信号与系统第二版课后答案燕庆明1

1、?信号与系统信号与系统?第二版第二版课后习题解析课后习题解析燕庆明主编燕庆明主编高等教育出版社目目 录录第第 1 章习题解析章习题解析.2第第 2 章习题解析章习题解析.5第第 3 章习题解析章习题解析.15第第 4 章习题解析章习题解析.22第第 5 章习题解析章习题解析.30第第 6 章习题解析章习题解析.40第第 7 章习题解析章习题解析.48第第 8 章习题解析章习题解析.54第第 1 1 章习题解析章习题解析1-11-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ (c) (d)题 1-1 图解解 (a)、(c)、(d)

2、为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始因果信号。1-21-2 给定题 1-2 图示信号 f( t )，试画出以下信号的波形。提示：f( 2t )表示将 f( t )波形压缩，f()表示将 f( t )波形展宽。2t(a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t )(c) f( )2t(d) f( t +1 ) 题 1-2 图解解 以上各函数的波形如图 p1-2 所示。图 p1-21-31-3 如图 1-3 图示，R、L、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统 SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与鼓励电流函数关系的表达

3、式。题 1-3 图解解 各系统响应与输入的关系可分别表示为；)()(tiRtuRRttiLtuLLd)(d)(tCCiCtud)(1)(1-41-4 如题 1-4 图示系统由加法器、积分器和放大量为a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。题 1-4 图解解 系统为反应联接形式。设加法器的输出为 x( t )，由于)()()()(tyatftx且 )()(,d)()(tytxttxty故有 )()()(taytfty即 )()()(tftaytySRSLSC1-51-5 某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|

4、，试判定该系统是否为线性时不变系统？解解 设 T 为系统的运算子，那么可以表示为：)()()(tftfTty不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，那么； )()()(111tytftfT)()()(222tytftfT故有 )()()()(21tytftftfT显然 )()()()(2121tftftftf即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-61-6 判断以下方程所表示的系统的性质。(1) (2) tfttfty0d)(d)(d)()()(3)()(tftytyty (3) (4) )(3)()(2tftyty t)()()(2tftyty解解 (1)线性

5、；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-71-7 试证明方程所描述的系统为线性系统。式中 a 为常量。)()()(tftayty证明证明 不失一般性，设输入有两个分量，且)()()()(2211tytftytf，那么有 )()()(111tftayty)()()(222tftayty相加得 )()()()()()(212211tftftaytytayty即)()()()()()(dd212121tftftytyatytyt可见)()()()(2121tytytftf即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-81-8 假设有线性时不变系统的方程为)()()(tftay

6、ty假设在非零 f( t )作用下其响应，试求方程ttye1)(的响应。)()(2)()(tftftayty解解 因为 f( t ) ，由线性关系，那么ttye1)()e1 (2)(2)(2ttytf由线性系统的微分特性，有ttytfe)()(故响应 ttttytftfe2e)e1 (2)()()(2第 2 章习题解析2-12-1 如图 2-1 所示系统，试以 uC( t )为输出列出其微分方程。题 2-1 图解解 由图示，有tuCRuiddCCL又ttuuLi0CSLd)(1故CCCS)(1uCRuuuL 从而得)(1)(1)(1)(SCCCtuLCtuLCtuRCtu 2-22-2 设有二

7、阶系统方程0)(4)(4)( tytyty在某起始状态下的 0+起始值为2)0(, 1)0(yy试求零输入响应。解解 由特征方程2 + 4 + 4 =0得 1 = 2 = 2那么零输入响应形式为tetAAty221zi)()(由于yzi( 0+ ) = A1 = 12A1 + A2 = 2所以A2 = 4故有0,)41 ()(2zitettyt2-32-3 设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形。(a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 )(b) f( t ) = sint( t ) ( t 6 )解解 (a)和(b)的波形如图 p2-3 所示。图 p2-32-42-

8、4 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号。题 2-4 图解解 (a) f( t ) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 ) (b) f( t ) = ( t ) + 2( t T ) + 3( t 2T )2-52-5 试计算以下结果。(1) t( t 1 )(2) tttd) 1(3) 0d)()3cos(ttt(4) 003d)(ettt解解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 )(2) 1d) 1(d) 1(ttttt(3) 21d)()3cos(d)()3cos(00ttttt(4) 1d)(d)(ed)(e00003003tttttttt2-62-6 设有

9、题 2-6 图示信号 f( t )，对(a)写出 f ( t )的表达式，对(b)写出 f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。题 2-6 图解解 (a)20,21tf ( t ) = ( t 2 )， t = 22( t 4 )， t = 4 (b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 )图 p2-62-72-7 如题 2-7 图一阶系统，对(a)求冲激响应 i 和 uL，对(b)求冲激响应 uC和 iC，并画出它们的波形。题 2-7 图解解 由图(a)有RitutiL)(ddS即)(1ddStuLiLRti当 uS( t ) = (

10、 t )，那么冲激响应)(e1)()(tLtithtLR那么电压冲激响应)(e)(dd)()(LtLRttiLtuthtLR对于图(b)RC 电路，有方程RuituCCSCdd即SCC11iCuRCu当 iS = ( t )时，那么)(e1)()(CtCtuthRCt同时，电流)(e1)(ddCCtRCttuCiRCt2-82-8 设有一阶系统方程)()()(3)(tftftyty试求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。解解 因方程的特征根 = 3，故有)(e)(31ttxt当 h( t ) = ( t )时，那么冲激响应)(e2)()()()()(31tttttxtht阶跃响应

11、)()e21 (31d)()(30thtstt2-92-9 试求以下卷积。 (a) ( t + 3 ) * ( t 5 )(b) ( t ) * 2(c) tet( t ) * ( t )解解 (a) 按定义( t + 3 ) * ( t 5 ) = d)5()3(t考虑到 t 5 时，( t 5 ) = 0，故( t + 3 ) * ( t 5 ) =2, 2d53ttt也可以利用迟延性质计算该卷积。因为( t ) * ( t ) = t( t )f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 )故对此题，有( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3

12、 5 )( t + 3 5 ) = ( t 2 )( t 2 )两种方法结果一致。(b) 由( t )的特点，故( t ) * 2 = 2 (c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t )2-102-10 对图示信号，求 f1( t ) * f2( t )。题 2-10 图解解 (a)先借用阶跃信号表示 f1( t )和 f2( t )，即f1( t ) = 2( t ) 2( t 1 )f2( t ) = ( t ) ( t 2 )故f1( t ) * f2( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t ) ( t 2 )因为(

13、t ) * ( t ) = = t( t )t0d1故有f1( t ) * f2( t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 )读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图 p2-10(a)所示。(b)根据 ( t )的特点，那么f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 ) = f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 )结果见图 p2-10(b)所示。图 p2-102-112-11 试求以下卷积。 (a) )()()()e1

14、(2tttt(b) )(e dd)(e3ttttt解解 (a)因为，故)()()()(tttt)()e1 ()()()e1 ()()()()e1 (222ttttttttt (b)因为，故)()(ettttttttttttt333e3)()()(e)(e dd)(e2-122-12 设有二阶系统方程)(4)(2)(3)(ttytyty 试求零状态响应解解 因系统的特征方程为2 + 3 + 2 =0解得特征根1 = 1， 2 = 2故特征函数)()ee (ee)(2221ttxtttt零状态响应)()ee ()(4)()(4)(22tttxttytt = )()4ee8(2ttt2-132-13

15、 如图系统，)()(),1()(21tthtth试求系统的冲激响应 h( t )。题 2-13 图解解 由图关系，有) 1()() 1()()()()()()(1tttttthtftftx所以冲激响应) 1()()()1()()()()()(2tttttthtxtyth即该系统输出一个方波。2-142-14 如图系统，R1 = R2 =1，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应 uC( t )。题 2-14 图解解 由 KCL 和 KVL，可得电路方程为)()(1)1()1(121C12C21CtLRRtRuLRRLuLCRRuC 代入数据得)()(22CCCttuuu 特征根1,2 = 1

16、 j1故冲激响应 uC( t )为)()(*)ee ()(11Ctttutt )(sine)()sin(cosetttttttV)(cosettt2-152-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y1( t ) = 3e3t( t )；当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y2( t ) = e3t( t )，试求该系统的冲激响应 h( t )。解解 因为零状态响应( t ) s( t )，( t ) s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e3t( t )y2( t ) = yzi( t ) s

17、( t ) = e3t( t )从而有y1( t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e3t( t )即s( t ) = e3t( t )故冲激响应h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e3t( t )2-162-16 假设系统的零状态响应y( t ) = f( t ) * h( t )试证明：(1) thttfthtfd)(d)(d)()(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应thtsd)()(证证 1因为y( t ) = f( t ) h( t ) 由微分性质，有y ( t ) = f ( t ) h( t ) 再由积分性质，有thtftyd)()()(2因为s( t

18、 ) = ( t ) h( t ) 由1的结果，得thttsd)()()( thtd)()(thd)(第第 3 3 章习题解析章习题解析3-13-1 求题 3-1 图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题 3-1 图解解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为tTAtf)(系数2d1d)(1000AtTAtTttfTaTTTTttntTAttntfTa01201ndcos2dcos)(2 0sin20112TntntTATTttntTAttntfTAb01201ndsin2dsin)(2 cos20112nAntntTAT所以三角级数为11sin2)(ntnnAAtf3-23

19、-2 求周期冲激序列信号nnTtt)()(T的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？解解 冲激串信号的复系数为所以ntnTt1jTe1)(因 Fn为常数，故无收敛性。3-33-3 设有周期方波信号 f( t )，其脉冲宽度 = 1ms，问该信号的频带宽度带宽为多少？假设压缩为 0.2ms，其带宽又为多少？解解 对方波信号，其带宽为Hz，1f当1 = 1ms 时，那么Hz1000001. 01111f当2 = 0.2ms 时，那么Hz50000002. 01122f3-43-4 求题 3-4 图示信号的傅里叶变换。题 3-4 图解解 (a)因为tt,t, 0f( t ) = TttTFT

20、Ttn1de )(122jn1为奇函数，故tttFdsin2 j)(0cossin2j2)(Sacos2j或用微分定理求解亦可。(b) f( t )为奇函数，故ttFdsin) 1(2 j)(0 )2(sin4j 1cosj22假设用微分-积分定理求解，可先求出 f ( t )，即f ( t ) = ( t + ) + ( t ) 2( t )所以2cos22ee)j ()(jj1Ftf又因为 F1( 0 ) = 0，故) 1(cosj2)(j1)(1FF3-53-5 试求以下信号的频谱函数。(1) ttf2e)(2) )(sine)(0tttfat解解 (1) 0j20j2jdeedeede

21、 )()(ttttfFttttt 244j21j21(2) 0jjjjd)ee(e2j1ede )()(00tttfFtttatt0)j(j)j(jdeeee2j100ttattat00j)j(1j)j(12j122022000)j()j(j22j13-63-6 对于如题 3-6 图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为)2(Sa)(2AF题 3-6 图证证 因为ttA),1 ( 0，| t | 那么0dcos)1 (2)(tttAF )cos1 (22A)2(sin422A)2(Sa2A3-73-7 试求信号 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。解解 因为1

22、2() 2cost 2( 1) + ( + 1) 3cos3t 3( 3) + ( + 3) 故有F( ) = 2() + ( 1) + ( + 1) + 3( 3) + ( + 3) 3-83-8 试利用傅里叶变换的性质，求题 3-8 图所示信号 f2( t )的频谱函数。f( t ) =题 3-8 图解解 由于 f1( t )的 A = 2， = 2，故其变换)(Sa4)2(Sa)(221 AF根据尺度特性，有)2(Sa8)2(2)2(211Ftf再由调制定理得)(cos)2()(212Fttftf)22(Sa8)22(Sa821)(222F)22(Sa4)22(Sa4222222)()2

23、(sin)()2(sin3-93-9 试利用卷积定理求以下信号的频谱函数。 (1) f( t ) = Acos(0t) ( t ) (2) f( t ) = Asin(0t)( t ) 解解 1因为)()()cos(000 AtAj1)()(t所以由时域卷积定理j1)()()()(00 AF)()(j00A2因为)()(j)sin(000 AtAj1)()(t由频域卷积定理j1)()()(j21)(00AF202000)()(2jAA3-103-10 设有信号f1( t ) = cos4tt, 1t, 0试求 f1( t ) f2( t )的频谱函数。解解 设 f1( t ) F1()，由调制

24、定理)()4()4(214cos)(111FFFttf而)(Sa2)2(Sa)(1F故)4(Sa)4(Sa)(F3-113-11 设有如下信号 f( t )，分别求其频谱函数。(1) )(e)()4j3(ttft(2) )2()()(tttf解解 (1) 因 j1e t故)4j(31j)4 j3(1e)4j3(tf2( t ) =(2) 因 2),1()()2()(ttGtt故jje )(Sa2e )2(Sa)(F3-123-12 设信号40, 2 t其他, 0试求 f2( t ) = f1( t )cos50t 的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解解 因j2j2e )2(Sa8e )2(Sa

25、2)(F故)50()50(21)(112FFF)50j2()50j2(e)50(Sa24e)50(Sa24幅度频谱见图 p3-12。图 p3-12f1( t ) =5050| F2( ) |第第 4 4 章习题解析章习题解析4-14-1 如题 4-1 图示 RC 系统，输入为方波 u1( t )，试用卷积定理求响应 u2( t )。题 4-1 图解解 因为 RC 电路的频率响应为1j1)j (H而响应u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷积定理，得U2( ) = U1( ) * H( j )而，故)e1 (j1)(j1U)e1 (j11j1)(j2U反变换得) 1(e1 )

26、()e1 ()()1(2tttutt4-24-2 一滤波器的频率特性如题图 4-2 所示，当输入为所示的 f( t )信号时，求相应的输出 y( t )。题 4-2 图解解 因为输入 f( t )为周期冲激信号，故22, 111nTTF所以 f( t )的频谱nnnnFF)2(2)(2)(1n当 n = 0，1，2 时，对应 H( j )才有输出，故Y( ) = F( ) H( j )= 22() + ( 2) + ( + 2)反变换得y( t ) = 2( 1 + cos2t )4-34-3 设系统的频率特性为2j2)j (H试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解解 冲激响应，故)(e2)

27、j ()(21tHthtF而阶跃响应频域函数应为2j2j1)()j ()()(HtSF2j2j1)(2j1j1)(所以阶跃响应)()e1 ()(2ttst4-44-4 如题图 4-4 所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性 H( j )。题 4-4 图解解 由图可知输出ttttftfty00d)()()(取上式的傅氏变换，得)e1 (j)()(0j tFY故频率特性)e1 (j1)()()j (0j tFYH4-54-5 设信号 f( t )为包含 0 m分量的频带有限信号，试确定 f( 3t )的奈奎斯特采样频率。解解 由尺度特性，有)3(31)3(Ftf即 f( 3t )的带宽

28、比 f( t )增加了 3 倍，即 = 3m。从而最低的抽样频率s = 6m 。故采样周期和采样频率分别为mS61fT mS6 ff 4-64-6 假设电视信号占有的频带为 0 6MHz，电视台每秒发送 25 幅图像，每幅图像又分为 625 条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？解解 设采样点数为 x，那么最低采样频率应为xf625252m所以7686252510626252526mfx4-74-7 设 f( t )为调制信号，其频谱 F( )如题图 4-7 所示，cos0t 为高频载波，那么播送发射的调幅信号 x( t )可表示为x( t ) = A 1 + m f( t ) co

29、s0t式中，m 为调制系数。试求 x( t )的频谱，并大致画出其图形。题 4-7 图解解 因为调幅信号x( t ) = Acos0t + mA f( t )cos0t故其变换)()(2)()()(0000FFmAAX式中，F( )为 f( t )的频谱。x( t )的频谱图如图 p4-7 所示。图 p4-74-84-8 题 4-8 图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。输入 f(t)的频谱和频率特性 H1( j )、H2( j )如下图，试画出 x(t)和 y(t)的频谱图。题 4-8 图题 4-8 图X( )F( )F( )解解 由调制定理知)()(21)(cos)()

30、(CC1C1FFFttftf而 x(t)的频谱)()()(11jHFX又因为)()(21)(cos)()(CC2C2XXFttxtf所以)()()(22jHFY它们的频谱变化分别如图 p4-8 所示，设C 2。图 p4-84-94-9 如题 4-9 图所示系统，设输入信号 f(t)的频谱 F( )和系统特性 H1( j )、H2( j )均给定，试画出 y(t)的频谱。F1( )F2( )X( )Y( )题 4-9 图解解 设，故由调制定理，得ttftf50cos)()(1)50()50(21)(1FFF从而)()()()(1122FHFtf它仅在| | = ( 30 50 )内有值。再设tt

31、ftf30cos)()(23那么有)30()30(21)(223FFF即 F3( )是 F2( )的再频移。进而得响应的频谱为)()()(23jHFY其结果仅截取 20 a0a3故系统稳定。6-106-10 如题 6-10 图示反应系统，为使其稳定，试确定 K 值。题 6-10 图解解 该系统的 H( s )为KsssKssssKssssKssH3321) 1(121) 1()(23从必要条件考虑，应当 K 0，再由a1a2 a0a3考虑，应满足 K 9，故当0 K 9时系统稳定。也可以从劳斯阵列判定。因为阵列：0039331KKK为使第一列元素不变号，即应0, 039KK即0 K 9时系统稳

32、定。第第 7 7 章习题解析章习题解析7-17-1 试画出以下离散信号的图形。 (a) )()21()(1nnfn(b) )2()(2nnf(c) )2()(3nnf(d) )()5 . 01 (2)(4nnfn解解 各信号的图形分别如图 p7-1 所示。图 p7-17-27-2 试画出以下序列的图形。 (a) )6()2()(1nnnf(b) )()2()(2nnnf(c) )5()()()(3nnnnnf(d) )4()3(2)2(2) 1()()(4nnnnnnf解解 各序列的图形分别如图 p7-2 所示。图 p7-27-37-3 设有差分方程)()2(2) 1(3)(nfnynyny起

33、始状态。试求系统的零输入响应。45)2(,21) 1(yy解解 系统的特征方程为2 + 3 + 2 = 0其特征根为1 = 1， 2 = 2那么零输入响应的形式为nnKKny2211zi)(nnKK)2() 1(21由起始状态 y(1)和 y(2)导出起始值 y(0)和 y(1)n = 0 时，y(0) = 3y(1) 2y(2) = 1.5 2.5 = 1n = 1 时，y(1) = 3y(0) 2y(1) = 3 + 1 = 4从而有1)0(21ziKKy42) 1 (21ziKKy解得K1 = 2， K2 = 3故0,)2(3) 1(2)(zinnynn7-47-4 设有离散系统的差分方

34、程为) 1()(4)2(3) 1(4)(nfnfnynyny试画出其时域模拟图。解解 原方程可以写为) 1()(4)2(3) 1(4)(nfnfnynyny从而可得时域模拟图 p7-4，图中 D 为单位延时位移器。图 p7-47-57-5 如下图为工程上常用的数字处理系统，是列出其差分方程。题 7-5 图解解 由图可得差分方程DDDDDD)3()2() 1()()(3210nfbnfbnfbnfbny7-67-6 设有序列 f1( n )和 f2( n )，如图 7-6 所示，试用二种方法求二者的卷积。题 7-6 图解解 方法一：用“乘法2 1.5 1 1 1.5 2 1 1 1 12 1.5

35、 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 22 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2即有2, 5 . 3, 5 . 4, 5 . 5, 5, 5 . 5, 5 . 4, 5 . 3,2)()(021nnfnf方法二：用单位序列表示各函数后卷积。因为)5(2)4(5 . 1)3()2() 1(5 . 1)(2)(1nnnnnnnf)3()2() 1()()(2nnnnnf那么)8(2)7(5 . 3)6(5 . 4)5(5 . 5)4(5)3(5 . 5)2(5 . 4) 1(5 . 3)(2)()(21nnnn

36、nnnnnnfnf7-77-7 设有一阶系统为)() 1(8 . 0)(nfnyny试求单位响应 h( n )和阶跃响应 s( n )，并画出 s( n )的图形。解解 由方程知特征根 = 0.8，故)(8 . 0)()(nnnhnn阶跃响应为)()8 . 01 (58 . 018 . 01)()()(11nnnhnsnns( n )的图形如图 p7-7 所示。图 p7-77-87-8 设离散系统的单位响应，输入信号，试求零状态响应 y( n )。)()31()(nnhnnnf2)(解解 由给定的 f( n )和 h( n )，得0)()()()()(kkhknfnhnfnykknkkkn)6

37、1(2)31(200因为1,1110aaaankn故得)()31(51)(256)(nnnynn7-97-9 试证明21111121)()(nnnnnn证明证明nkkknknkknnnnn021120121)()()(1)(1)(1211210121nnnkkn2112111211112111nnnnnn7-107-10 系统的单位响应，) 10()()(ananhn输入信号，求系统的零状态响应。)6()()(nnnf解解 )()6()()()()(nannnhnfnyn因为)(11)()(10naaanannnkkn利用时延性质，那么)6(11)()6(61naanannn所以得)6(11)

38、(11)(51naanaanynn第第 8 8 章习题解析章习题解析8-18-1 求以下离散信号的 Z 变换，并注明收敛域。(a) ( n 2 )(b) a-n( n )(c) 0.5n1( n 1 )(d) ( 0.5n + 0.25n )( n )解解 (a) zzzF0,)(2(b) 00)()(nnnnnazzazFazazzaz11)(111，(c) 111)21(25 . 0)(nnnnnzzzF21211zz，(d) 0025. 05 . 0)(nnnnnnzzzF5 . 025. 05 . 0zzzzz，8-28-2 求以下 F( z )的反变换 f( n )。(a) 2118

39、14315 . 01)(zzzzF(b) 221)(11zzzF(c) )2)(1(2)(zzzzF(d) )4 . 0)(2 . 0(3)(2zzzzzF(e) 2) 1)(2()(zzzzF解解 (a) 因为)41)(21(5 . 0)(2zzzzzF故4121)41)(21(5 . 0)(21zKzKzzzzzF解得K1 = 4，K2 = 3进而413214)(zzzzzF所以)()41(3)21(4)(nnfnn(b) )21(22)21(221221212)(zzzzzzzzzF所以) 1()21()()21(21)(1nnnfnn(c) 由于)2)(1(2)(zzzzF故21)2)

40、(1(2)(21zKzKzzzzF解得K1 = 2，K2 =2进而2212)(zzzzzF所以)() 12(2)()2(2)(2)(nnnnfnn(d) 由于)4 . 0)(2 . 0(3)(2zzzzzF故4 . 02 . 0)4 . 0)(2 . 0(13)(21zKzKzzzzzF解得31,3821KK故有4 . 0312 . 038)(zzzzzF所以)()4 . 0(31)2 . 0(38)(nnfnn(e) 由于2) 1)(2()(zzzzF故1) 1(2) 1)(2(1)(1221112zKzKzKzzzzF解得K1 = 1， K11 = 1， K12 = 1从而有1) 1(2)

41、(2zzzzzzzF故得)() 12()(nnnfn8-38-3 试用 z 变换的性质求以下序列的 z 变换。(a) )3()3()(nnnf(b) )()()(Nnnnf解解 (a) 由时延性质，有2232) 1(1) 1()(zzzzzzF (b) )1 (111)(NNzzzzzzzzzF8-48-4 试证明初值定理)(lim)0(zFfz证明证明 因为210)2() 1 ()0()()(zfzffznfzFnn当 z时，那么上式右边除 f(0)外均为零，故)(lim)0(zFfz8-58-5 试用卷和定理证明以下关系：(a) )()()(mnfmnnf(b) )() 1()()(nnn

42、n证明证明 (a) 因由卷和定理mzzFmnnf)()()(而)()(zFzmnfm故得)()()(mnfmnnf (b) 因为22) 1(11)()(zzzzzznn而222) 1(1) 1()()()() 1(zzzzzznnnnn所以)() 1()()(nnnn8-68-6 ，试求的 Z 变换。)() 1()()(nnnn)(nn解解 因由卷和定理22) 1()()(zznn而)()() 1()(nnnnn所以222) 1(1) 1()(zzzzzznn8-78-7 因果序列的 Z 变换为 F( z )，试分别求以下原序列的初值 f( 0 )。(1) )5 . 01)(5 . 01 (1

43、)(11zzzF(2)2115 . 05 . 11)(zzzzF解解 (1) 25. 025. 011)(222zzzzF所以1)(lim)0(zFfz(2) 5 . 05 . 1)(2zzzzF所以0)(lim)0(zFfz8-88-8 系统的差分方程、输入和初始状态如下，试用 Z 变换法求系统的完全响应。) 1(21)() 1(21)(nfnfnyny。1) 1(),()(ynnf解解 对方程取 Z 变换，有)(5 . 0)(5 . 0)(5 . 0)(11zFzzFzYzzY即5 . 01)5 . 01 ()()5 . 01 (11zzzzYz故5 . 05 . 01)(zzzzzY所以

44、nnny)5 . 0(5 . 0)()(8-98-9 设系统差分方程为)()2(6) 1(5)(nfnynyny起始状态 y( 1 ) = 3，y( 2 ) = 2，当 f( n ) = z( n )时，求系统的响应 y( n )。解解 对差分方程取 z 变换，得)()2() 1()( 6)1()( 5)(121zFyyzzYzyzYzzY即121218)(615)(5)(121zzzzYzzYzzY从而有21165131812)(zzzzzzY)3)(2)(1(1821523zzzzzz故321)(321zKzKzKzzY解得K1 = 1， K2 = 4， K3 = 0那么有241)(zzz

45、zzY得全响应)()2(4)()(nnnyn8-108-10 设一系统的输入，系统函数)2(2) 1(4)()(nnnnf)5 . 01)(1 (1)(11zzzH试求系统的零状态响应。解解 因为) 1)(5 . 0(5 . 05 . 1)(222zzzzzzzH所以15 . 0) 1)(5 . 0()(21zKzKzzzzzH解得K1 = 1， K2 = 2故125 . 0)(zzzzzH得)(2)5 . 0()(nnhn所以)()()(nfnhny )2(2) 1(4)()(2)5 . 0(nnnnn)()5 . 0()(2)(4nnnn8-118-11 设有系统方程) 1(2)()2(8

46、 . 0) 1(2 . 0)(nfnfnynyny试画出其 Z 域的模拟框图。解解 在零状态下对方程取 z 变换，得)(2)()(8 . 0)(2 . 0)(121zFzzFzYzzYzzY即)()21 ()()8 . 02 . 01 (121zFzzYzz故有2118 . 02 . 0121)()()(zzzzFzYzH由此可以画出模拟图如图 p8-11 所示。图 p8-118-128-12 如题 8-12 图所示 z 域框图，试写出其差分方程。题 8-12 图解解 由图可得)(1)(11zFazzbzY故有)()()()1 (11zFzbzYaz所以) 1()() 1()(nfnbfnayny8-138-13 如题 8-13 图所示 z 域框图，是写出其差分方程。题 8-13 图解解 由图可得)(11)(1zFazzX)()1 ()(1zXbzzY故有)(11)(11zFazbzzY即)()1 ()()1 (11zFbzzYaz从而有差分方程) 1()() 1()(nbfnfnayny8-148-14 对于题 8-12 和 8-13，试分别写出系统函数 H( z )。解解