论正态分布的重要地位和应用2分解

1、 学校代码13651编 号0320150016本科毕业论文（设计）题目：论正态分布的重要地位和应用学 部：工学部学生姓名：王梅影学 号：2011070102021年 级：2011级专业班级：信息与计算科学指导教师： 赵姣珍 职称：讲师完成时间：2015/5/15中国·贵州·贵阳 贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）成果声明 本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡

2、献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期 年 月 日 贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）目 录摘要1Abstract21绪论31.1研究背景31.2研究目的31.3研究现状41.4研究意义42 正态分布相关知识介绍52.1正态分布的概念52.2正态分布曲线特性52.3 标准正态分布83 正态分布的应用93.1 正态分布应用实例93.1.1 正态分布在生产中的应用93.1.2正态分布在日常生活中的应用103.1.3正态分布在销售分类中的应用113.1.4正态分布在工作学习中的应用123.1.5 正态分布在仪器测量中的应用123.2 正态分

3、布的应用价值13总 结15参考文献16致 谢17 贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）摘 要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据.关键词：正态分布 标准正态分布 方差 标准差Abstract: The normal distribution i

4、s the most common distribution of a continuous random variable whether in theoretical research or practical application. It occupies pride of place in that it has a wide application in the field . It can solve many important problems in the mathemati

5、cal statistics which based on the normal distribution for the normal distribution,  so in theory to study the normal distribution.This paper analysis the normal probability distribution according to the theoretical research and practical application which occu

6、py an important position in many science fields from the basic concept, analysis and application value of its characteristics. The theoretical basis is given through a series of studies on the normal distribution has a significant role.Key words: The

7、 normal distribution Standard distribution  The curve Standard deviation1绪论 1.1研究背景 随机现象存在于自然界和人类生活中的每一个角落，因此概率论在现实中的应用非常之广泛，而在概率论中的最主要的一个分支就是正态分布（Normal distribution），正态分布不仅在金融、精算以及保险等新型领域中占有重要地位，而且对于医学、物理学、生物学等领域的影响也是不可忽略的.正态分布又被称为高斯分布，正态分布在统计学科、数学领域、自然生物领域都有着极其关键作用的概率分布.我们假设连续性随机变量X服从一个

8、数学期望为、方差为2的正态分布，记为N(，2).决定了正态分布的期望值，其标准差决定了分布的幅度.由于正态分布的曲线也称为钟形曲线.在日常的学习研究之中，标准正态分布，它是 = 0, = 1的正态分布. 正态分布是我们生活中不可或缺的一部分，如果能够充分理解它，它能够带来的利益也是无法估量的.作为新时代的大学生，很好地掌握正态分布的原理并能够将其运用于社会生活中，是我们的一个任务，为此对正态分布进行系统的学习和研究. 1.2研究目的正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，是不以人类的意志而转移的统计规律，具有统一的函数表达式.正态分布在实际生活中，存在着很多服从正态分布的例子,.比如测量产品

9、的误差、产品质量的测量，农业作物的产量等.服从正态分布的随机变量应用非常之广.没有任何一种随机变量可以相比较.所以，我们需要对正态分布进行深入广泛的研究.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘. 1.3研究现状正态分布概念首先由数学家De Moivre发现引入并提出，然后直到1809年，德国数学家Gauss将其应用于自然科学的广泛研究，因此又被称作高斯分布.正态分布最早是通过进行误差分析而发现的.进入近代统计时代，拉普拉斯首次提出了概率论的古典定义，把概率论的理论作为基本理论，再次进行了

10、中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，在前人的基础上进行了一次伟大的改革.19世纪50年代凯特莱运用大量的概率论原理对自然和社会现象进行测量，然后统计出大数据，这些数据反映出来的规律可以体现事物的变化，甚至可以预测未来事件发生的可能性.随后凯特莱有对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新.19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.到达20世纪，通过哥赛特，费歇尔等人的努力，小样本理论诞生了，正态分布的地位得到了进一步的巩固.20世纪后，统计学家在实验中获得的数据越来越精确，由统计分

11、析得到的结论得到了普遍认可. 1.4研究意义正态分布具有极其广泛的实际应用背景，在人们的各种生产生活以及科学实验当中，有大量的随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.当我们描述某一件事或者某一个要达到的目标时，大部分的个体所发挥出来的特性都能够很好地服从正态分布.这也就是说，对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.除此之外，正态分布也可应用到解决现实生活问题，产品质量管理、人体生理的特征及学生的综合素质等多领域都可以用正态分布进行研究.因此，正态分布作为一种最常见的连续型随机变量的分布，不仅在概率论和数理统计的理论研究中有重要地位，而且在实际应用上也有着重要研究价

12、值.充分研究正态分布在理论和应用中的重要定位，可以让我们充分学习到正态分布的理论知识，站在前人的肩膀上获得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走弯路，为今后研究打好基石.2 正态分布相关知识介绍 2.1正态分布的概念正态分布又被称作高斯（Gauss）分布或常态分布.正态分布曲线的两边低，中央是高峰，逐渐下降至两侧，左右呈现对称的，曲线不与横轴相交.设连续型随机变量的密度函数为: (2.1)(其中是常数,且 ,为所研究的正太总体平均值,为标准差,为随机抽取得正态分布中的样本值).则称随机变量服从参数为的正态分布,记作，正态分布密度函数的图形如下图所示，这条曲线应称作“正态分布曲线”. 图2-1

13、 正态密度曲线分布图 2.2正态分布曲线特性对上式（2.1）进行一定的数学计算处理：对式（2.1）求导，可得： （2.2）令,则有,即当时, 有极大值对式（2.2）求导有: (2.3)令,则有 ,即曲线在:可以看到拐点，而且有两个.表2-1 正态曲线的特性表0-0-0 ­¯­¯曲线凹拐点凸极大值凸拐点凹对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当和的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.和 不同，的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果不变，改变，则曲线在轴上的位置不变，形状会变化，愈小，曲线愈“高瘦”；越大，

14、曲线越“矮胖”，如图2-3所示； 如果不变，改变，那么曲线形状不变，只在轴上平行移动如图2-2所示：图2-2 正态曲线的特性图图2-3 正态曲线的密度函数图我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，是高斯曲线取得极大值的横坐标、是曲线中拐点横坐标与极大值坐标间的距离，也能够说是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；从物理的角度对上图进行分析，在上图中，是正态曲线与轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，是被测量的随机变量的真值，是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，被称为数学期望也就是平均值，是随机变量的标准偏差.当的值越小，说明观测值落在所在横坐标左右

15、范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；的值越大，说明观测值落在所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.综上所述，正态分布的参数代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数反映了随机变量样本观测值的分散程度. 2.3 标准正态分布称的正态分布为标准正态分布，将代入(2.1)式可以得到： (2.4)式(2.4)为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为： (2.5)通常用表示标准正态分布的分布函数，即： (2.6)取不同的的值，式(2.6)的几何意义是在区间内正态曲线与轴之间所围曲边梯形的

16、面积,如图所示,图2-4 标准正态分布的分布函数图这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.由于密度函数可以在整个轴上取值，密度函数性质得: 即迎合了正态曲线的一个性质：线与轴所围面积为l.3 正态分布的应用 3.1 正态分布应用实例 3.1.1 正态分布在生产中的应用正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.例3.1 有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.解

17、设量规使用期为随机变量,由题意知,本题求1) 根据公式有:,或由公式可得,2) 根据公式有.例3.2 某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径=l0,标准差=0.015.规定直径在(10±0.03) 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.解 设这批轴的直径为随机变量,由题意知.和为不合格品.1) 2) , 或 .即 . 3.1.2正态分布在日常生活中的应用在自然界以及人类自然生活中,很多的实践经验证实，正态分布这种随机变量的概率分布的应用是十分广泛的，十分常见.例如：人的身高、体重、生物的生理尺寸等外观评估指标.随机测量误差指标等，都能够看作是近似服从的正态

18、分布.（1）已知某条件下的概率,求参数m 和s例3.3 有一群男子,4的身高在以下,有52在到之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差.解 由题意得:,由概率值0.04和0.56反查正态分布表得: ,化为: ,解得: ,即这群男子平均身高为,标准差为.(2)已知 m,s 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数例3.4 某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为8.74元,标准差为1.2元.这天中午有420人吃午饭用了8.5元或更多,问一共来了多少顾客？解 故总顾客数为: (人). 3.1.3正态分布在销售分类中的应用例3.5 某水果重量成正态分布,现进行分级,20为小的,

19、55为中等,15为大，10为特大.所有水果平均重量为241.5,标准差为60,求中等水果的下限与上限的重量.解 由题意知,中等水果下限以下的概率为0.20,上限为以下的概率为(0.20+0.55)=0.75,于是有: 反查正态分布表得: 即中等水果下限重量为191,上限为282. 3.1.4正态分布在工作学习中的应用正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决考试成绩与学生综合素质研究的现实生活问题当中.例3.6 某公司对职工进行基本理论考试,决定给14 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优?解 设至少

20、考分方能得优,由题意:，.反查正态分布表得: ，故 (分)即考生至少得95分方能得优. 3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标. 可以制定参考值范围. （1）已知m ,s及各范围内的概率,求某范围的上、下限例3.7 用某量具测量(5.26±d)这一尺寸.已知测量值平均数为5.26,标准差为0.02,测量值服从正态分布.要使测量值的95都在公差范围内,问值应定为多少?解 本题是求概率为0.95的尺寸范围.设测得的值为随机变量,则.由题意得，反查正态分布表得: ，故有 .（2）用标堆差确定所

21、需测量次教例3.8 用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 ,尺寸允许的测量极限误差,问测量一次能否达到要求？解 因=1.4<3=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量,由式得 ，可见,至少要测量5次. 3.2 正态分布的应用价值正态分布理论有很多重要的理论和应用价值：（1）估计频数分布，一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例. （2）制定参考值范围.（3）质量控制.（4）制定医学参考值范围:医学现象中，如同质群体的身高、红细胞数，及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近

22、似正态分布，可按正态分布规律处理. 总 结正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决一些现实生活问题当中.医学遗传分析、考试成绩与学生综合素质研究以及质量管理和控制等诸多领域都可以利用正态分布进行研究.正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，具有统一的函数表达式.正态分布在实际应用中也扮演着不可或缺的角色.在自然界和社会中，存在着很多服从或近似服从正态分布的例子，如测量产品的误差、各类质量指标的测量，经济学中的股票价格走向的估计，生物学中农业作物收获量的猜测等等.服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不可比拟的.为此，对正态分布进行更深入更广泛的研究也是必不可少的.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.参考文献1 概率论与数理统计（第三版）高等教育出版社. 2 龚光鲁.概率论与数理统计.清华大学出版社.3 胡细宝.概率论与数理统计