第4章频率分析法

1、 t O ( ) Y X ( )sinx tXt ( )()siny tYt ()Xs ()Ys ()Gs 输出信号的幅值输出信号的幅值Y( )是是 的函数，它正比于输入信号的函数，它正比于输入信号的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差 ( )也是也是的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入下的稳态响应记为：下的稳态响应记为： y(t)=Y( )sin t+ ( ) （4-1） 研究频率响应的意义：研究频率响应的意义：当信号频率当信号频率 变化时，幅值变化时，幅值Y( )与相位差与相位差 ( )也随之变化。也

2、随之变化。系统的幅频特性定义：系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比，输出信号与输入信号的幅值之比，记为：记为： XYA)()( （4-2） 它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。幅频特性幅频特性A( )和相频特性和相频特性 ( )统称为系统的统称为系统的频频率特性，记作率特性，记作G(j )。频率特性。频率特性G(j )是一个以是一个以频率频率 为自变量的复变函数，它是一个矢量。为自变量的复变函数，它是一个矢量。系统的相频特性定义系统的相频特

3、性定义：输出信号与输入信号的：输出信号与输入信号的相位之差随频率相位之差随频率 的变化，记为的变化，记为 ( )。它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定 ( )按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值旋转为负值。 O G(j) G(j) Re Im |G(j)| Re() Im() 矢量矢量G(j )的模的模|G(j )|即为系统的幅频特性即为系统的幅频特性A( )；矢量；矢量(j ) 与正实轴的夹角与正实轴的夹角G(j )即为系统

4、的相频特性即为系统的相频特性 ( ) 。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，记为：记为： )()( )( | )(|)( jjGjeAejGjG (4-3) 由于频率特性由于频率特性G(j )是一个是一个复变量，因此它还可以写成复变量，因此它还可以写成实部和虚部之和，即：实部和虚部之和，即： )jIm()Re()(j G 显然有：显然有： 22emA( )|G(j )|R ( )I ( )Im( )( )G(j )arctan Re( ) 例例4-1 机械系统如图机械系统如图4-3所示：所示：弹簧刚度系数弹簧刚度系数k=10N/m，阻，阻尼系数尼系

5、数f=10Ns/m，输入幅，输入幅值为值为 1N的正弦力，求两种的正弦力，求两种频率下即：频率下即：x(t)=sint和和x(t)=sin100t时，系统的位移时，系统的位移y(t)的稳态输出。的稳态输出。 解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为d ( )( ) ( )dy tx tCky tt 系统的频率特性系统的频率特性 jTjkG 11 . 01/1 )(j( )1/1/( ) ( )11Y skkG scX sTssk 式中式中 T=c/k=10/10=1（s） 系统的传递函数系统的传递函数211 . 0)Re( 系统的实频特性为系统的实频特性为系统的虚频特性为系统的虚频特性为211

6、 . 0)Im( 系统的幅频特性为系统的幅频特性为222222211 . 011 . 011 . 0)Im()Re()( A系统的相频特性为系统的相频特性为)(arctg11 . 011 . 0)(Re)(Imarctg)(22 45)1arctan()( 当当x(t)=sint 即即 =1(rad/s)时，时，G(j )的模和幅角为：的模和幅角为：20.10.1( )m/N211A 20.10.1( )m/N1001100A ( )0.1( )1sin(10089.4 )0.001sin(10089.4 )100y ttt稳态位移输出为稳态位移输出为 0.1( )1sin(45 )0.07s

7、in(45 )2y ttt 频率特性频率特性G(j )的物理意义的物理意义 二、频率特性的求法二、频率特性的求法频率特性的求法有三种频率特性的求法有三种 这里仅介绍根据传递函数求取频率特性。这里仅介绍根据传递函数求取频率特性。 22)( sXsX G(s) y(t) x(t) 图图 4-4 线性定常一阶系统线性定常一阶系统 )()()()()()(21npspspsspsXsYsG 2221)()()()()()( sXpspspsspsXsGsYnnnpsbpsbpsbjsajsasY 2211)( aatjtjeaaety )(atpntptptjtjnebebebeaaety 2121)

8、( jjXGjsjsjsXsGjssXsGjssYajsjsjs2)()()()()()()(22 jjXGjsjsjsXsGjssXsGjssYajsjsjs2)()()()()()()(22 jejGjG )()( jjejGejGjG )()()(jejGXaj2)( jejGXaj2)( 与输入与输入x(t)=Xsin t 相比，可以看出，输出信号与输相比，可以看出，输出信号与输入信号的幅值比和相角差分别为入信号的幅值比和相角差分别为)( jGXY （4-20） ( ) =G(j ) （4-21） 因此因此,|G(j )|就是系统的幅频特性，就是系统的幅频特性，G(j )就是系统的就是

9、系统的相频特性。相频特性。G(j )为频率特性。为频率特性。)sin()sin()(2)(2)(2)()()()( tYtjGXjeejGXejejGXejejGXtytjtjtjjtjj 图图4-5 数学模型的相互转换数学模型的相互转换 图图4-6 极坐标图极坐标图 221 nr| )j (|1212rrGM = n ) ) r = r ) ) r ) ) = = ) )二、波德图（二、波德图（Bode图）图） 波德图也称为对数频率特性图。波德图也称为对数频率特性图。用两个坐标图分别表示幅频特性和相频特性。用两个坐标图分别表示幅频特性和相频特性。幅频特性图的纵坐标幅频特性图的纵坐标(线性分度

10、线性分度)表示了幅频特表示了幅频特性幅值的分贝值，为性幅值的分贝值，为 L( )=20lg|G(j )| （4-23）单位是单位是分贝分贝(dB)；横坐标；横坐标(对数分度对数分度)表示表示 值，值，单位是单位是弧度弧度/秒秒或或秒秒-1 (rad/s或或s-1 )。相频特性图。相频特性图的纵坐标的纵坐标(线性分度线性分度)表示表示G(j )的相位，单位是的相位，单位是度度；横坐标（对数分度）表示；横坐标（对数分度）表示 值，单位是值，单位是弧弧度度/秒秒或或秒秒-1(rad/s或或s-1 )。这两个图分别叫做。这两个图分别叫做对对数幅频特性图数幅频特性图和和对数相频特性图对数相频特性图，统称

11、为，统称为频率频率特性的对数坐标图特性的对数坐标图，又称为，又称为波德图（波德图（Bode）。 2=2 1 1 2 2=10 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2215)( TA 221lglg520)( TL 2 2 TL20lg20lg5)( 20lg520lg)( TL即即 =1 T520lg 20lg5)(20lg20lg5)( LTLTT1 5. 幅值穿越频率幅值穿越频率对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅值穿越频率或增益交界频率，用值穿越频率或增益交界频率，用 c表示。穿越频率表示。穿越频率可通过求解由高频段渐近

12、线方程和可通过求解由高频段渐近线方程和L( )=0组成的联组成的联立方程而得到。如式立方程而得到。如式所示的对数幅频特性曲线的所示的对数幅频特性曲线的幅值穿越频率幅值穿越频率,可解联立方程可解联立方程 L( )=20lg5-20lgT L( )=0得到得到 c=5/T对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性图的相同，是按频率图的相同，是按频率 的对数分度。因为两矢量相乘的对数分度。因为两矢量相乘时，其相位是相加的，所以无需对频率特性函数的时，其相位是相加的，所以无需对频率特性函数的相位取对数，故对数相频特性图的相位取对数，故对数相频特性图的纵坐标

13、轴是按相纵坐标轴是按相位的度数或弧度数线性分度的位的度数或弧度数线性分度的。对数相频特性对数相频特性对数相频特性是指频率特性函数的相位随对数相频特性是指频率特性函数的相位随 而变化而变化的关系。的关系。 ( )=G(j ) （4-24）相位穿越频率或相位交界频率（相位穿越频率或相位交界频率（ g）对数相频特性曲线与对数相频特性曲线与-180线相交处的频率，或者说线相交处的频率，或者说频率特性函数的相位等于频率特性函数的相位等于-180 时的频率。时的频率。 二、积分环节的频率特性二、积分环节的频率特性 1. 极坐标图极坐标图由于由于ssG1)( 即即 11)j (jjG (4-29) 显然，实

14、频特性恒为显然，实频特性恒为0；虚频特性则为；虚频特性则为-1/ 。故幅频特性故幅频特性 |(j )|=1/ (4-30) 相频特性相频特性 (j )=-90 (4-31) 2.波德图波德图 对数幅频特性为：对数幅频特性为： -20lg120lg|G(j|20lg (4-32)对数相频特性对数相频特性 ( )=G(j )=-90 于是：当于是：当 =0.1 rad/s时，时，20lg|(G(j )|=20dB，对数幅，对数幅频特性经过点（频特性经过点（0.1，20）；）；当当 =1 rad/s时，时，20lg|(G(j )|=0dB，对数幅频特性经对数幅频特性经过点（过点（1，0）；当当 =1

15、0 rad/s时时, 20lg|(G(j )|=-20dB，对数幅频特性，对数幅频特性经过点（经过点（10，-20）。）。 每当频率增为每当频率增为10倍时，对数幅频特性就下降倍时，对数幅频特性就下降20dB。它是一条过点（。它是一条过点（1，0）的直线，其斜）的直线，其斜率为率为-20dB/dec 。 40lg-20lg20lg-20lg 20lg )(j20lg)(22 KKKGL 2)(sKsG 2)j ( KG 2)(sKsG 2)j ( KG 1( )1G sTs 2211()11jTG jj TT 2211T 221TT 221()1G jT ()arctanG jT =0 =1/

16、T = 2211UT 221TVT VTU 211UVU 2221122UV 221()1G jT 22( )20lg()20lg 1LG jT TjGarctan)()( 1/TTjGL lg20)(lg20)( TT1 cr= T T = i i)=-20lg iT i =10 i)dB(20lg2010lg20)10( TTLiii =0 T，-45 T T = T = T T T T/2 T T/10 T T 22(j)1GT 2 当当 1/T 时，时，20lg|G(j )|20lg T，即高频渐近线，即高频渐近线为一直线，其始于点为一直线，其始于点(1/T ，0)，斜率为，斜率为20

17、dB/dec。显。显然，一阶微分环节的转角频率然，一阶微分环节的转角频率 T = 1/T 。 一阶微分环节的对数相频特性取值如下：一阶微分环节的对数相频特性取值如下： 当当 =0 时，时， ( )=0； 当当 = T 时，时， ( )=45；当当 = 时，时， ( )=90 。22( )20lg(j)20lg 1LGT 222( )2nnnG sss (01) 1nTT 121)(22 TssTsG 221()()2()1G jTjT j 2222221(1)(2)TjTT 22222(1)(2)TTT实频特性为实频特性为 2222221(1)(2)TTT 虚频特性为虚频特性为 22222(1

18、)(2)TTT 故幅频特性为故幅频特性为 22221(j)(1)(2)GTT (4-50)相频特性相频特性 222(j)arctan1TGT (4-51) 由此有：由此有：当当 =0时，时， |G(j )|=1， G(j )=0； 当当 =1/T时，时，|G(j )|=1/2 ，G(j )=-90；当当 =时，时， |G(j )|= 0， G(j )=-180。 当当 从从0，G(j )的幅值由的幅值由10，其相位由，其相位由0-180，振荡环节的频率特性的极坐标图始于点，振荡环节的频率特性的极坐标图始于点(1, j0)，而终于点（，而终于点（0, j0）。）。曲线与虚轴的交点的频率曲线与虚轴

19、的交点的频率就是无阻尼固有频率就是无阻尼固有频率 n（1/T），此时的幅值为，此时的幅值为1/(2 ) ，曲线在第三、四象限，曲线在第三、四象限， 取值不同，取值不同，G(j )的的极坐标图形状也不同。极坐标图形状也不同。 ()0G j 2211212rnT = r 212(j)arctanrG 21()21rrMG j 1/T 21dn 22221(j)(1)(2)GTT 222(j)arctan1TGT 2222( )20lg G(j)20lg (1)(2)LTT 212rn 222( )(j)arctan1TGT T T 一般在一般在0.1 n10 n范围内对渐近线进行修正，即可得范围内

20、对渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。到精确的对数幅频特性曲线。表表4-2 二阶振荡环节对数幅频特性修正表二阶振荡环节对数幅频特性修正表 = =- =- / (4).振荡环节的谐振频率振荡环节的谐振频率 r和谐振峰值和谐振峰值Mr 在本章中已求得在本章中已求得 212()rnrn 而且只有当而且只有当0时才存在时才存在 r 。由图。由图4-22可知，可知， 越小，越小， r 越接近于越接近于 n (即即 r/ n越接近于越接近于1); 增大增大, r离离 n 的距离就增大。应指出，的距离就增大。应指出， 时，可认为时，可认为 r=0。 21()21rrMG j )1(12)(22n

21、TTssTsG 1)(2)()(22 jTjTjG()jG je ()cossinG jj( )1A sin( )arctgcos 对数幅频特性和对数相频特性为对数幅频特性和对数相频特性为 ( )20lgA20lg1=0L ( )57.3 弧弧度度度度对数频率特性的镜像关系对数频率特性的镜像关系微分环节微分环节积分环节积分环节二阶微分环节二阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节22112211(1)(21)( )( )(1)(21)illlilNmnnnmnKsssG s H ssT sT sT s 2212222221122221( )20lg20lg20lg 1

22、20lg(1)(2)20lg 120lg(1)(2)mmnnninillllLKNTTT 221122112( )arctanarctan212arctanarctan1nnmmnnlliillTNTT 210(3)( )(2)(2)sG ss sss 27.513( )111222sG sssss 27.513()()11222jG jjjjj 2( )90arctanarctanarctan223 24(0.250.5)( )(52)(0.052)sG sss 3 0.51( )2.510.0251sG sss 3 10.5()12.510.025jG jjj ( )arctan2.5ar

23、ctan0.5arctan0.025 若传递函数若传递函数G(s)的的所有零点和极点所有零点和极点均在复平面均在复平面s的左半平面内，则称的左半平面内，则称G(s) 为最小相位传递函数。为最小相位传递函数。sTTssG1111)( sTTssG1211)( 若传递函数若传递函数G(s)在复平面在复平面s的右半平面内存在零点的右半平面内存在零点或极点，则称或极点，则称G(s) 为非最小相位传递函数。为非最小相位传递函数。()()()()1()()Y jG jjX jG jH j G(j ) H(j ) X(j ) Y(j ) + - 图图 4-29 典型闭环系统框图典型闭环系统框图 )(1)()

24、()()( jGjGjXjYj )(1)(20lg)( jGjGM )(1)()( jGjG 一般实用系统的开环频率特性具有低通滤波的一般实用系统的开环频率特性具有低通滤波的性质，低频时，性质，低频时， ()()11()G jjG j 高频时，高频时， ()( )()1()G jG jG j 在中频段（在中频段（L( )=0附近）可通过计算描点画出附近）可通过计算描点画出轮廓。轮廓。对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时，对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时，输出信号的幅值和相位与输入信号基本相等，这输出信号的幅值和相位与输入信号基本相等，这正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果

25、；正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果；高频输入时输出信号的幅值和相位均与开环特性高频输入时输出信号的幅值和相位均与开环特性基本相同，而中间频段的形状随系统阻尼的不同基本相同，而中间频段的形状随系统阻尼的不同有较大变化。有较大变化。 )()(1)()()(1)()(1)()( jHjGjHjGjHjHjGjGj 令令 )(1)()(1)( jGjGjHjKK 在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，主要包括零频幅值、谐振峰称为频域性能指标，主要包括零频幅值、谐振峰值、谐振频率、截止频率和带宽。它体现了系统值、谐振频率、截止频率

26、和带宽。它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质，图的快速性、稳定性等动态品质，图4-32为表征频为表征频域性能指标的闭环幅频特性。域性能指标的闭环幅频特性。 图图4-32 闭环系统频域指标闭环系统频域指标 1零频幅值零频幅值M(0) 零频幅值零频幅值M(0)表示在频率趋近于零时，表示在频率趋近于零时，系统稳系统稳态输出的幅值与输入的幅值之比态输出的幅值与输入的幅值之比。对于单位反馈系统，闭环频率特性对于单位反馈系统，闭环频率特性 (j )与开环与开环频率特性频率特性G(j )有如下关系有如下关系 ()()1()G jjG j可表示为可表示为 11()()()()1()NNGjKjjGjKj（4-69） 式中，式中，K为开环增益；为开环增益；N为开环传递函数中积分环为开环传递函数中积分环节的数目；节的数目；G1(j )为开环频率特性的组成部分，为开环频率特性的组成部分，其增益为其增益为1，且不包含积分环节。，且不包含积分环节。由式由式(4-69)知，当知，当N 1时时 (0)( 0)1Mj 当当N=0时时 (0)( 0)11KMjK 显然，在频率显然，在频率 0时，若时，若M(0)=1，则输出值能完，则输出值能完全准确地反映输入幅值。全准确地反映输入幅值。 2121rM 11/1 j222211 jj)