生物数学结课论文

1、 生物数学结课论文 班级：研数理1433 学号：1142209024 姓名： 王艳红 乙型肝炎传播的模型及其动力学性态分析1引言传染病历来就是危害人类健康的大敌，历史上传染病一次又一次的流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难。1990年苏联发生白喉流行，波及东欧15个国家，病例超过10万人；各种类型的肝炎在不少国家广泛流行；性病患者显著上升；人类新的致命杀手艾滋病(AIDS)来势凶猛，联合国艾滋病规划署(UNAIDS)和世界卫生组织最新报告显示，截至2000年底，全球累计感染免疫缺陷(HIV)病毒的总人数已达5790万人，涉及193个国家和地区，其中累计已死亡于AIDS病的人数为2180万，

2、且90以上发生在发展中国家。每天有近16000名新感染者，该两组织估计，若不采取紧急有效措施，至U2101年非洲人的平均寿命将因艾滋病而下降到30岁，艾滋病将导致非洲撒哈拉沙漠以南的地区一半的人口死亡。传染病动力学是对传染病进行定量研究的一种重要方法，它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防治决策提供理论基础和数量依据。与传统的统计方法相比，动力学方

3、法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解流行过程中的一些全局性态，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际。流行病的传播规律和防治对策的研究是关系国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究是防治工作的重要依据，因此，对流行病的数学模型的研究在全世界越来越受到人们的重视。而几年前，卫生部就已将肝炎列为威胁我国人民健康的头号“敌人”。我国堪称是“肝炎大国”，是乙型肝炎高发区，在法定传染病中，其发病率仅次于感染性腹泻与流行性感冒而居第三位。乙型肝炎己成为我国重大的公共卫生问题之一，同时也成了全世界医学界共同关注的重要课题。2 基本概念2.1传染病动力学中的基本概念 易感者(s

4、usceptibles)类，其数量记为,表示时刻未染病但是有可能被该类疾病传染的人数。染病者(infectives)类，其数量记为，表示时刻己被感染成病人而且具有传染力的人数。移出者(removed)类，其数量汜为，表示时刻已从染病者类移出的人数。移出率和恢复率：假设单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为，从而单位时间内移出者的数量为。显然，是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率。当移出者中仅包括康复者时，移出率又称为恢复率。有效接触率：单位时间内一个病人与他人接触的次数称为接触率，它通常依赖于环境中的总人口数，记作。如果被接触者为易感者，就会有一定程度的传染，设

5、每次接触传染的概率为，我们把赋有传染概率成的接触称为有效接触，这时的接触率称为有效接触率。它表示一个病人传染他人(易感者)的能力。 传染率及发生率：一般来说总人口中除易感者和患病者外还可能包含有疾病免疫者和潜伏者。当病人与非易感者接触时不会发生传染，而易感者在总入口中所占的比例为。因此，每一病人平均对易感者的有效接触率为，也就是每一个病人平均对易感者的传染率，简称传染率。从而时刻在单位时间内被所有病人传染的人(即新病人)数为 称为此疾病的发生率。双线性发生率：假定接触率与环境内人口总数成正比，即，于是时刻的有效接触率为，其中是有效接触率在总人口数中所占的比例，称为有效接触率系数或传染率系数，从

6、而时刻在单位时问内所产生的新病人数也就是疾病的发生率为 所以当有效接触率为时，发生率为，这种发生率成为双线性发生率。标准发生率：当人口数量很大时，与人口成正比的接触率显然是不符合实际的，因为单位时间内一个病人所能接触他人的数目是有限的。这时通常假定接触率为一常数，即有效接触率为，从而疾病的发生率为，这种发生率称为标准发生率。基本再生数：在发病初期，有人均为易感者时，一个病人在平均患病期内所传染的人数，成为基本再生数。对于KermackMcKendrick的SIR仓室模型，得到了疾病是否流行的阀值 当时，疾病不会流行，染病者数量I(t)将会单调下降而趋近于零当时，疾病将会流行，染病者数量，I(t

7、)会逐渐上升而最终发展成地方病是作为疾病足否消亡的阀值，意义非常重大2.2乙肝病毒的流行病学特征 肝炎是肝脏炎症的统称。通常是指由多种致病因素-如病毒、细菌、寄生虫、化学毒物、药物、酒精、自身免疫因素等使肝脏细胞受到破坏，肝脏的功能受到损害，引起身体一系列不适症状，以及肝功能指标的异常。乙型病毒性肝炎是其中的一种，简称“乙肝”。乙型肝炎是我国感染人数最多、危害最大的传染病。目前，我国约有1. 2亿人是乙型肝炎病毒(简称乙肝HBV)携带者.慢性乙型肝炎患者约有3万人。乙型肝炎如果得不到有效控制进一步发展，将会演变成为肝硬化和肝癌，使患者的生活质量下降，寿命缩短。日前对于乙型肝炎的治疗目标，国内外

8、厂泛的共识是通过药物治疗长期或持久地抑制乙肝病毒复制，控制疾病的进展，减少肝硬化和肝癌的发生。体内带有乙肝病毒(HBV)的人是主要传染源，其中包括各型乙肝患者、乙肝表面抗原(HBsAg)阳性携带者、及(HBV)阳性其他患者(肝硬化、肝癌)，值得注意的是HBV的慢性携带者占我国人群的10一20，这些人长期带菌，在潜在和母婴垂直传播上，起着重要作用，故而在本模型的建立中视HBV的慢性携带者为患者。所有未感染乙肝病毒的人都是易感者。 研究表明，乙肝病毒感染人体，主要是通过水平传播和垂直传播两种方式。乙肝患者通过输血、注射等方式，将乙肝病毒传给周围的健康人群，即水平传播。如果孕妇患急性乙肝，或者是乙肝

9、病毒携带者，就有可能将乙肝病毒传给其婴儿，即母婴传播，也称垂直传播。大凡既往已经感染过HBV的人，其中绝大多数体内已产生了乙肝保护性抗体乙肝表面抗体(抗-HBS)或乙肝核心抗体(抗一HBC)，具有天然的主动免疫力。故而在本模型中恢复者被视为具有永久免疫力。值得欣慰的是，现代医学已经研制出有效的乙肝疫苗，一般而言乙肝疫苗免疫成功率能达到90以上，也就是说某些易感者可以直接进入移出者类。建立模型时我们还应该考虑这一点。3乙肝模型3.1乙肝模型的建立 在一般的SIR流行病模型里，把人口N分为易感者类S，染病者类I和恢复者类R假设在t时刻易感者类、染病者类和移出者类的数量分别为S(t)，I(t)，和R

10、(t)，则三者之和等于总人口N(t)， 即S(t)+I(t)+R(t)=N(t) 假设为接触率，传统的流行病学模型通常采用双线性发生率，也就是假设接触率与人口数量成正比，研究小范围的疾病时这种假设是比较合理的，当人口数量很大时，与人口成正比的接触率显然是不符合实际的，因为单位时间内一个病人所能接触的他人的数目是有限的，这时通常假定接触率为一常数k，有效接触率则为。从而疾病的发生率为，这种发生率称为标准发生率。另外假设各参数的意义如下：b为人口的出生率，为人口的自然死亡率，为因病死亡率，P为免疫接种的成功率，为恢复率，为母婴垂直传播的概率，为未被母婴传播的概率，所以以上参数都是大于0而小于1的正

11、常数，其中m+n=1。根据以上各参数的意义，在以下模型中都假设，这种假设在大部分地区都是合理的。仓室模型如下：由以上仓室模型图可得如下常微分方程组： 其中，所以有。 分别表示易感者（S)，染病者（I)和恢复者（R)在总种群中所占比例，通过直接计算可得： 因为 ，所以，系统（3.2）的前两个方程可写为： 易知为系统（3.3）正向不变集。 令系统（3.3）右端的向量场为零，则系统（3.3）的无病平衡点为，其中，即。 令，我们称其为基本再生数。它反映了在全部是易感者的人口中，进入一个染病者，该患者在他的病程内传染的病人数。在该模型中，当地一个患者进入该人口群体时，人口处于平衡状态且易感者的数量为，因

12、此该患者在单位时间内传染的人数为，有模型可以看出平均患病期为，因此该模型的基本再生数为。从系统（3.3）可以得到，当时，系统（3.3）存在唯一的正平衡点，其中 3.2模型各平衡点的稳定性定理3.1 当时，系统 只存在唯一的可行平衡点，即无病平衡点，它是全局渐进稳定的；当时，不稳定。证明：系统（3.3）在平衡点处的线性化矩阵为 易见，当时，矩阵的所有特征根都是负的，所以，当时，平衡点是局部渐进稳定的。下面判断时点的全局稳定性：取Dulac函数，那么 故系统（3.3）在其最大不变集D内无环，故当时，是全局渐进稳定的。当时，线性化矩阵有一个正的特征根，所以当时，时不稳定的。 定理3.2 当时，系统 的正平衡点是全局渐进稳定的。 证明： 系统（3.3）在平衡点处的线性化矩阵为 为了方便起见，记 所以的特征方程为 特征方程的两个特征根分别为 易知恒成立。注意在本定理中，即，所以。有Hurwize判据知道当时，正平衡点时局部渐近稳定的。又有前面的Dulac函数知道，系统在整个不变集内无环，所以正平衡点时全局渐近稳定的。4生物学意义 从基本再生数及定理3.1和定理