计算机控制系统-第3章-王万成

1、1第第3章章 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 课时数：9学时。 本章内容:本章介绍离散系统的两种常用数学描述工具: 时域的线性常系数差分方程和Z域的Z变换式, 以及用Z变换求解线性常系数差分方程的方法。2第第3章章 目录目录 3.1 线性常系数差分方程 3.2 Z变换3.2.1 Z变换定义3.2.2 Z变换的性质和定理3.2.3求Z变换的方法 3.3 Z反变换 3.4 用Z变换求解线性常系数差分方程33.1 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 在时域里，对于连续时间线性时不变系统，一般用线性常系数微分方程来描述；而对于离散时间线性时不变系统，一般用线性常系数差分方程来描述。这两种描述方

2、法都是把系统看成一个黑盒子，不关心系统具体的内部结构，只描述系统的输入输出之间的关系，因此这种方法也称为输入输出描述法。 4一个N阶线性常系数差分方程可以用下面的式子来表示：5 需要注意的是，一个线性时不变系统可以用线性常系数差分方程来描述，但是一个线性常系数差分方程描述的系统却不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。只有当系统是因果的时候，才是线性时不变系统。6 已知系统的输入序列，通过求解线性常系数差分方程，可以求出系统的输出序列。求解线性常系数差分方程的方法一般有三种：经典法、迭代法和Z变换法。下面分别举例说明。71经典法差分方程的经典求解法类似于连续系统中微分方程的经典求解法，

3、即求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，由边界条件确定待定系数。这种方法比较麻烦，在工程实际中很少采用。891011122迭代法迭代法也叫递推法，比较简单，且适合用计算机编程来求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程不容易得到闭合形式的解，可用迭代法进行数值求解。 1314利用计算机完成这种数值的迭代非常容易，这个例题可以用MATLAB编程求解如下：得到的解序列为：1501234567890.511.522.5nyn图3-1 差分方程的解序列表示163Z变换法像连续系统引入拉氏变换一样，对离散系统引入Z变换，可以把差分方程简化为代数方程，从而方便求解。同时，还可以得到描述离散系

4、统的脉冲传递函数，方便分析线性离散系统的稳定性、稳态特性和动态特性。因此，Z变换法是工程中求解线性常系数差分方程的重要工具。Z变换在离散系统分析中的地位和拉氏变换在连续系统分析中的地位一样重要，而且两者在许多方面是类似的。下面详细讲解Z变换的定义、性质以及如何用Z变换来求解线性常系数差分方程。173.2 Z变换变换183.2.1 Z变换定义变换定义1920212223图3-2例3.3收敛域242526图3-3例3.4收敛域273.2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理与拉氏变换相似,可以根据Z变换的定义,推出一些基本性质和定理。这些性质和定理反映了离散序列与其Z变换像函数之间的关系，利用这

5、些性质和定理，不仅可以方便地求离散序列Z变换的像函数，还可以从像函数反求原离散序列。2829303.2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理31Stop32时移性质的作用相当于拉氏变换中的微分和积分定理，利用它可以将描述离散系统的差分方程转换为Z域的代数方程。 3334353637383940kknxkxnxnx*212141例 3.10 求下面两个离散序列的卷积及其卷积的 Z 变换：nunf， 11nuanuanhnn42434445464748495051表表3-1 Z变换的性质和定理变换的性质和定理52表表3-2 常用常用Z变换对变换对533.2.3求求Z变换的方法变换的方法 求Z变换的方法主要有级数求和法、利用Z变换性质法、部分分式法及查表法。下面分别举例说明这几种方法。541. 级数求和法 级数求和法就是利用Z变换的定义式（3-4）， 把Z变换式直接展开成无穷幂级数的形式。对于常用函数的Z变换的级数形式，通常都可以进一步写出其闭合形式。前面的例3.3和例3.4都是采用的这种方法求Z变换。552利用Z变换性质法 前面讲了Z变换的性质和定理,综合运用这些性质定理可以使复杂函数的Z变换变得简单便。5657