计算动力学第二章

1、运载工程与力学学部第二章第二章 自治系统求解的解析法自治系统求解的解析法几何法的优点：便于定性地显示系统在各种条件下运几何法的优点：便于定性地显示系统在各种条件下运动的一般规律。动的一般规律。几何法的缺点：在一般情况下没有定量地给出问题的几何法的缺点：在一般情况下没有定量地给出问题的解，也解，也 没有牵涉到时间历程，因而像频率、周期等与没有牵涉到时间历程，因而像频率、周期等与时间有关的问题没有得到解答。时间有关的问题没有得到解答。2.1 2.1 小参数和小参数法小参数和小参数法一般解析法能够处理的是带有小参数的问一般解析法能够处理的是带有小参数的问题，如题，如) 1 (0)0(,)0(),(0

2、20 xaxxxfxpx 出现于方程中标志着系统的某些因素，例如出现于方程中标志着系统的某些因素，例如非线性因素，与其他因素相比是小的。用小参非线性因素，与其他因素相比是小的。用小参数的某种形式把这些小的因素表示于运动微分数的某种形式把这些小的因素表示于运动微分方程中。这种做法一方面反映了实际情况，另方程中。这种做法一方面反映了实际情况，另一方面，由于实际上小参数为零所对应的系统一方面，由于实际上小参数为零所对应的系统求解往往比较容易，使得利用它为原系统求近求解往往比较容易，使得利用它为原系统求近似解成为可能。似解成为可能。去掉与去掉与 有关的小项，得简化了的系统称原系统有关的小项，得简化了的

3、系统称原系统(1)为为基本系统，简化了的系统基本系统，简化了的系统(2)为派生系统。派生系统的为派生系统。派生系统的任一用期解任一用期解 称为派生解。派生解常用作基本系统解的称为派生解。派生解常用作基本系统解的第零次近似第零次近似。 )3(cos000tpax 称原系统称原系统(1)(1)为为基本系统基本系统，简化了的系统，简化了的系统(2)(2)为为派生系统派生系统。派生系统的解。派生系统的解 )2(0)0(,)0(0020 xaxxpx 这种利用小参数的幂级数按等级区分系统中的大小量的作法在描述天体运动时是很自然的。它最早就出现于天体力学中。对基本系统寻求幂级数形式的解把式(4)代入式(1

4、)，比较同幂次项系数，可得一系列微分方程，也就有希望顺序解出)4()(2210 xxxtx.,10 xx例1： 考虑)6(0)0(,)0()5()(20 xAxxfxpx 式中f(x)是非线性的解析函数。小参数出现于等号右端表示系统的非线性因素是弱的。这种系统称为拟线性系统。小参数法的做法是把解设为的幂级数形式。对于式（5)，应注意当 =0 时它有简谐解：x0=Acos(p0t+ )。于是可以设想当 0 但很小时，式(5)的解与x0 相去不很远。把解设为 的幂级数是这种思想的一个很好的表达形式。设式(5)的解为)7()()()()(2210txtxtxtx)8()( )()(220221201

5、020020 xpxxpxxpxxpx把式(7)代入式(5)的左端得设式(5)右端的f(x)可在解x0 的附近展为 的幂级数：)9()(! 21)()()()(20221022010dxxfdxdxxdfxdxxdfxxfxf0222020,)(,)(,)(,)(xxdxxfddxxdfdxxfddxxdf 在表示其中取值。把式(7，9）代入式（5）得 )0(1 )()()( )()(0120220221201020020 dxxdfxxfxpxxpxxpxxpx由于x0(t), x1(t), x2(t)， 不包含 ,而且式(10) 满足一切 值， 故式两端中的 同次幂的系数应一一相等。于是得

6、下列方程组： )11()()(0012202012010200 dxxdfxxpxxfxpxxpx各微分方程是线性的，而且可以顺序解出。式(7，11)以逐渐逼近的形式即所取项数愈多近似程度愈佳的形式逼近式(5)的解。这种解不一定收敛(事实上很可能是发散的)，但在数值上比收敛级数更有用，因为这样的幂级数只要少数几项既能够得到好的近似。因此它广泛应用于工程和应用数学的许多问题之中。 例2：考虑图1中的质点,它受非线性渐硬弹簧的作用。设非线性因素弱且恢复力可以由变形的线性项和三次项之和来代表，即质点的运动微分方程可写为其中1.图1)12(0)(320 xxpx 把解设为式(7)的形式后，式(11)成

7、为 )17(3010202202302012010200 xxpxpxxpxpxxpx第一个微分方程的解是 其中A和是积分常数，分别有振幅和初相角的意义。把此解代入第二个微分方程并利用三角恒等式把三角函致的交乘项和自乘项变为谐波项(这种处理方法在以后各个近似方法中都有用)后，得 )18( )cos(00tpAx)19( )(3cos41 )cos(43 )(cos03200320033201201tpAptpAptpApxpx 其解为 )20( )(3cos321)sin(83030301tpAtptApx第一项当t时即无限增大。这种项称为永年项。 再考虑如图3.1中弹簧是强非线弹簧其恢复力可

8、由变形的线性项、平方项、三次方项之和来代表，即质点运动微分方程是 )21( 033221xxxx 其中1、2、3都是不远小于1的正数。考虑其微小的振动，设解为式(1-12)的形式，如前运算后，在 x0 的特解中即出现形如 的水年项。 )22()sin(2491012313122tAt小参数法是摄动法之一种。摄动这一术语来源于天体力学，原来指“由于另外一个或一些天体的吸引使某一天体发生对其计算轨道的偏差。本节中出现的带有小参数的项显然起着这种作用，它使微分方程的解发生对于当=O时的微分方程的解的偏差。 用摄动法所获得的序列形式的解中，常会发生象上述永年项的现象，称为非一致有一致有效效的现象。所谓

9、一致有效展开是指一个函数(现在是非线性微分方程的解)的渐近展开式中，每一项与前一项的比值都是很小的。当出现永年项时，这种关系显然不成立，因为这种比值随着时间t的增长而无限增长，后一项不一定是前面项的小的修正。非一致有效展开也称为奇异摄动展开。一个摄动问题的解如果能用一个小参数的幂级数来表示且在区域中一致有效，则称此摄动问题是区域中的正则摄动问题，否则称为奇异摄动问题。周期解的存在性和Lindstedt-poincare法 这个方法起源于十九世纪Lindstedt(林滋泰德）等天文学家为避免永年项而提出的方法。Lindstedt法的基本思想建立在如下的事实上，即形如式(5)的非线性微分方程所代表

10、的系统的振动频率已不是相应的线性系统的p0；非线性因素使系统的振动频率p与振动的幅度有关系。这一现象也正是上述的直接展开法所忽视了的，因为在它的设解形式中无法反映这种关系。 这种思想是和现代微分方程理论一致的，即由于系统(5)是自治的，等号右边不显含时间t，也就不包含任何对t而言是周期性的因素，就可看作是有任意周期的周期函数，因而不排斥具有任何周期解的可能性。而解的周期,一般说，是足够小的小参数的解析函数。如式(7)形式的级数中，每一个xi(t)都不一定是周期函数，不能那样按直接展开来求出。 Lindstedt提出的方法经Poincare总结归纳为Poincare周期解的问题，开创了摄动理论的

11、现代阶段。poincare把问题提到周期解的存在性这一高度。它指明，一般说，基本系统周期解对派生解的依赖严格说是靠不住的，微分方程右端的小变化可能引起解的大变化或质变。也可能派生系统有周期解而基本系统没有周期解或有多个解。换句话比求系统(5)周期解的问题可能与求系统 (6)周期解的问题并无联系。因此，系统(6)的已知周期解对应于系统(5)的一个且仅一个周期解的条件显然是值得研究的。这就是现在要研究的基本系统周期解的存在条件。 1基本系统周期解的存在条件 考虑单自由度自治系统 其中 f 当足够小时是派生解 )2-2(cos000tpAx ) 12(),(20 xxfxpx 和、xx的解析函数。的

12、周期 。此解本包含两个任意常数，其一为初始相角，由于求解自治系统时可任选时间起点，初始相角已取为零。其二即A0. 研究基本系统（2-1）的周期解，它对足够小的 解析，当=0 时此解成为派生解.0/2pT结论：1.式(2-1)右端函数f用派生解(2-2)代入之后与派生解同频率的Fourier系数等于零。2.解的周期与有关2Lindstedt-Poincare 法单自由度自治系统振动问题的微分方程 )32()(20 xfxpx 引入新自变量=pt，而把待定的p也展为的幂级数： 以便使得对新自变量，方程有固定周期2，且与无关。Lindstedt法确定，参数p1，p2，的选择要能使永年项消失。经过这种

13、自变量的变换后，又因为己证明解对足够小的解析，就有理由按如下形式设解： )52()()()()(2210 xxxx)42(2210ppppddxpdtdddxdtdxx=pt22222dxdpddxpdtddtdxdtddtxdx 其中每一个xi(）是的周期函数，周期为2。 把式(2-4，2-5)代入式(2-3)，得 )62()(20222xfxpdxdp函数f（x）在x0附近展为的幂级数，再比较式(2-6)左右两端的同次幂各项系数即得 )72(2 )2()(2)(021210202211001220222202021001202122002020220dxdppdxdpppdxxdfxxpd

14、xdpdxdppxfxpdxdpxpdxdp 式(2-7)可逐一解出。不过，现在要同时确定频率的修正量 p1，p2，同时要满足使x0，x1，x2， 中的每一个都是以2为周期函数的要求： 取值。在表示其中00,)(,)(xxdxxdfdxxdf)82(,2, 1)()2(ixxii即每一个xi都不包含永年项的要求。可以看出， 这就是要求式 (2-7)右端都不包含以1为圆频率的的简谐项，因为只有这样的项会引起非周期性。如果选择p1，p2使得所有的x1，x2，x3， 中以l为圆频率的简谐项的系数为零，上述要求即可满足。从式 (2-7)的第一式中可以看出x0中没有出现永年项的危险，因为它所满足的这个方

15、程是齐次的。 现仍以图3.1和方程 )92(0)(320 xxpx )(32020 xpxpx )52()()()()(2210 xxxx)(32020222xpxpdxdp)42(2210pppp所代表的系统为例说明本方法的运用。这个系统明显是有周期解的。现在遍除后得）用式（203207-2.)(pxpxf)102(2)2(1320212012022110201202222202013012120202dxdppdxdppppxxxdxddxdppxxdxdxdxd其中x1，x2，应满足周期性条件(2-8)解x0自然满足周期性条件。令初始条件为 )112(, 2 , 1 , 00iddxi这

16、种假设如前所述无损于一般性，因为它相当于假设初速度为零，而对于自治系统来说，只要在中包含一个常相位角，这样做是适合任何初始条件的。应用式(2-11)的第一个初始条件于式(2-28)第一式得解 )122(cos0Ax把式(2-12)代人式(2-10)第二式并利用三角关系之后，得 )132(3cos41cos)38 (41320101212AApppAxdxd式(2-13)右端第一项会引起共振因而产生永年项。为消除这种项，引用式(2-8)中i=1的周期条件，即令式(2-13)右端cos的系数等于零。这等于要求 )142(83201App接着引用式(2-11)中i1的周期性条件，式(2-13)的特解

17、即可写为 )152(3cos32131Ax这里，为了唯一性，齐次解可以看作已包含在式(2-12)中了。求解过程说明，满足了式(2-14)的关系即可获得周期解.题1已知质量为m的物体在非线性硬弹簧作用下作自由振动。设弹簧刚度 初始条件为： 试用Lindstedt法求物体运动的一次近似解。,)(2axkxk.0) 0(,) 0(xAx题1已知质量为m的物体在非线性硬弹簧作用下作自由振动，如图3.1所示。设弹簧刚度 初始条件为： 试用Lindstedt法求物体运动的一次近似解。解物体运动时，坐标轴x如图所示其运动微分方程为： ,)(2axkxk.0) 0(,) 0(xAx03xkxxm (1) 03

18、20 xxpx mkp 20m),(tx(2) )()(),(110 xxtx式中 为物体在线性弹簧上的固有频率的平方 ； 为小参数。 按林滋泰德法，将式（1）的解 展为 的幂级 数 其中 ，将频率p也展为 的幂级数 。(3) 10ppp pt0)()()()(31010201022210 xxxxpxxddpp(4) 203020210120212200202xdxdppxpdxdpxdxd把式(2)、(3)代入式(1)，得 令上式中的各幂次的系数都等于零，得：)5(0)0(,0)0(0)0(,)0(1100 xxxAx,cos)(0ax,0,Aa)6()(cos)(0PtAx在式(4)中，

19、第一式的解为将初始条件代入，可知故.0)0(,)0(xAx而根据初始条件 有4/ )cos33(coscos3)7(3cos4cos)432(203203011212pApAAppxdxd可得： 将式(6)代入式(4)的第二式，并利用三角公式为使在此式的解中不出现永年项，则应使cos的系数为 零，即令 043220301pAApp(8) 83021pAP )9(3cos42031212pAxdxd3cos32sincos)(2031pACBx因此式（7）可写为：解之可得：此式的解为：0,32/203CpAB将初始条件代入上式，可得：故)10()cos3(cos32)(2031pAx.83020

20、pApp)cos3(cos32cos),(203ptptpAptAtx将式(6)和(10)代入式(2)后，得一次近似解为：其中的p,可将式(8) 代入式(3)而得：3.3 多尺度法 多尺度法是本世纪五、六十年代由 Sturrock，Frieman，Nayfeh，sandri等发展起来的一种比较新的奇异摄动法。它与 Lindstedt-Poincare法相比有一个明显的优点，即L-P法从它设 解的形式就可看出它只适用于严格的周期运动，它对哪怕是很简单的耗散系统(例如线性的耗散系统)无能为力。而多尺度法不但对严格的周期运动适用，也适用于耗散系统的衰减振动和其他许多场合。 鉴于使直接展开法失效的永年

21、项以及函数(微分方程的解也是函数)的展开式中常出现含有t，t, 2t， 的项，多尺度法把微分方程的解不只看作单一自变量t的函数，而把t，t，2t， 都看作是独立自变量，或时间的尺度，把解看作这些独立自变量或时间尺度的函数。 根据这种思想，引入的独立自变量) 13(),2,1,0(ntTnn根据这些关系，对t的导数可用对Tn的偏导数表示如下：)23()2(22121210202222101100DDDDDDdtdDDDTdtdTTdtdTdtd式中D，D1，D2分别是对T0，T1，T2， ，求偏导数的运算符号。现用多尺度法解4)-(3 ),(20 xxfxpx 形式的耗散系统微分方程，式中是小参

22、数，非线性项和阻尼以这种形式出现表明他们都是小的，用摄动法研究这种形式的微分方程容许振动是不小的，因此现在设解为 5)-(3 ),( ),()(21012100TTTxTTTxtx其中 Tn 如式(3-1)把式(3-5)代回式(3-4)得 6)-(3 ),(),(2010220220001101201202002000 xxFxpxDxDxfxDDxpxDxpxD其中F代表 展开式中2的系数 把式(3-6)第一式的解写为复数形式： ),(xxf 把式(3-6)第一式的解写为复数形式： 7)-(3 )exp(),(A )exp(),(002100210TipTTTipTTAx函数A在这一步仍然是

23、任意的；它可以由下一步消除永年项的条件确定。 把x0 代入式（3-6）的第二式得8)-(3 )exp(-iA )Aexp(i ),exp()fAexp(i )exp(2)exp(2000000000000100010120120TpipTpipTipATpTipADipTipADipxpxD此式的解中凡含有T0exp(ipT0)的项都是永年项。这些项中又都包含待定函数A。于是可由选择A使永年项得以消除，以便获得一致有效展开。为此把f（x0，Dx0）展为Fourier级数：9)-(3 )exp(),(00nnTinpAAff其中 消除永年项的条件因此是 10)-(3 )exp(2),(0/200

24、000pndTTinpfpAAf11)-(3 )exp(210/200001pdTTipfAiD 若求第一次近似，A只看作T1的函数。为解式(3-11)，把 A（T1）表为极坐标形式较方便： 12)-(3 )(exp)(21)(111TiTTA式(3-7)于是可写为 13)-(3 )(,cos)(10010TTpTx 式(3-12)代入式(3-11)得 )exp()sin,cos(21)(200011diapafpiaDaDi分离实部与虚部得 14)-(3 cos)sin,cos(21sin)sin,cos(212000120001dapafpaDdapafpaD解出，后，第一次近似就是 15

25、)-(3 )(cos)(1001TTpTax 作为例子，考虑线性小阻尼系统的振动： 16)-(3 02xxx 这相当于式(3-4)中现令.2, 120 xfp17)-(3 0,1,2n ,)(0),(),(),()(32102221012100tTTTTxTTTxTTTxtxnn4)-(3 ),(20 xxfxpx 式(3-6)现在成为 18)-(3 2222220010200211101022200010112002000 xDxDDxDxDDxDxxDxDxDDxxDxxD把第一式的通解写为 19)-(3 )exp(),()exp(),(02102100iTTTAiTTTAxA0是待定的函

26、数。把x0代入式(3-18)第二式得 20)-(3 )exp(-iTADA2i( )exp(iT(2001000101120ADAixxD为消除永年项，令21)-(3 0ADA010积分得 22)-(3 )exp()(A1200TTa仍是待定的函数。现在式(3-20)的解是 23)-(3 )exp(),()exp(),(021102111iTTTAiTTTAx把x0，x1代入式(3-18)第三式得 24)-(3 )exp(),()exp(),(0210212220iTTTQiTTTQxxD其中 25)-(3 )exp(2iD)exp(-T-22),(1021011121TaaAiDiATTQ式

27、(324)右端各项又将产生永年项，因为其特解是 26)-(3 )exp(),(21)exp(),(21002100212iTTTTQiiTTTTiQx为消除永年项，令Q=0，即 27)-(3 )exp(-T)2(211020111aiDaiAAD一般说，为得到式(3-27)，x2不一定要解出，只要观察式(3-24)，找出会产生永年项的项并消除之即可。式(3-27)的通解为 28)-(3 )exp(-T)2(21)(11020211TaiDaiTaA把A1，代入式(3-23)得 29)-(3 cc)exp(iTexp(-T)2(21)(011020211TaiDaiTax其中cc代表前面表达式的

28、复共轭。但现在 30)-(3 )exp(-T cc)exp(iT1000 ax所以，当t，虽有x0，x10，但只要t增至o（2），就使 x1 成为o（x0），从而使展开式x0+ x1失效，除非式(3-29)中T1之系数为零，即 02020aiDa即 31)-(3 )2exp(2000Tiaa其中 a00 为常数。接着，式(3-28)成为 32)-(3 )exp(-T )(1211TaA 解可以写为 33)-(3 )o( )exp()( )2(expa )exp(-T 202120001cciTTaccTTix其中a00可从展开式的第三阶确定。现设问题的初始条件是 34)-(3 )cos1(si

29、n)0(,cos)0(2axax把Tn还原为nt得解 35)-(3 )21cos(24Rttaext其中余式R可以通过本问题的精确解 36)-(3 )1cos(24taext与式(3-35)的比较知为o(4t)， 其实对于式(3-l6)这样的线性问题，可以只引入时间的不同尺度而不把解展开为式(3-17)的形式。这样得到 37)-(3 222201202101020 xDxDDxDxDxDDxxD第一式的通解是 此式代入式(3-37)第二式得 38)-(3 cc)exp(iT ),(021TTAx 39)-(3 0cc)exp(iT )(01 AAD由于此式应满足T0的所有值，exp（iT0）和

30、exp（iT0）前的系数必须为零，即 01 AAD也即 40)-(3 )exp(-T )(12TaA 把式(3-38)代入式(3-37)第三式，得 由此 41)-(3 0cc )exp()22(01221iTADAiDAD 42)-(3 0222121AiDADAD把式(3-40)中的A代入式(3-42)得 于是 43)-(3 022 aaiD 44)-(3 )2exp(20Tiaa其中a0是常数。于是式(3-38)成为 此式还原到用t表示即 其中 这个结果与式（3-35）是完全一致的 ).exp(210iaa 45)-(3 cc )2i(T)exp(-Texp2010Tax 46)-(3 )

31、21cos(24ttaext这个方法是由苏联KBM所提出的。他们自己把这个方法称为渐近法，而西方把它称为 KBM法。这个方法的适用性很广，不但适用于保守系统的周期运动和耗散系统的衰减振动，也适用于自激振动及其过渡过程和由具有慢变系数的微分方程所表征的不平稳过程，以及强迫振动。 3.4 KBM法下面分段介绍这个方法 的几种表现形式.1平均法 仍考虑形如 1)-(4 ),(20 xxfxpx 的非线性微分方程，其中是小参数。当 o时，振动是简谐的，即 其中振幅a和相位角的变化率是常数： 3)-(4 ,000tppdtddtda振幅a和初相位角由初始条件决定。2)-(4 cos ax sin0 ap

32、dtdx o时，出现非线性因素和与速度有关的因素。这些因素对系统的可能影响是：出现高次的谐波，振动的瞬时频率与振幅有关，系统能量或是耗散或是增长以致振幅或是衰减或是愈来愈大。 考虑到这些影响，用如下形式来求式(4-1)的通解： 4)-(4 ),( ),(cos221axaxax其中x1(a，）， x2(a，），是的以2为周期的周期函数，而 a和是时间的函数，由如下的微分方程决定： 5)-(4 )()()()(2210221apappdtdaAaAdtda式(4-4)、(4-5)是KBM法的一般形式。平均法是KBM法的第一次近似.根据对误差的分析,如果在式(4-5)中保留到的一次幂项为止，则式(

33、4-4)就只需保留第一项，第二项 x1 是否保留对误差没有影响。因比平均法作为第一次近似，取 其中。a和由如下方程决定： 7a)-(4 )(1aAdtda7b)-(4 )(10appdtd6)-(4 cos ax这种求解的方式实际上是借用=0时解的形式(4-2)、(4-3)，但把 a和看成时间的函数。因此这个设解的方式相当于令 ) 84( )()(,cos)(0ttpttax由于式(4-1）和式(4-6)两个方程中有三个变量x、a、 ，容许增加一个条件。现要求速度也具有=0时的形式： )94( sin0 apdtdx式(4-6)对时间求导数得到 )104( sincossin0dtdadtda

34、apdtdx比较式(4-9)、(4-10)就知道这等于要求 )114( 0sincosdtdadtda对式(4-10)再求一次导数得 )124( cossincos002022dtdappdtdaapdtxd),(20 xxfxpx cos)(tax cossincos002022dtdappdtdaapdtxd把22,dtxddtdx代入，得 13)-(4 )sin,cos(cossin000apafdtdappdtdasin0apdtdx13)-(4 )sin,cos(cossin000apafdtdappdtda)114( 0sincosdtdadtda从式(4-11)、(4-13)中解

35、出得，和dtddtda到此为止，式(4-6)、(4-13)、(4-14)和式(4-1)是完全等价的，因为尚未引入任何近似的关系，只作了一些变量的变换。 式(4-14)实际上已把式(4-7)中的A1(a)和p1(a)表示出来了。 14)-(4 cos)cos,cos(sin)sin,cos(0000apafapdtdapafpdtda 从式(4-14)可看出， 都是和同阶的小量。换句话说，sin和cos随时间的变化要比=p0t+的变化慢得多，也就是说sin和cos的一个振荡周期2内仅作了很小的变化。这一事实使得在式(4-14)中以其右端在变化的一个周期内的平均值来代替原来变化的右端成为有意义的。

36、dtddtda和实施这一代替之后，式(4-14)即可写为 15)-(4 cos)sin,cos(2sin)sin,cos(220002000dapafapdtddapafpdtda最后，式（4-7）的表达式是16)-(4 cos)sin,cos(2sin)sin,cos(2200002000dapafappdtddapafpdtda 作为一个例子，考虑一个简单的非线性微分方程及其初始条件：)174( 0) 0(,) 0(03xAxxxx 其中是小的正数。 整理为平均法的标准形式(4-1)18)-(4 1,03pxf1)-(4 ),(20 xxfxpx 03xxx 3xxx 式(4-15)成为

37、19)-(4 83cos20sincos2202432033adaadtddadtda cos)sin,cos(2sin)sin,cos(220002000dapafapdtddapafpdtda1,03pxf 8302taconsta从第一式得知a为常数，即等于初始值，a=A将此结果代人第二式，得 02)83(1cos costaaax 8302tat0)0(,)0(xAx )83(1sin)83(1022taaax )cos(0AaxAa 00 0 )sin()83(102aax )83(1Acos2tAx这说明振动的频率不再是P0=1而有所改变。2非线性系统的等效线性化法 根据KBM法的

38、第一次近似平均法可以为非线性系统在一定条件下作等效线性化考虑微分方程 ),(xxfKxxm 与以前常用的式(4-1)比较，现在的 相当于式(4-1)中的f用平均表示式(4-21)的解如下：mf(4-21)mxxfxmKx),( 22)-(4)(dtdsin)sin,cos(2cos2000apdapafmpdtdaaxe23)-(4 cos)sin,cos(2)(20000dapafmappape 25)-(4 )o( cos)sin,cos()(2200202dapafmapape其中,20mKp 现引入 24)-(4 cos)sin,cos()(sin)sin,cos()( 2002000

39、dapafaKaKdapafapaee20020200cos)sin,cos(cos)sin,cos()(dapafampdapafammKmaKe由于全部计算均属第一次近似，故式(4-25)中的（2）可以略去。比较式(4-25)和式(4-24)第二式知 26)-(4 )()(2maKapee比较式(4-24)第一式和式（4-22)第一式又得 现将式(4-22)第一式对t求导数，并利用pe(a)、e（a）的表达式，得 27)-(4 2)(amadtdae28)-(4 cos2)(sin)(amaaapdtdxeedtdddaamdtdaamadtdadaadmdtdddaapdtdadaadp

40、aapdtdadtxdeeeeeecos)(21cos)(21cos)(21sin)(sin)(sin)(22inaapamaamamadaadmapaapmadaadpaapamaeeeeeeeeeees)()(21cos)(41cos2)()(21)(cos)(sin 2)()(sin)( 2)(2222cos4)(cos)(2)(2sin 2)()(cos)(21sin)( )(cos)(2222amaadaadmamamadaadpaaamapamaaapeeeeeeeee)()()(4)()(2)(2sin 2)()()()(2222odtdxmaxmaKxmaxdaadmamama

41、daadpadtdxmaxmaKeeeeeeeee即 同样，在这第一次近似中略去o(2)，得 )()()(222oxaKdtdxadtxdmee 30)-(4 0)()(2xaKdtdxadtxdmee 这就是说在第一次近似中，所研究的非线性系统的振动和一个线性系统的振动是等价的。因此 e(a)称为等效阻尼系数，ke(a)称为等效弹性系数。式(4-30)所代表的系统称为式(4-21)系统的等效性系统。 把式(4-30)和式(4-21)比较可知，只要把非线性项用线性项),(xxfF 31)-(4 )()(dtdxaxKaKFeee代替，就得到等效线性系统。还可进一步引入等效线性系统的阻尼衰减率

42、32)-(4 2)()(maaee和固有频率 33)-(4 )()(maKapee02p 还有一个更直接地确定等效线性系统各系数的方法。把精确到o()在量级为 的时间历程中取 34)-(4 )t(sinp- dtd),tcos(000paxpAx其中p0和是常数。把此式分别代入原非线性项 和式(4- 31)的等效线性力Fe中去。 ),( xxf 对于式(4-34)这样的简谐运动，等效线性力Fe也是简谐的，频率也是p0。而非线性力f在把式(4-34)代入后，一般说，是多个谐波组成的周期因数，各谐波的频率分别为p0，2P0 现在写出二者的基本谐波。等效线性力本身即为其基本谐波：35)-(4 )t(

43、sin)()cos()(000paaptpaKaKee 非线性力f 的基本谐波是 36)-(4 )(in sin)sin,cos(1)cos( cos)sin,cos(102000200tpsdapaftpdapaf 若令三者的基本谐波相等，即可得和式(4-24)相同的 e(a)和 ke(a)的表达式： 37)-(4 sin)sin,cos()(cos)sin,cos()(2000200dapafaapdapafaKaaKee 这种把非线性力的基本谐波提出来组成等效性系统系数再求解等效线性系统的微分方程(其解只包含基本谐波)的作法和下一节的谐波平衡法是一致的。不过现在只考虑谐波平衡中的基本谐波

44、。在KBM法中，这种作法称为谐波平衡原理。 在许多情况下，特别是对于比较复杂的振动系统，没有必要去列运动微分方程。可以直接将系统中的非线性因素用等效线性系数代替，然后求解等效线性微分方程，找出频率p0(a)和衰减率 e(a)即获得解。 作为一个例子，考虑一个受到弱非线性阻尼作用的系统作接近于简谐形式的振动。设阻尼力为 。阻尼力的基本谐波是 )(x 38)-(4 )sin( sin)sin(10200tpdap衰减率 等效阻尼系数 39)-(4 sin)sin(1)(2000dapapae40)-(4 2)()(maaee 在第一次近似的精度下，这个阻尼的存在不影响振动的频率。 应该注意这样的事

45、实：等效线性的因素在本质上和真正的线性因素是不同的；线性化系统的参数几个等效线性系数并不是常数而是振幅a的函数。 3渐近法 平均法及其演变出来的等效线性化方法和谐波平衡原理是KBM法的第一次近似已如前所述。这第一次近似描述了弱非线性因素对振动影响的基本方面。但其精度有限。渐近法能够提高近似解的精度。 仍考虑微分方程 41)-(4 ),(20 xxfxpx 渐近法设通解为三个级数的形式： 42)-(4 ),(),(cos221axaxax43)-(4 )()( pdtd )()(2210221apapaAaAdtda其中x1(a，)，x2(a，)，是的以2为周期的周期函数。 根据对误差的分析，第

46、一次近似应取为式(4-6)、(4-7)已如前所述。同理第二次近似则应取为 45)-(4 )()( pdtd)()( 2210221apapaAaAdtda44)-(4 ),(cos1axax如此类推。第m次近似在式(4-42)中应取至em-1的项在式(4-43)的两个式子中均应取至m的项。确定这些展开式中的函数在原则上并没有困难，但由于演算随着近似次数的提高而很快越来越复杂，在实际上可以进行的只是头二三次近似。这个方法的实用性不取决于近似次数无限提高时级数的收敛性，而取决于确定的某一次近似当0时的渐近性。 为确定这些展开式中的函数，把式(4-41)对时间求导数： 46)-(4 )cos()(

47、)sin(2 ) ()( )sin( ) cos()sin( ) (cos22221222221222222122221222212222221221axxadtdaxaxdtddtdaaxaxdtdaxxadtdaxaxdtaddtxdxxadtdaxaxdtdadtdx利用式(4-43)可以计算下列的量： 47)-(4 )()2p(2 p )()dtd()()( )()dtd)()()()()( )()( )( 3202121020222102311022012210221321222212311222122122311222122122opppppppopApApApppAAdtdaoA

48、AAdtdaodadpAAAdadpdadpdtdodadAAAAdadAdadAdtad把式(4-43，4-47)代入式(4-46)，并且把所得的结果按小参数的幂次排列，得 48)-(4 )o(22 sin)2(2p- cos)2( )cos2sin2( cos)o( )sincos( )sincos(sin3222221210121011112020211122122101002232011112221011000 xpxppaxApadadpApAApapapdadAAxppapApapdtxdxpxpaxAapAxpapAapdtdx于是，式(4-41)的左端可写为 49)-(4 )o

49、(22 sin)2(2p- cos)2( )cos2sin2(322022222121012101111202021112120212210102000 xpxpxppaxApadadpApAApapapdadAAxpxppapApxpx 式(4-41)右端在利用了式(4-42)、(4-48)后可写为 50)-(4 )o()sin,cos (x ) xsincos(A )sin,cos( )sin,cos(),(3010110120apafpapapafxxapafxxf 令式(4-49)和式(4-50)的同幂次系数相等即可得到一系列为求解x1，x2，Al，A2，P1，P2，所需的微分方程。而

50、为了使表达式(4-42)以o(m+1)的精度满足式(4-41)，上述的微分方程须列出m个： 51)-(4 cos2sin2),()( cos2sin2),()(cos2sin2),()(020122201020122222010100121220mmmmpapAmpafxxppapApafxxppapApafxxp其中 52)-(4 22sin)2(cos)()sincos()(sincos()sincos(),(),sincos(),(212101210111111210101101100 xppaxApadadpApAdadAAapapafxxpapAapafxxafapafaf不难看出，

51、 fk（a，）是变量以2为周期的周期函数，又依赖于a0，在求出Aj（a），pj（a），xj（a），j=1，2，k之后，即可知道 fk（a，）的明显表达式。 首先从式(4-51)第一式解A1（a），p1（a），x1 （a， ）。为此研究函数fk（a，） 和x1（a，）的Fourier级数x1 （a， ）。为此研究函数fk（a，） 和x1（a，）的Fourier级数。53)-(4 sin)(cos)()(),(sin)(cos)(),()1(1)1()1(01)0(1)0()0(00aznayayaxahnaggafnnnnnn把本式代人式(4-51)第一式得 54)-(4 sin)(cos)(

52、sin2)(cos2)()(g sin)(cos)()1 ()()0(2)0(10)0(110)0(1(0)0)1(1)1(220)1(020nahnagApahapapaganaznaynpaypnnnnnn令此式相同谐波的系数相等，得 55)-(4 , 3 , 2,)1 ()()(,)1 ()()(,)()(, 02)(, 02)(220)0()1(220(0)n)1(20(0)0)1(010)0(110)0(1nnpahaznpagaypagayApahpapagnnn这样，A1(a)和p1(a)以及x1(a，)展开式中除n1之外的谐波项都已确定. 至于xl展开式中的n1的谐波即基本谐波

53、已可看出根据上面的运算是确定不了的；一般说，基本谐波的确定带有任意性。因此只要规定x1(a,) 不包含基本谐波，就能定出 56)-(4 0)( , 0)( )1()1(0azayn对x1以至x2，x3，作这样的规定也使得x的解(4-42)更加谐调，因为现在基本谐波已全部包含在首项acos中，后面的渐近级数 x1，2x2,内已无需包含基本谐波了。 于是得 57)-(4 1sin)(cos)(1)(),(22)0()0(2020)0(01nnnnnahnagppagax 若进行更高一次近似的计算，就把所得的x1，A1，p1代入式(4-52)第二式以得到f1(a，)的明显表达式，然后把它也展开成 F

54、ourier级数： 58)-(4 sin)(cos)()(),()1(1)1()1(01nahnagagafnnn对物x2（a，）也作不包含基本谐波的规定即 59)-(4 0)( , 0)( )2(1)2(1azay后，即可利用式(4-51)第二式确定A2（a），p2（a）和x2（a，）： 60)-(4 1sin)(cos)(1)(),(02)( , 02)( 22)1()1(2020)1(0220)2(120)1(1nnnnnahnagppagaxApahpapag 如此类推可以解出任意高次近似。以上的运算是对于普遍情 的表达方式，它显得相当繁琐。对于具体的 ，运算往往是简单的。作为一个例子

55、，现计算一个保守系统 61)-(4 03xxx 的第一和第二近似解。现在 首先计算式(4-52）第一式： ),( xxf3),(xxxf62)-(4 )3coscos3 (41cos),(3330aaaf实际上现在已完成对f0(a，）的Fourier展开即 63)-(4 0)()()()( 41)(,43)( , 0)( )0(3)0(2)0(1)0(23)0(33)0(1)0(0ahahahagaagaagag从式(4-55)得 64)-(4 0)( ,83)(121aAaap第次近似解是 65)-(4 cos ax 66)-(4 )831 ()(831)(, 0)(22101tataapp

56、dtdconstaaAdtda此外这一步还可从式(4-55)其余各式求得 67)-(4 0)()(321)(, 0)()()1(3)1(3)1(3)1(2)1(0azazaayayayn从而 68)-(4 3cos321),( 31aax然后计算式(4-52)第二式： 利用f1（a，）的Fourier系数和式(4-60)求得 69)-(4 )5cos12833cos12821cos12815(),(51 aaf70)-(4 )5cos102413cos102421(),(0)(,25615)( 5222242aaxaAaap第三个式子算出的x2（a，）已不属于第二次近似了。第二次近似解总的结果

57、是 256158310422aadtddtda cos3321 cos 3aax35 Ritz-TaepkHH法和谐波平衡法 考虑自治系统 现研究该系统以待求的p为圆频率的周期解。按Hamilton原理，这相当于寻求满足 1)-(5 ),( 20 xxfxpx Txdtxxfxpx0202)-(5 0),( 和周期性条件 Ritz-TaepkHH法的要点在于为式(5-2)寻找。的解，其中p2T)()0(),()0(TxxTxx形式的解，其中满足i（0）=i（t）是凭经验选定的己知周期函数，而ai足待定的系数，它们的确定以满足式(5-2)为条件。 把式(5-3)代入式(5-2)得 3)-(5 )

58、(1taxniii 4)-(5 0dt)(),(1210iniinataaaR式中R（a1，a2， ，a n)是以式(5-3)代入式(5-2)佐端方括号中去所得的式子。由于式(5-4)中的ai各自独立，该式相当于要求 这是关于a1，a2， ，a n的n个代数方程，这些方程联系这n个系数和待求的圆频率P。 根据Fourier级数的理论，解(5-3)一般可取为 5)-(5 n ,1,2,i 0)(),(210dttaaaRin 6)-(5 )cos(1niiiiptAx不难看出，现在式(5-5)中的第k个式子的要求相当于把式(5-1)的每一项都按Fourier级数展开后，要求第k个谐波也满足这个等式的关系。这相当于m十1个代数方程，联系m十1个Fourier系数 和圆频率P。因此这个作法称为谐波平衡法。当然，它