八年级(上)第四章四边形性质探索复习题及复习提纲

1、八年级（上）第四章复习 四边形性质探索知识要点：一二四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形 四边形用表示它的各顶点的字母来表示注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写， 可按照顺时针或逆时针的顺序如图读作“四边形” （2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线注意：四边形共有两条对角线连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角 形的稳定性但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用（4）四

2、边形的内角和等于；四边形的外角和等于注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角三多边形的概念和性质（1）多边形的内角和等于（2）任意多边形的外角和等于（3）多边形共有条对角线（4） 在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于四、平行四边形1平行四边形的性质 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 因为ABCD是平行四边形Þ （6）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（7）若一直线

3、过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点， 且这条直线二等分四边形的面积2平行四边形的判定3两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离处处相等注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置4平行四边形的面积（1）、如图1，也就是底边长×高(是平行四边形任何一边长，必须是边与其对边的距离)注意：这里的底是相对高而言的，也就是高所在的边，平行四边形任一

4、边都可作底，底确定后，高也就确定了（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，五矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 1矩形的性质： 图1 图2 因为四边形ABCD是矩形Þ（4）矩形是轴对称、中心对称图形（5）矩形面积长×宽 （6）矩形的周长=（长+宽）×2注意：利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等2.矩形的判定Þ四边形ABCD是矩形.注意：用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩

5、形用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形六菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等1菱形的性质 因为四边形ABCD是菱形Þ （4）菱形是轴对称、中心对称图形；（5） 菱形面积底×高对角线乘积的一半（即AC·BD) （6）菱形的周长边长×4； （7）菱形的计算转化为直角三角形2.菱形的判定Þ四边形四边形ABCD是菱形. 注意：对角线互相垂直的四边形不一定是

6、菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算七正方形 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形1.正方形的性质 因为ABCD是正方形Þ （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正 方形分成四个小的全等的等腰直角三角形 （6）正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等（7）正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则（3）ABCD是矩形 又AD=AB 四边形ABCD是正方形2

7、. 正方形的判定Þ四边形ABCD是正方形.从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最后证明它是矩形(或菱形)八矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：九 平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其它直线上截得的线段也相等 定理的作用：可以证明同一条直线上的线段相等可以任意等分线段 注意：(1)定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特殊的平行 线组(2)定理中的“平行线组”是由三条或三

8、条以上直线组成的 平行线等分线段定理的推论：推论1：经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边它们的作用为：平分线段，求线段的中点或证明线段的倍分这两个推论可简记为：“中点”+“平行”=中点十梯形 1梯形的相关概念 （1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 梯形中平行的两边叫做梯形的底注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形两底的距离叫做梯形的高两腰相等的梯形叫做等腰梯形一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形转化分割、拼接（2）梯形一般如下分类：（3）

9、解决梯形问题的基本思路：梯形问题 三角形或平行四边形问题 这种思路常通过平移或旋转来实现。2 梯形的判定（1）定义法：判定四边形中一组对边平行；另一组对边不平行（2）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形 注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出3等腰梯形的性质 因为四边形ABCD是等腰梯形Þ（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：等腰梯形两底上的角相等； 等腰梯形同一底上的两底角相等4等腰梯形的判定(3)ABCD是梯形且ADBC AC=BD ABCD四边形是等腰梯形Þ

10、;四边形ABCD是等腰梯形5梯形的面积（1）如图，（2）梯形中有关图形面积：十一三角形、梯形中位线 1三角形、梯形中位线的概念（1）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 注意：三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形 要会区别三角形中线与中位线（2）连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 注意：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的中点的线段2 三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（2）三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行数量关系：可以证明线段的倍分关系（3）任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论

11、1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等3梯形中位线定理（1）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（2）梯形中位线定理的作用：位置关系：可以证明三条直线平行 数量关系：可以证明一条线段与另两条线段的倍分关系4梯形问题的常用辅助线十二中心对称的有关定理 1关于中心对称的两个图形是全等形. 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，

12、并且被对称中心平分. 3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.十三常识 1图形折叠一般规则“出一对全等，一对相似”. 2常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；BCDAEPF（图1） 仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 . 注意：线段有两条对称轴.基本训练1、 如图1，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则ABCDCE阴影部分的面积是_.2、 如图2，矩形A

13、BCD中，AB3，BC4，如果将该矩形沿对角线BD折 叠，那么图中阴影部分的面积是 .3、 如上图3，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，且ACBD， AF是梯形的高，梯形面积是49cm2，则AF= 。 4、 已知：如图4，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，以D为圆 图2 心，AD为半径作AE弧，再以AB的中点F为圆心，FB长为半 图3 径作BE弧，则阴影部分的面积为 ； 图 5、 如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、 4 DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由解：添加的条件： 理由： 6、如图6，一个长方形被划分成大小不等的6个

14、正方形，已知中间的最 小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 。7、如下图,请写出等腰梯形特有而一般梯形不具有 图6 的三个特征:_;_。_. 8、如图,已知在等腰梯形ABCD中,ADBC.(1) 若AD5, BC11,梯形的高是4, 求梯形的周长.(2) 若ADa, BCb, 梯形的高是h,梯形的周长为c.则c . (请用含a、b、h的代数式表示; 答案直接写在横线上,不要求证明.)9、已知梯形的中位线长为6，高为4，则此梯形的面积为 2.10、有一个直角梯形零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10cm，D=120°， 则该零件另一腰AB的长是 cm。（结果不取近似值

15、）11、已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD,AD=3cm,BC=7cm,则梯形的高是_cm.12、 菱形的一个内角是60º，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是 cm；ABCB1C1DD1A1D2C2B3A3C3B2D3A2（图13）13、 正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n =_.14、若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形；15、 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形 .16、铺成一片可以不留空隙的平面图形有 （写三个）；17、如图13，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边

16、形ABCD各 边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四 边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn . （1）四边形A1B1C1D1形状是 ；（2）四边形A1B1C1D1的面积是 ， 四边形A2B2C2D2的面积 是 ；（3）四边形AnBnCnDn的面 积是 ； （4）四边形A5B5C5D5的周长是 .18、 如上图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=5，AB=6，BC=8， 且ABDE，DEC的周长是（ ） A、3 B、12 C、15 D、1919、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：AB=AD； DAB=9

17、00；AO=CO，BO=DO；矩形ABCD；菱形ABCD，正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 ( )A、 B、 C、 D、20、下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）DABCO（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个21、如右图，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、 AB=m，那么m的取值范围是( )A1m11 B2m22 C10m12 D5m622、如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺，那么至少需要（ ） A.三个正三角形，两个正方形 B.两个正三角形，三个正方形 C.两个正三角形，两个正方形 D.三个正三角形，三个正方形2

18、3、下列图形中只是轴对称图形，而不是中心对称图形的是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形24、下列命题中，正确命题是（ ）A两条对角线相等的四边形是平行四边形； B两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形； D两条对角线平分且相等的四边形是正方形。25.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配.A. B. C. D.和26、使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是 （ ）A、正六边形地砖 B、正五边形地砖 C、正方形地砖 D、正三角形地砖27、将一圆形纸片对折后再对折，

19、得到图3，然后沿着图中的虚线剪开， 得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )28、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边 形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（）. （A）一组对边平行而另一组对边不平行 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直 （D）对角线互相平分29、 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边 三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为 （ ） A、30a B、32a C、34a D、无法计算30、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB说明理由：ABEADF31、用两个全等的等边三角形

20、ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.ABCDEF图132（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测 量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；ABCDEF图131（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.32、如图，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F。（1）写出图中每一对你

21、认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对进行证明。33、已知：如图，ABCD中，BD是对角线，AEBD于E，CFBD于F. 求证：BE=DF.34、已知：如图1，点C为线段AB上的一点，ACM和CBN是等边三角形，直线AN、CM交于点E，直线BM、CN交于点F，求证：（1）AN=BM；（2）CEF是等边三角形；（3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）（2）结论是否仍然成立。（不要求证明）35、已知：在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. (1)求四边形A

22、QMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.36、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.DBOCA(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图）；求证：SOBC·SOAD=SOAB·SOCD.证明：COABD(2) 在三角形中（如图），你能否归纳出类似的结论？若能， 写

23、出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.37、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满BMC地带所需的费用.（2） 若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APBDPC且SAPD= SBPC，并说出你

24、的理由.一、选择1、两条对角线互相平分,互相垂直且相等的四边形是 ( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形2、在平行四边形中，四个角之比可以成立的是 ( )A、1:2:3:4 B、2:2:3:3 C、2:3:3:2 D、2:3:2:3 3、正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A、四个角都是直角 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直4、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )A、对角相等 B、对边相等 C、对角线互相垂直 D、对角线相等5、不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A、AB = CD，AD = BC B、ABCD，AB = CD C

25、、ADBC，AB = CD D、ABCD，ADBC6、菱形的周长是，两对角线的比为34，则对角线的长分别是 ( )A、12，16 B、6，8 C、3，4 D、24，327、一个四边形的三个内角的度数依次如下，其中是平行四边形的是 ( ) A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92°8、平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必 ( ) A、大 B、大于1且小于7 C、小于7 D、小于7或大于19、如图

26、，在菱形ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F， 且E、F分别为BC、CD的中点，则EAF等于 ( )A、75° B、45° C、60° D、30°10、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=5，AB=6，BC=8，且ABDE，DEC的周长是 ( ) A、3 B、12 C、15 D、19二、填空1、在ABCD中，B=70°，则A=，D=.2、在ABCD中，A = 2B，则C = .3.如图1，在ABCD中，则图中全等三 角形共有_对,4、 如图2，菱形中，ADC=120°，AB=10,则 ,菱形的面积=。5、 如图4，矩形AB

27、CD的面积是16，EF过矩形ABCD 对角线的交点O，阴影部分的面积是 。6、如图5，等腰梯形ABCD中， ，则梯形ABCD的周长， 梯形ABCD的面积三、解答题1、如图菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm， 求菱形ABCD的高DH和AB的长 。 2、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD(1) 求BD的长度，并判定AOB的形状(2)计算BOC的面积3、如图，等腰梯形中，ADBC，AB=DC，B600，对角线AC平分BCD，AEDC（1）试说明四边形AECD的形状，并说明理由；（2）梯形周长为20cm，求BC的长。一、填空

28、题。1、若正方形的对角线为6，则它的面积为 。2、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是 。3、一个正多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是 。4、菱形的一个内角是60º，边长是5，则这个菱形的较短的对角线长是 。5、等腰梯形的上、下底边长分别为5 、11 ，高为4 ，则这个等腰梯形的的周长为 。6、若矩形的面积S =16 cm2,其中一边是a = 2cm,则另一边b =_cm.7、已知菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的周长是 ，面积是 。8、若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩

29、形的面积为 cm2。9、若菱形的两对角线之比为34，对角线之差为2cm，则该菱形的周长为 cm。10、若矩形的对角线长为10cm，一边长为6 cm，则另一边长为 cm。11、正方形的边长为，则对角线长为 ，若对角线长为1，则正方形的边长为 二、选择题。1、以不在同一直线上的三点这三点A、B、C为顶点画平行四边形，可画（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个2、若多边形的边数由3开始增加，则其外角和 （ ）A、增加 B、减少 C、不变 D、（n-2）×180°3、如图二-3，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=5，AB=6，BC=8， 且ABDE，DEC的周长是（ ）A、3 B、12 C、15 D、19 4、如图二-4，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB = 4，AD = 3， OF = 1.3，则四边形BCEF的周长为( ）A、8.3 B、9.6C、12.6D、13.65、当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A、菱形 B、