均为钝角且 sinA，sinB，cosA，cosB，cos(AB)cosAcosBsinAsinB××又<A<，<B<，<AB<2.由知AB.点评(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(理)已知sin，cos2sin2，求sin及tan.解析由

21、题设条件，应用两角差的正弦公式得：sin(sincos)，即sincos由题设得cos2sin2(cossin)(cossin)(cossin)，故cossin由式和式得：sin，cos.tan，tan.15设函数f(x)(sinxcosx)22cos2x(>0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)若函数yg(x)的图像是由yf(x)的图像向右平移个单位长度得到的，求yg(x)的单调增区间分析 解析(1)f(x)(sinxcosx)22cos2xsin2xcos2x2sinxcosx1cos2xsin2xcos2x2sin(2x)2，依题意得，故的值为.(2)依题意得g(x)sin2si

22、n2，由2k3x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故yg(x)的单调增区间为(kZ)第六节 二倍角的三角函数（一）高考目标考纲解读能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不要求记忆)考向预测1灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容2以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题3多以解答题的形式呈现，属中、低档题（二）课前自主预习知识梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2；cos2；tan

23、2 2升、降幂公式主要用于化简、求值和证明其形式为： 升幂公式1cos2 ， 1cos2 .降幂公式cos2=，sin2. =3.辅助角公式asin+bcos= （三）基础自测1(2011·新乡模拟)函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为()A3,1B2,2 C3， D2，答案C解析f(x)12sin2x2sinx22，sinx时，f(x)max，sinx1时，f(x)min3，故选C.2(2010·福建文)计算12sin222.5°的结果等于()A. B. C. D.答案B解析本题主要考查二倍角公式12sin2225°cos45

24、6;3(2010·江西理)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF()A. B. C. D.答案D解析如图，设CBAC1，则AB，又取AB的中点为H，连CH，则CH AB，由题意知EH，CH，得tanECH. 故tanECFtan2ECH， 选D.4.()A. B. C2 D.答案C解析原式2·2，故选C.5(2010·浙江理)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案解析f(x)sin(2x)2sin2xsin(2x)(1cos2x)sin(2x)cos2xsin2xcoscos2xsincos2xsin2xcos2xsin(2

25、x)，所以T.6化简的结果是_答案cos1解析原式cos1.7已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值、最小值解析(1)f(x)cos4xsin4x2sinxcosx(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2xcos，f(x)的最小正周期T.(2)当cos1时，f(x)max；当cos1时，f(x)min.（四）、典型例题1.命题方向：三角函数的化简与求值例1化简：sin2sin2cos2cos2cos2cos2.分析观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名

26、称有正弦、余弦，可异名化同名等等解析解法1：(从“角”入手，复角化单角)原式sin2·sin2cos2·cos2·(2cos21)(2cos21)sin2·sin2cos2·cos2·(4cos2·cos22cos22cos21)sin2·sin2cos2·cos2cos2cos2sin2·sin2cos2·sin2cos2sin2cos21.解法2：(从“名”入手，异名化同名)原式sin2·sin2(1sin2)·cos2cos2·cos2cos2sin

27、2(cos2sin2)cos2·cos2cos2cos2·cos2cos2.解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式··cos2·cos2(1cos2·cos2cos2cos2)(1cos2·cos2cos2cos2)·cos2·cos2.点评对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少跟踪练习1计算：cos·cos·cos.分析构造运用二

28、倍角公式，由诱导公式、恒等式求解解析cos·cos·cos.2.命题方向：三角函数式的证明例2(1)求证tan4A.(2)已知：sinm·sin(2)，其中m0,2k(kZ)求证：tan()tan(m1)分析对(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化4A为2A，再化2A为A，然后将弦化为切(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为与的函数，而已知是与2的函数，将，2用，表示是解决本题的正确方向解析(1)左边22tan4A右边等式成立(2)由()，2()得sin()m·sin()，即sin()coscos(

29、)sinmsin()coscos()sin，即(1m)sin()cos(1m)cos()sin跟踪练习2求证：sin2.证明左边·cos2tan·cos2·cos2sincossin2右边所以原等式得证.3.命题方向：辅助角公式的考查例3(2010·浙江文)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求sinAsinB的最大值分析本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力解析(1)由题意可知，absinC·2abcosC，tanC，又0

30、<C<.C.(2)由已知sinAsinBsinAsin(CA)sinAsin(A)sinAcosAsinAsinAcosAsin(A).当且仅当A，即A时取等号即当ABC为正三角形时取等号，sinAsinB的最大值是.sinAcosAsin(A).跟踪练习3已知函数f(x)sinsin2cos2，xR(其中>0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数yf(x)，x(a，a的图像与直线y1有且仅有两个不同的交点，试确定的值，并求函数yf(x)，xR的单调增区间解析(1)f(x)sinxcosxsinxcosx(cosx1)212sin1.由1sin1，得32si

31、n11.可知函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为，又由>0，得.即得2.于是有f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以yf(x)的单调增区间为(kZ)（五）思想方法点拨1三角函数式的化简(1)化简的要求能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法(3)化简的方法

32、弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等2三角恒等式的证明证明三角恒等式的方法：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等3辅助角公式asinbcossin()，其中.的终边所在的象限

33、由a，b的符号来确定，角称为辅助角（六）课后强化作业一、选择题1(2010·全国卷)已知sin，则cos(2)()AB C. D.答案B解析本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用由诱导公式得cos(2)cos2，cos212sin212×，cos(2).2函数f(x)sin2xsinxcosx在区间，上的最大值是()A1B. C. D1答案C解析f(x)sin2xsin，又x，2x，f(x)max1，故选C.3已知tan22，且满足<<，则 的值为()A. B C32 D32答案C解析.又tan222tan22tan20.解得tan或.又<&l

34、t;，tan.原式32.故选C.4(2010·新课标理)若cos，是第三象限的角，则()A B. C2 D2答案A解析本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用cos且是第三象限的角，sin，故选A.5已知sin，且，则的值为()A B C. D.答案B解析sin，cos，.6函数f(x)(3sinx4cosx)·cosx的最大值为()A5 B. C. D.答案C解析f(x)(3sinx4cosx)cosx3sinxcosx4cos2xsin2x2cos2x2sin(2x)2，其中tan，所以f(x)的最大值是2.故选C.7.2的化简结果是()A4cos42

35、sin4 B2sin4 C2sin44cos4 D2sin4答案C解析22|cos4|2|sin4cos4|，<4<，cos4<sin4<0.原式2cos42(sin4cos4)2sin44cos4.故选C.8设5<<6，cosa，则sin等于()A.B. C D答案D解析5<<6，<<，sin<0，acos12sin2，sin.二、填空题9设acos6°sin6°，b，c，则a、b、c的大小关系为_(由小到大排列)答案a<c<b解析asin24°，bsin26°，csin25

36、°，ysinx在(0°，90°)上单增，a<c<b.10已知<<，化简_.答案sin解析原式sin.11若sin·cos，则cos·sin的取值范围是_答案解析解法一：设tcos·sin，又sin·cos，sin·cos·sin·cost，即sin2·sin22t，|sin2·sin2|1.2|t|1，即t.cos·sin的取值范围是.解法二：由sin·cos知sin2·cos2.则cos2·sin2(1sin2

37、)(1cos2)1(sin2cos2)sin2cos2(sin2cos2)2，所以cos·sin.三、解答题12已知函数f(x)asinx·cosxacos2xab.(a>0)(1)xR，写出函数的单调递减区间；(2)设x0，f(x)的最小值是2，最大值是，求实数a，b的值解析(1)f(x)a(sinx·cosxcos2x)ba×(sin2x×)ba·sin(2x)ba>0，xR，由2k2x2k(kZ)得，f(x)的递减区间是k，k(kZ)(2)x0，2x，sin(2x)，1函数f(x)的最小值是ab2最大值ab，解得a2，b2.13在