麦克斯韦速率分布

1、 热热 学学 分子射线束实验分子射线束实验主讲：主讲：金涛金涛 陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西师范大学物理学与信息技术学院2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 1.由于分子频繁的碰撞由于分子频繁的碰撞, ,每个分子速度的大小及方向不断每个分子速度的大小及方向不断改变改变, ,其运动轨迹是一条复杂的折线其运动轨迹是一条复杂的折线. .2.2.以各种大小不同的速率及向各个方向运动的分子都有以各种大小不同的速率及向各个方向运动的分子都有, ,那么是否气体分子热运动的速率那么是否气体分子热运动的速率( (速度速度) )就无规律而言呢就无规律而言呢? ?完全不是的完全不是的. .就气体一个分子

2、而言就气体一个分子而言, ,速率的大小及运动的方速率的大小及运动的方向是不可准确预言的向是不可准确预言的, ,具有偶然性具有偶然性. .但对大量分子组成的整但对大量分子组成的整体而言体而言, ,分子速率及速度的分布却遵守一定的规律分子速率及速度的分布却遵守一定的规律. .理想气理想气体处在平衡态时体处在平衡态时, ,在一定的速率间隔内的分子数与总分子在一定的速率间隔内的分子数与总分子数的比率所遵守的规律叫麦克斯韦速率分布律数的比率所遵守的规律叫麦克斯韦速率分布律. .它是大量它是大量偶然事件整体遵守的规律偶然事件整体遵守的规律, ,所以是一个统计规律所以是一个统计规律. . 这种统计相关性表现

3、为平均说来气体分子的速率这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于（指速度的大小）介于v 到到v + dv的概率（即速率分布函的概率（即速率分布函数）是不会改变的数）是不会改变的. . 气体分子热运动的特点气体分子热运动的特点: : 由于技术条件由于技术条件( (如高真空技术如高真空技术, ,测量技术等测量技术等) )的限制的限制, ,测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验, ,直到直到2020世纪世纪2020年代才实年代才实现现. .实验技术的不断改善和提高实验技术的不断改善和提高, ,特别是分子射线实验技特别是分子射线实验技术的迅速发展术的迅速发展, ,使

4、麦克斯韦速率分布律得到许多直接的使麦克斯韦速率分布律得到许多直接的实验证明实验证明. .2.3.1 分子射线束实验分子射线束实验 一一. .分子射线分子射线: :* *二二. .朗缪尔实验朗缪尔实验: :PCBASS 上图是一种用来产生分子射线并可观测射线分子速上图是一种用来产生分子射线并可观测射线分子速率分布的实验装置，全部装置放在高真空的容器里。率分布的实验装置，全部装置放在高真空的容器里。 A 是一个恒温箱是一个恒温箱, ,其中产生着金属蒸气其中产生着金属蒸气, ,蒸气分子从蒸气分子从A上小孔射出上小孔射出, ,经狭缝经狭缝S 形成一束定向的细窄射线形成一束定向的细窄射线. .PCBAS

5、Sl B和和C 是两个共轴圆盘是两个共轴圆盘, ,距离为距离为l , ,盘上各开一狭缝盘上各开一狭缝, ,两缝略微错开两缝略微错开, ,成一小角成一小角. . P是一个接受分子的胶片屏是一个接受分子的胶片屏, ,当圆盘以角速度当圆盘以角速度转动转动时时, ,圆盘每转一周圆盘每转一周, ,分子射线通过分子射线通过B 的狭缝一次的狭缝一次. . 由于分子的速度大小不同由于分子的速度大小不同, ,分子自分子自B 到到C 所需的时所需的时间也不同间也不同, ,所以并非所有通过所以并非所有通过B 盘的分子盘的分子, ,都能通过都能通过C 盘狭缝射到盘狭缝射到P上上. .设分子的速率为设分子的速率为v ,

6、 ,自自B 到到C 所需的时所需的时间为间为 t , ,PCBASSlPCBASSl 显然只有满足下面两个关系的分子显然只有满足下面两个关系的分子, ,才通过才通过C 盘狭盘狭缝射到缝射到P上上. . tlvt，lv 当当 , ,l , , 一定时一定时, ,只有速率满足上式的分子只有速率满足上式的分子, ,才能才能通过通过C 盘狭缝射到盘狭缝射到P上上. .PCBASSllv 这时这时B 和和C 起着速率选择器的作用起着速率选择器的作用, ,改变改变（或或l 及及）, ,可使速度大小不同的分子通过可使速度大小不同的分子通过PCBASSl 实验时实验时, ,令圆盘先后以不同的角速度令圆盘先后以

7、不同的角速度1 、2 转动转动, ,用光度学的方法测量各次在胶片用光度学的方法测量各次在胶片上沉积的金属层的厚度上沉积的金属层的厚度, ,从而可以比较具有不同从而可以比较具有不同速率分子的分子速率分子的分子数的相对比值数的相对比值.PCBASSl 实际上实际上, ,由于由于B 和和C 的狭缝都有一定宽度的狭缝都有一定宽度, ,所以当角所以当角速度速度 一定时一定时, ,能射到能射到P上的分子的速度大小并不严格相上的分子的速度大小并不严格相等等, ,而是分布在一个区间而是分布在一个区间v v +v 内的内的. .因此实验结果因此实验结果给出的是分布在不同速率间隔内分子数的相对比值给出的是分布在不

8、同速率间隔内分子数的相对比值. . 若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的分子若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的分子数数N的探测器的探测器, ,我们就可利用这种实验装置测出分子我们就可利用这种实验装置测出分子的速率从零到无穷大范围内的分布情况的速率从零到无穷大范围内的分布情况. .与黑点在靶板与黑点在靶板上的分布相类似上的分布相类似, ,我们以我们以N/Nv 为纵坐标（其中为纵坐标（其中N是是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数）单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数）, ,以以分子的速率分子的速率v为横坐标作一图形为横坐标作一图形, ,如图所示。如图所示。 分子束速率分布图线分

9、子束速率分布图线dvNdvdN 图图（a）中每一细长条的面积中每一细长条的面积均表示单位时间内所射出的分子束均表示单位时间内所射出的分子束中中, ,分子速率介于该速率区间的概分子速率介于该速率区间的概率率(N/Nv )v , ,其中其中v = 10ms-1。分子束速率分布图线分子束速率分布图线 在在v到到v+dv速率区间内速率区间内的细长条的面积就表示分子速的细长条的面积就表示分子速率介于率介于v 到到v+dv区间范围内的概率区间范围内的概率: NdvdNvF)(称为称为分子束速率分布概率密度函数分子束速率分布概率密度函数。 当当v 0时时,即得一条光滑的即得一条光滑的曲线曲线,称为称为分子束

10、速率分布曲线分子束速率分布曲线,如如图图(b),其纵坐标为其纵坐标为: : 热热 学学 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布主讲：主讲：金涛金涛 陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西师范大学物理学与信息技术学院2.3.2麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 一一. .速率分布函数速率分布函数: :2.分布在分布在v1-v2间隔内间隔内(有限速率范围有限速率范围,eg:500-600ms-1)的分子的分子数占总分子数的比率数占总分子数的比率:21( )vvNf v dvN 由于全部分子百分之百分布在由于全部分子百分之百分布在 整个速率范围内整个速率范围内. .若上式中若上式中 , ,则积分结果为则积分结

11、果为1,1,即即: :0 120,vv 0( )1f v dv1.速率分布函数速率分布函数: :* *3.f(v)的归一化条件的归一化条件: :二二. .麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布（Maxwell speed distribution）dvvekTmdvvfkTmv222/32)2(4)(2322242mvKTdNmev dvNKT即为麦克斯韦速率分布律即为麦克斯韦速率分布律, ,适用于理想气体平衡态适用于理想气体平衡态. .此时此时: : 1.1.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律: : 早在早在1859年年, ,英国物理学家麦克斯韦英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三个方

12、向上作利用平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设得到了麦克斯韦速率分布律独立运动的假设得到了麦克斯韦速率分布律: : 在温度为在温度为T的平衡状态下的平衡状态下, ,当气体分子间的相互作用当气体分子间的相互作用可以忽略时可以忽略时, ,分布在任一速率区间分布在任一速率区间v-v+dv内的分子比率为内的分子比率为: :( )vf v2.速率分布曲线速率分布曲线: :(3)曲线从曲线从0开始至无穷开始至无穷, ,说明分子速率在说明分子速率在0至无穷的整个至无穷的整个范围内范围内, ,曲线下总面积为曲线下总面积为: .: .0( )1f v dv(1)麦克斯韦分布适用于平衡态的气体麦克斯韦分

13、布适用于平衡态的气体. .在平衡状态下气体在平衡状态下气体分子密度分子密度n及气体温度都有确定数值及气体温度都有确定数值, ,故其速率分布也是故其速率分布也是确定的确定的, ,它仅是分子质量及气体温度的函数它仅是分子质量及气体温度的函数. .3.说明说明: :(4)由曲线形状可知由曲线形状可知, ,速率较小和较大的分子数都较少速率较小和较大的分子数都较少, ,具具有中等速率的分子占大多数有中等速率的分子占大多数. .21( )vvf v dv(2)与速率与速率v1-v2对应的曲线对应的曲线下面积为下面积为: :(1)dv间隔对应的曲线下矩间隔对应的曲线下矩形面积为形面积为f(v)dv.(2)因

14、为因为v2是一增函数是一增函数, ,exp(-mv2/2kT)是一减函数是一减函数, ,增函数增函数与减函数相乘得到的函数将在某一值取极值与减函数相乘得到的函数将在某一值取极值. .我们称概我们称概率密度取极大值时的速率为最概然速率率密度取极大值时的速率为最概然速率( (也称最可几速也称最可几速率率),),以以vp表示表示. . 4.最可几速率最可几速率( (最概然速率最概然速率):):vp( )0df vdv( (学生自己计算学生自己计算) )可得可得: :221.41pKTRTRTvm(2)(2)物理意义物理意义: :若把整个速率范围分为许多相等的小区间若把整个速率范围分为许多相等的小区间

15、, ,则分布在则分布在vp所在区间的分子数比率最大所在区间的分子数比率最大. .由下式确定由下式确定: :(1)(1)定义定义: :最可几速率是与最可几速率是与f(v)极大值对应的速率极大值对应的速率. .可见可见: :温度越高温度越高, ,最可几速率越大最可几速率越大; ;分子质量越大分子质量越大, ,最可几最可几速率越小速率越小. .三三. .用麦克斯韦速率分布律求平均值用麦克斯韦速率分布律求平均值1.平均速率平均速率: :6.说明说明: :* *5.速率分布曲线与温度及分子质量的关系速率分布曲线与温度及分子质量的关系: :* *(1)定义定义: :大量分子速率的算术平均值大量分子速率的算

16、术平均值. .(2)计算计算: :* *得得: :由平均速率定义由平均速率定义: :NNvvii00( )( )vdNvNf v dvvvf v dvNN将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: :881.60.AkTRRTRTvkvmN2.方均根速率方均根速率: :2v22220( )33( )v dNv Nf v dvkTRTvv f v dvNNm2331.73.kTRTRTvm 它们三者之间相差不超过它们三者之间相差不超过23%,而以方均根速率为最大而以方均根速率为最大. .右图表示了麦克斯韦速率分布右图表示了麦克斯韦速率分布中的三种速率的相对大小中的三种速率的相对大小. . 在在1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式证明中曾用到近似条件证明中曾用到近似条件2vv 224. 1: