第7章 无限脉冲响应滤波器的设计(1)

1、数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science1IIR滤波器设计方法有间接法和直接法滤波器设计方法有间接法和直接法。 间接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；计公式，还有完善的图表和曲

2、线供查阅； 另外，还有一另外，还有一些典型的优良滤波器类型可供我们使用。些典型的优良滤波器类型可供我们使用。 直接法直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。第第7章章 无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如有多种典型的

3、模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器椭圆滤波器、贝塞尔滤波器等。这些滤等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。 数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science3典型的滤波器各有特点：典型的滤波器各有特点： 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带

4、有等波纹特性，的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；可以提高选择性； 贝塞尔滤波器贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；通带内有较好的线性相位特性； 椭圆滤波器椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science4 设计滤波器，先设计低通滤波器，再通过频率设计滤波器，先设计低通滤波器，再通过

5、频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。 先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。计方法。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1.1 模拟滤波器的描述方法模拟滤波器的描述方法 模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义式叶变换定义式(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率得来的。实际模拟滤波器的频率响应响应其中其中h(t)

6、是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是的拉普拉斯变换的定义是0)()()(dtethdtethHtjtj)( )()(LT)(jsdteththsHst(7.1)(7.4)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 拉普拉斯变换的简写是拉普拉斯变换的简写是LT，s=+j表示带实部表示带实部的复数角频率，称复数频率，简称复频率，它不但能的复数角频率，称复数频率，简称复频率，它不但能简化模拟角频率的书写，还能使一些不收敛的傅里叶简化模拟角频率的书写，还能使一些不收敛的傅里叶

7、变换收敛。变换收敛。 滤波器输出滤波器输出y(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Y(s)比输入比输入x(t)的的拉普拉斯变换拉普拉斯变换X(s)，得到的比例函数称系统函数，即，得到的比例函数称系统函数，即 模拟滤波器的模拟滤波器的系统函数常用多项式的分式来表示，系统函数常用多项式的分式来表示，分母的最高幂分母的最高幂N表示滤波器的阶。表示滤波器的阶。)()()(sXsYsH(7.5)( )(01110111是正整数和NMcscscscdsdsdsdsHNNNNMMMM(7.6)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器的幅频特性|

8、H(j)|也有用分贝的衰减也有用分贝的衰减函数函数A()来表示的，即来表示的，即如果如果|H(j)|max=1，则衰减函数将变为，则衰减函数将变为 幅频特性的平方幅频特性的平方|H(j)|2叫做叫做幅度平方响应幅度平方响应，它也，它也是描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱是描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱H(j)的共轭特点，即的共轭特点，即)( | )(| )(|lg10)(22max分贝jHjHjA)( | )(|lg10)(2分贝jHjA) 1 . 7( )()(*可知利用定义jHjH(7.7)(7.8)(7.9)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnj

9、oy Science幅度平方响应有这种关系，幅度平方响应有这种关系， 这种关系让设计模拟滤波器这种关系让设计模拟滤波器的工作变为解方程的工作变为解方程。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计巴特沃斯滤波器的设计 模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是它的幅度随频率的增大而变小。例如它的幅度随频率的增大而变小。例如H(j)在阶在阶N=1和和5时，它们时，它们的频率响应曲线的频率响应曲线为为jssHsHjHjHjH| )()()(*)(| )(|2)( )/(11| )(|c2c2是半功率点截止频率

10、NjH(7.10)(7.11)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 为了得到用复频率为了得到用复频率s表示的系统，让我们将表示的系统，让我们将s=j代入幅度平方响应，就可以得到代入幅度平方响应，就可以得到)( )()()()()(11| )()(| )(|212212c2c22c2c2是分母的根NNNNNNNjssssssssjjsjjssHsHjH图图7.2(7.12)( )()( )()()(1c121c前后两半的极点共轭不影响幅频特性省略NkkNkkNNNsssHjsssssssH数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Sci

11、ence10低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标根据技术指标p、 p、s和和 s，求出滤波器的，求出滤波器的阶数阶数N。(2) 求出归一化极点求出归一化极点pk，得到归一化低通原型系统，得到归一化低通原型系统函数函数Ga(p)。也可以根据阶数。也可以根据阶数N直接查表得到直接查表得到pk和和Ga(p)。(3) 将将Ga(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到实际的滤波器系统函数实际的滤波器系统函数 这里这里c为为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照，可以按照(7.25

12、)式或式或(7.26)式求出式求出c| )()(asppGsH数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science11令令 ssppsp/10sp/10101101k则则N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN 数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science12用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，应取可能有小数部分，应取大于或等大于或等于于N的最小整数。的最小整数。关于关于3 dB截止频率截止频率c，如果技术指，如果技术指标中没有给出，可以按照下式求出。标中没有给出，可以按照下式求出。N211 . 0pc) 110(pN211

13、 . 0sc) 110(s数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science13表表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science14数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science 例题例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率通带截止频率fp=5kHz，通带衰减，通带衰减Ap=2dB，阻带截止，阻带截止频率频率fs=12kHz，阻带衰减，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满。请设计一个能满足这些技

14、术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。 解解 设计滤波器的关键在阶设计滤波器的关键在阶N和和3dB截止频率截止频率c。下面分四步来设计模拟滤波器。下面分四步来设计模拟滤波器。（1）确定滤波器的阶确定滤波器的阶 根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得)( dB )/(1lg10)(2cjAN为什么可省略数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science将技术指标分别代入衰减函数，可得阶将技术指标分别代入衰减函数，可得阶实际的阶实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。是正整数，最好是大于理

15、论值的最小整数。本题取本题取N=3。（2）确定滤波器的截止频率确定滤波器的截止频率 根据衰减函数，如果使用通带指标来计算根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截截止频率，则止频率，则93. 2)/lg(2)110/() 110lg(sp10/10/spAANHz)5468( (rad/s) 3435654682) 110(50002)( ) 110(c)32/(110/2)2/(110/pcpfNA它的阻带衰减较好(7.23)(7.27)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science（3）确定滤波器的极点确定滤波器的极点 根据极点公式根据极点公式(7.14)和

16、阶和阶N=3，选择位于，选择位于s平面的平面的左半平面的极点，得系统的极点左半平面的极点，得系统的极点（4）确定滤波器的系统函数确定滤波器的系统函数 根据巴特沃斯滤波器的系统函数式根据巴特沃斯滤波器的系统函数式(7.18)，得，得)34356( 1006. 41036. 21087. 61006. 4)( 22)30. 7( )()()(c139243133c2c2c333213c代入利用共轭特点利用极点sssssssssssssHc)( , ,1334c3c232c1的共轭是ssessesjj(7.30)(7.31)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science

17、18【例例】 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解解 ： (1) 确定阶数确定阶数Nsp0.1sp0.110141.3223101ksspp22.42fflg41.32234.25lg2.4N spsplglgkN 取取N=5数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science19(2) 直接查表，由直接查表，由N=5直接查表得到：直接查表得到：

18、012233445a1)(bpbpbpbpbppGb0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为分母因式分解形式为) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science20(3) 为将为将Ga(p)去归一化，先求去归一化，先求3 dB截止频率截止频率c。得到：。得到： 将将p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： p10.12cp(101)2 5.2755 krad/sN 5c04c123c232c34c455ca)(bs

19、bsbsbsbssH数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science212. 用用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数信号处理工具箱函数buttap, buttord和和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。种调用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)该格式用于计算该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频截止频率率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为

20、益因子。返回长度为N的列向量的列向量Z和和P，分别给出，分别给出N个零个零点和极点的位置，点和极点的位置，K表示滤波器增益。得到的系统函数表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式为如下形式: a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science22式中，式中，Z(k)和和P(k)分别为向量分别为向量Z和和P的第的第k个元素。个元素。 如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量分母多项式系数向量B和和A,可以调用结构转换

21、函数可以调用结构转换函数B, A=zp2tf(Z, P, K)。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science232） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器数字滤波器的的阶数阶数N和和3 dB截截止频率止频率wc。调用参数。调用参数wp和和ws分别为数字滤波器的通带边界分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求频率和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示数字频率表示数字频率（对应模拟频率（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。表示采样频率）。Rp和和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。）。3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器模拟滤波器的阶数的阶数N和和3 dB截止频率截止频率wc。wp、ws和和wc是实际模拟角频率（是实际模拟角频率（rad/s）。）。其他参数与格式其他参数与格式2）相同。）相同。数字信