数学分析Ch11隐函数习题

1、第十一章 隐函数习题 11.1 无条件极值1 讨论下列函数的极值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中常数； （6） （）。解 (1) 先求驻点。由，解得，即函数有9个驻点。再由，可知。应用定理12.6.2。驻点，满足，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据的符号，可知函数在点取极大值；在，四点取极小值。注 本题可使用配方法得到，由此易知，四点为函数的最小值点，最小值为，函数无最大值，点为函数的极大值点，极大值为。（2）先求驻点。由，两式相减，可解得，即驻点为，三点。再由，可知。应用定理12.6.2。驻点，满足，所以是极值点，再根据的符号，可知函数在，两点取极小值。在点，有，且。由

2、于，可知函数在点附近变号，所以不是极值点。（3）先求驻点。由，解得是唯一的驻点。由，可知函数在点附近变号，即不是极值点，所以函数无极值点。注 对于二次多项式，它的Hesse矩阵H是常数矩阵，我们有如下结论：设为的驻点，则由可知（a）为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵；（b）为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵；（c）不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵。本题由于函数的Hesse矩阵为不定矩阵，所以不是的极值点。（4）先求驻点。由，解得;，即驻点为，和五点。再由，可知。应用定理12.6.2。驻点，满足，所以是极值点，再根据的符号，可知函数在，取极小值。在，点，所以，不是极值点。在点，且。由

3、于，易知函数在点附近变号，所以不是极值点。（5）先求驻点。由，解得是唯一的驻点。再由，可知。应用定理12.6.2。由于在驻点有，再根据的符号，可知函数在点取极小值。（6）先求驻点。由，解得唯一的驻点。由于函数在点的Hesse矩阵是正定的，所以函数在取极小值。2设，证明函数的最小值为。证 先求驻点。由，解得唯一驻点，由于函数在点的Hesse矩阵是正定的，所以函数在点取极小值。注 本题可使用配方法得到，由此可知函数在点取最小值。3. 证明函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。证 由，解得,，所以驻点为，。由，可知在驻点处，所以当k为奇数时，不是极值点；当k为偶数时，再由，可知是极大值点。所以函数有

4、无穷多个极大值点，但无极小值点。4求函数在闭区域上的最大值与最小值。解 由，得到。在上考虑，得到，即是函数在区域内部唯一的驻点。由于在区域边界上，即当或或时，有，而在区域内部唯一的驻点上取值为，根据闭区域上连续函数的性质，可知函数的最大值为，最小值为。5在上用怎样的直线来代替曲线，才能使它在平方误差的积分为极小意义下的最佳近似。解 是的二次多项式，它的Hesse矩阵是正定的，所以有最小值（见第1题（3）的注）。对参数求导，得到，即是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因此最佳直线为。6在半径为的圆上，求内接三角形的面积最大者。解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为，则三角形的面积为，由第4题知时面

5、积最大，这时圆内接三角形为正三角形，。7要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定值时，圆柱的半径，高，及圆锥的高满足什么关系时，所用的布料最省？解 由帐幕的体积，得到，于是帐幕的表面积为。对与求偏导数，得到。由第一个方程，得到，再将与代入第二个方程，得到，所以当时，布料最省。8求由方程所确定的隐函数的极值。解 由, 得到, 再代入得到，由此可知隐函数的驻点为，且当时有。由于在驻点有，根据的符号可知在取极大值，在取极小值。注 本题也可由，得到，由此可知在取极大值，在取极小值。9求由方程所确定的隐函数的极值。解 由, 得到与, 再代入，得到即。由此可知隐函数的驻点为与。由，可知在驻

6、点与有。在点，因此 ，所以为极小值点，极小值为；在点，因此 ，所以为极大值点，极大值为。注1 原方程可以改写为，由左边非负可得，即或者。注2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连的部分组成。其中之一开口向上，最小值，另一个开口向下，最大值。10在平面上求一点，使它到三直线，和的距离的平方和最小。解 平面上点到三直线的距离平方和为。对求偏导数， ，得到，所以函数只有一个驻点。由于，可知函数在驻点有最小值。11证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。证 设圆半径为，外切三角形的两个顶角为与，则三角形的面积为。由，得到，所以，即外切正三角形的面积为最小。12证明：圆的所有内

7、接边形中，以正边形的面积为最大。证 设圆半径为，圆内接边形的各边所对的圆心角为，则边形的面积为。由，推出，所以，即内接正边形的面积为最大。13证明：当时，成立不等式。证 令，对求偏导，解得。对固定的，根据在附近的符号变化，可知（作为的函数）的极大值点为，极大值为。再对求导，得到。记，则，所以，于是严格单调增加。再由，得到 。14某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为 和 （）。求使产鱼总量最大的放养数。解 鱼总产量为。对求偏导数，解得，。因为是二次多项式，由，可知其Hesse矩阵是负定的，所以函数有最大值，即当，时产鱼总量最大。习题 11.2

8、条件极值问题与Lagrange乘数法1. 求下列函数的条件极值：（1），约束条件为；（2），约束条件为；（3），约束条件为其中，。解 （1）令，求偏导，得到解得，即目标函数只有一个驻点。 由，可知是目标函数的条件极大值点，也是条件最大值点，条件最大值为。（2）令，求偏导，得到由前三式得到，代入约束条件，解得。因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。由于目标函数的驻点为，对应的目标函数值为，所以，。（3）令，求偏导，得到于是。因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关于的解中。由，得到，代入

9、上面的方程组，得到 由约束条件可知驻点不在原点，即上面方程组有非零解，所以其系数行列式为零。经计算得到，显然目标函数的最大值与最小值不为零，即，所以的最大值与最小值分别为方程的两个根。2. 在周长为的一切三角形中，找出面积最大的三角形。解 记三角形的边长为，面积为，则。令，求偏导数，得到于是，再根据约束条件得到，所以面积最大的三角形为正三角形，最大面积为。3. 要做一个容积为1立方米的有盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解 假设圆桶的底面半径为r，高为h，则圆桶的容积为，表面积为。令，求偏导，得到解得，再代入约束条件，得到，。根据题意，目标函数必有最小值，所以可知当底面半径为，高为时用料最

10、省。4. 抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离。解 设原点到椭圆上一点的距离为，则。令，求偏导数，得到将前两式相减，得到。若，则有，显然不满足约束条件。若，则，再联立约束条件与，可解出，从而有。由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。于是得到，。5. 求椭圆的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大。解 设为三角形底边上的顶点，则三角形面积为，令，求偏导数，得到消去，可得，再联立约束条件，可得满足的驻点只有和。当时，当时。由题意三角形面积一定存在最大值，于是得到。6. 求空间一点到平面的距离。解 设为平面上的一点，它与点之间的

11、距离为，则，令，求偏导，得到 解得，代入约束条件，得到。于是，所以到平面的距离为。7. 求平面与柱面相交所成的椭圆的面积（都不为零；为正数）。解 椭圆的中心在原点，原点到椭圆周上点的距离d的最大值和最小值分别为椭圆的长半轴和短半轴。令，求偏导数，得到于是。因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关于的解中。以代入前两个方程，可得此方程组有非零解，所以系数行列式为0。因此，即 。这个二次方程的两个根与就是椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此椭圆面积为，利用多项式根与系数的关系可得，所以。8. 求在条件下的最小值，其中，为常数。

12、并证明不等式。解 令，求偏导数，得到解得。由于连续函数在线段的两个端点上的函数值有，所以。因此。9. 当时，求函数在球面上的最大值。并由此证明：当为正实数时，成立不等式。解 令，求偏导数，得到解得，代入约束条件，可得，。由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点。于是得到，即。由前一式得到。在后一式中令，和，得到。10（1）求函数在约束条件下的极大值，其中均为正常数；（2）利用（1）的结果证明：对于任何正数，成立不等式。解 （1）令，求偏导数，得到解得，代入约束条件，得到，所以，。由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点。于是，即得到。（2）令，则，且。利用（1）的结果，有。整理

13、后得到。11求之值，使得椭圆包含圆，且面积最小。解 为了使椭圆既包含圆，又面积最小，可以要求圆心到椭圆周上的点的最短距离为。为此先考虑目标函数在条件下的极小值问题，并设条件极小值为，由此导出之间的关系。构造Lagrange函数，求偏导数，得到并由此可得。若，则。由，可得。在方程组中消去，得到，容易知道当时方程除了解外另有一解，这说明椭圆不完全包含圆，不满足条件。所以，这时椭圆面积。若，则，代入，得到必须满足的关系式。现求目标函数在条件下的极小值。令，求偏导数，得到消去，得到，再代入关于的约束条件，解得，这时椭圆面积。由于，所以当，时，椭圆包含圆，且面积最小。12设三角形的三个顶点分别在三条光滑

14、曲线，及上。证明：若三角形的面积取极大值，则各曲线分别在三个顶点处的法线必通过三角形的垂心。证 不妨固定一边于轴上，点在曲线上移动，设是所确定的隐函数，则就是三角形的高，当三角形的面积取极大值时，即曲线在点的切线与对边平行，所以在点的法线与边垂直。由于这是图形的几何性质，不依赖于坐标系，所以曲线与在三个顶点处的切线分别平行于三角形的对边，从而在三个顶点处的法线分别垂直于三角形的对边。13设为个已知正数。求元函数在约束条件下的最大值与最小值。解 由于在没有驻点，所以只需要求在约束条件下的最大值与最小值。令，求偏导数，得到，所以，代入约束条件，可得，于是，从而，。14求二次型在维单位球面上的最大值与最小值。解 令，求偏导数，得到 ，由，可知，即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于的解中。记，由于方程组有非零解，所以系