考研数学线代真题—二次型

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2、范型，二次型的惯性指数，正定二次型。在学习时，本章应该结合上一章实对称矩阵部分的知识。首先要理解二次型及其矩阵的概念，然后掌握常用的化二次型为标准型的方法，主要是正交变换法，这一部分主要是和上一章结合。本章需要重点理解的是二次型的合同规范型及惯性系数，以及由此引出的两个二次型合同的充要条件。最后，还需要理解正定二次型的概念，掌握常见的判断正定二次型的方法。本章常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型号。常考题型一：二次型与其矩阵1.【2009123 11分】设二次型（1）求二次型的矩阵的所有特征值；（2）若二次型的规范型为求的值。

3、2.【20051 9分】已知二次型的秩为2.（1） 求的值；（2）求正交变换，把化为标准型。（3）求的解3.【19961 6分】已知二次型的秩为.求参数及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出表示何种曲面。4.【20043 4分】二次型的秩为.常考题型二：化二次型为标准型（1）.利用正交变换法化二次型为标准型5.【20051 9分】已知二次型的秩为2.（I） 求的值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0的解.6.【19953 10分】已知二次型.（1）写出二次型的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵.7.【20033 13分】设二次型，中二次

4、型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.（1）求的值；（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.8.【2012123 11分】三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。9.【2013123 11分】设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。（2）.正交变换法的反向运用10.【2015123 4分】设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C) (D)

5、11.【20021 3分】已知二次型经过正交变换可化为标准形，则_12.【20111 4分】若二次曲面的方程为，经正交变换为，则_13.【19931 8分】已知二次型可用正交变换化为，求和所作正交变换14.【19981 6分】已知二次曲面方程，可以经过正交变换化为椭圆柱面方程，求的值和正交矩阵.15.【201012 11分】已知二次型 在正交变换下的标准型为，且的第三列为.() 求矩阵；(）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵. 16.【2009123 11分】设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。【小结】：二次型的合同标准型不是唯一的，但通过正交变换法得到的标

6、准型是唯一的（不考虑变量顺序的情况下），其标准型的系数都为二次型矩阵的特征值。常考题型三：二次型的惯性系数与合同标准型17.【2007123 4分】设矩阵，则与合同且相似 合同，但不相似.不合同，但相似. 既不合同也不相似 18.【20081 4分】设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）。01 23 19.【19961 8分】已知二次型的秩为.求参数及此二次型对应矩阵的特征值；指出方程表示何种二次曲面.20.【20011 3分】设，则与( ) 合同且相似 合同但不相似 不合同但相似 不合同且不相似21.【200823 4分】设，则在实数域

7、上与合同的矩阵为（ ）22.【20112 4分】二次型，则的正惯性指数为_.23.【2014123 4分】 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是24.【20013 8分】设为阶实对称矩阵，是中元素的代数余子式，二次型.（1）记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为.（2）二次型与的规范型是否相同？说明理由.【小结】：1.二次型的合同规范型是由它的惯性指数唯一确定的，其规范型的矩阵为，其中分别为二次型的正负惯性指数，二次型的正负惯性指数分别等于它的正负特征值的个数。2.二次型与合同的充要条件有：1)存在可逆矩阵使得；2)与的合同规范型相同3）与的正负惯性系数相同4）与的正负特征值的个数相同。

8、常考题型四：正定二次型（1）利用顺序主子式判断正定性25.【19973 3分】若二次型是正定的，则的取值范围是_.（2）利用定义判断正定性26.【19993 7分】设为实矩阵，为阶单位矩阵.已知矩阵,试证：当时，矩阵为正定矩阵.27.【20053 13分】设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.(I) 计算，其中；(II)利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.28.【19991 6分】设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是B的秩.29.【20003 9分】设有元实二次型其中为实数.试问：当满足条件时，二次型为正

9、定二次型.30.【20023 8分】设为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知的秩(1)求的全部特征值(2)当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵.【小结】：维二次型为正定二次型的充要条件有：1)对于任意非零的维列向量都有；2) 矩阵的合同规范型为二次型；3）二次型的正惯性指数为；4）存在可逆矩阵使得；5）矩阵的特征值全为正数；6）矩阵的顺序主子式全为正数。其中1）、5）、6）是常用的结论。参考答案：常考题型一：二次型与其矩阵1.【2009123 11分】【答案】（1） （2）2.【20051 9分】【答案】（I）.（2）（3）3.【19961 6分】【答案】（1），（2）表示椭圆柱面 4.

10、【20043 4分】【答案】2常考题型二：化二次型为标准型1.利用正交变换法化二次型为标准型5.【20051 9分】【答案】（I）a=0 （II） （III）所求解为：，其中为任意常数.6.【19953 10分】【答案】（1）的矩阵表达式为：.（2）所求的正交矩阵为：7.【20033 13分】【答案】（1）解得 .(2)，为正交矩阵. 在正交变换下，有，且二次型的标准形为8【2012123 11分】【答案】（1）（2）9.【2013123 11分】【答案】略2.正交变换法的反向运用10.【2015123 4分】【答案】11.【20021 3分】【答案】12.【20111 4分】【答案】13.【

11、19931 8分】【答案】，所用的正变变换矩阵为14.【19981 6分】【答案】，,15.【201012 11分】【答案】（）. 16.【2009123 11分】【答案】（）（）常考题型三：二次型的惯性系数与合同标准型17.【2007123 4分】【答案】B18.【20081 4分】【答案】B19.【19961 6分】【答案】（1）， （2）椭圆柱面20.【20011 3分】【答案】A21.【200823 4分】【答案】D22.【20112 4分】【答案】23.【2014123 4分】【答案】24.【20013 8分】【答案】（1）二次型的矩阵形式为:. （2）有相同的规范型.常考题型四：正定二次型1利用顺序主子式判断正定性25.【19973 3分】【答案】.2利用定义判断正定性26.【19993 7分】【答案】略27