江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试数学

1、淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研数 学 2016.1一、填空题1已知集合，若，则实数的值为 2已知复数满足，若的虚部大于0，则 3交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有 辆4运行如图所示的伪代码，则输出的结果为 5函数的部分图像如图所示，若，则的值为 6若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 7抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 8已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱柱的体积为 9若公比不为1的等比数列满

2、足，等差数列满足，则的值为 10定义在上的奇函数满足当时，（，为常数），若，则的值为 11已知，且，若点满足，则的取值范围是 12已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 13已知，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为 14设是正实数，满足，则的最小值为 二、解答题15在锐角三角形中，角的对边为，已知，（1）求； （2）若，求.16如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.17如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路,垂直的两条道路，且的造价分别为

3、万元/百米，万元/百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米.（1）求解析式;（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价18已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：.（1）若，成等比数列，求实数的值;（2）若，求.19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）求椭圆的方程;（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.20已知函数，其中，为自然对数的底数

4、（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围（3）讨论极值点的个数附加题部分21【选做题】A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，是直角，圆与射线相切于点，与射线相交于两点求证：平分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）设均为正数，且，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演

5、算步骤22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，点是棱上一点，满足（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的正弦值为，求的值23.（本小题满分10分）已知数列满足，（1）求证：；（2）求证：当时，数学I参考答案及评分标准一、填空题1. 2； 2. ； 375； 49； 5； 6.； 7； 8. ； 926； 10. 4； 11； 12； 134； 14. 二、解答题15（1）在锐角三角形中，由，得， 2分所以.4分由，得. 7分（2）在锐角三角形中，由，得，9分所以，11分由正弦定理，得. 14分OPABCDE16(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE2分

6、因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点因为E为棱PD中点，所以PBOE4分因为PB平面EAC，OEÌ平面EAC，所以直线PB平面EAC6分 (2) 因为PA平面PDC，CDÌ平面PDC，所以 PACD 8分因为四边形ABCD为矩形，所以ADCD10分因为 PAADA，PA，ADÌ平面PAD，所以 CD平面PAD12分因为CDÌ平面ABCD，所以 平面PAD平面ABCD 14分17 (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，所以点P坐标为， 直线OB的方程为， 2分则点P到直线的距离为，4分又PM的造价为5万元百米，PN的造价为40万元百米则

7、两条道路总造价为 8分(2) 因为，所以 ， 10分令，得，列表如下：单调递减极小值单调递增所以当时，函数有最小值，最小值为13分答：（1）两条道路PM ,PN总造价为；（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元 14分（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即时等号成立，照样给分）18.（1）令，得令，得，所以2分由，得，因为，所以4分（2）当时，所以，即，6分所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 8分即，当时，得，10分即，所以， 12分所以是首项为是常数列，所以. 14分代入得. 16分19. （1）因为左顶点为，所以，又，所以.2分又因为，所以椭圆C的标准方程为. 4分（2）直线

8、的方程为，由消元得，.化简得，所以，. 6分当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8分直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为. 10分（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12分由，得 14分，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为 16分20. (1) 由题意， 2分因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. 4分 (2) 法一：由，得，即对任意恒成立，6分即对任意恒成立，因为，所以， 8分记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是 10分法二：由，得，即在上恒成立，6分因为等价于，当时，恒成立，所以原不等

9、式的解集为，满足题意 8分当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是10分(3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. 11分令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以 ，同理， 所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 14分若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点

10、 16分数学（附加题）参考答案及评分标准21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21A连结因为是切线，所以2分又因为是直角，即，所以，所以 5分又，所以， 8分所以， 即平分 10分21B矩阵的特征多项式为， 2分由，解得，. 4分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量；7分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量 10分21C圆的直角坐标方程为，即 4分又,所以6分到直线距离的最小值为，8分所以面积的最小值为10分21D因为x0，y0，xy0，4分=， 8分所以 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系因为，则，1分（1）由得，设平面的法向量为，由得不妨取，则， 从而平面的一个法向量为3分设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为5分（2）设平面的法向量为， ，由得不妨取，则， 所以平面的法向量为7分则，又因为二面角的正弦