第五讲联合平稳随机过程和复随机过程

1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组1.4 联合平稳随机过程联合平稳随机过程引入：引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究， 但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随 机过程的统计特性。机过程的统计特性。 如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程 所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信 号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究 两个过程的

2、两个过程的联合统计特性。联合统计特性。 主要研究：主要研究：联合分布函数联合分布函数(概率密度函数概率密度函数)和互相关函数。和互相关函数。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2一一 两个随机过程的联合概率分布两个随机过程的联合概率分布 设有两个随机过程设有两个随机过程 和和 ,它们的概率密度它们的概率密度分别为分别为定义这两个过程的定义这两个过程的(n+m)维维联合分布函数联合分布函数： )(tX)(tY1212( ,; , )Xnnfx xx t tt1212,(,; , ,)Ymmfy yyt tt 1111(,;,; , ; ,)XYnmnmFxxyytt tt1111( ),.,(

3、); ( ),., ()nnmmP X txX tx Y tyY ty随机信号分析随机信号分析教学教学组组31 1）若两个过程的）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的维联合概率分布给定，则它们的 全部统计特性也确定了。全部统计特性也确定了。注注2 2）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。定义两个过程的定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为：维联合概率密度为：1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmfxxyytt tt111111( ,;,; , ; ,)n mXYnmnmnmFxxyytt ttxxyy 随机信号分析随机信

4、号分析教学教学组组4设有两个随机过程设有两个随机过程 和和 ,它们的概率密度它们的概率密度分别为分别为 两个过程的是两个过程的是相互独立相互独立的，联合概率密度函数的，联合概率密度函数满足满足: )(tX)(tY12121212( ,; ,),(,; , ,)XnnYmmfx xx t ttfy yyt tt 11111111(,;,; , ; ,)(,; ,)(,; ,)XYnmnmXnnYmmFxxyytt ttFxx ttFyytt随机信号分析随机信号分析教学教学组组5二二 两个随机过程的数字特征（互相关函数）两个随机过程的数字特征（互相关函数） 已知两个随机过程已知两个随机过程 和和

5、的的m+n维联合维联合分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各自的数字特征。自的数字特征。 为了描述两个随机过程之间的相互联系，需为了描述两个随机过程之间的相互联系，需要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特征是两个过程的互相关函数。征是两个过程的互相关函数。)(tX)(tY随机信号分析随机信号分析教学教学组组6 设两个随机过程设两个随机过程 和和 ，它们在任意两个，它们在任意两个时刻时刻t1，t2的取值为随机变量的取值为随

6、机变量 和和 则定义它则定义它们的们的互相关函数互相关函数为：为：)(tX)(tY)(1tX)(2tY121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 式中式中1212( ,)( , ; ,)XYft tx y t t是随机过程是随机过程 和和的二维联合概率密度。的二维联合概率密度。)(tX)(tY1 定义定义随机信号分析随机信号分析教学教学组组7 随机过程随机过程 和和 的中心化互相关函数的中心化互相关函数（互协方差函数互协方差函数）定义为：）定义为：)(tX)(tY121122( , )( )( ) ( )( )XYXY

7、Kt tE X tmtY tm t1212( )( )( , ; , )XYXYxmtym tfx y t t dxdy 式中，式中， 和和 分别是随机变量分别是随机变量 和和)(1tX)(2tY)(1tmX)(2tmX的数学期望。的数学期望。此式也可以写成此式也可以写成121212( , )( , )( )( )XYXYXYKt tRt tmt m t随机信号分析随机信号分析教学教学组组82 两个随机过程的平稳性（两个随机过程的平稳性（严平稳严平稳和和宽平稳宽平稳） 若两个随机过程若两个随机过程 和和 的联合概率分布的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关不随时间平移而变化，即与

8、时间的起点无关, 则则称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。)(tX)(tY1111( ,)XYnnmmFxx tctc yytctc1111( ,; , ;,; ,)XYnnmmFxx ttyytt联合严平稳联合严平稳（联合严平稳相依）（联合严平稳相依）随机信号分析随机信号分析教学教学组组9两个随机过程两个随机过程 和和 ，如果满足：，如果满足：)(tX)(tY（1） 和和 分别宽平稳随机过程；分别宽平稳随机过程；（2）互相关函数仅为时间差互相关函数仅为时间差 的函数，与的函数，与 时间时间t无关，即无关，即)(tX)(tY 则称则称 和和 为联合宽平稳

9、或宽平稳相依。为联合宽平稳或宽平稳相依。)(tX)(tY)(),(21XYXYRttR12tt 联合宽平稳联合宽平稳（联合宽平稳相依）（联合宽平稳相依）随机信号分析随机信号分析教学教学组组10联合宽平稳随机过程互相关函数的性质联合宽平稳随机过程互相关函数的性质 (1)( )()XYYXRR( )()XYYXKK证明：证明： 说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。 互相关函数的影像关系互相关函数的影像关系( )( ) () ( )()( )XYYXRE X t Y tE Y u X uR随机信号分析随机信号分析教学教学组组11(2)2222( )(0

10、)(0),( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRKKK 证明：证明： 则方程的系数应该满足则方程的系数应该满足042 ACB0)0()0(4)(2(2 YXXYRRR ,则有则有由于由于 0)()(2tXtYE， 为任意实数为任意实数 展开得：展开得： 0)0()(2)0(2YXYXRRR 这是关于这是关于 的二阶方程。注意，的二阶方程。注意， 要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，0)0( XR所以，所以， )0()0()(2YXXYRRR222)0()0()(YXYXXYKKK同理，同理，随机信号分析随机信号分析教学教学组组12(3)0()0(2

11、1)(YXXYRRR2221)0()0(21)(YXYXXYKKK证明：证明：由性质由性质(2)，得，得 )0()0()(2YXXYRRR注意到注意到 0)0(XR0)0(YR因此因此)0()0(21)0()0()(YXYXXYRRRRR（任何正数的几何平均小于算术平均）（任何正数的几何平均小于算术平均）随机信号分析随机信号分析教学教学组组13（4 4）互相关系数）互相关系数当两个随机过程联合平稳时，它们的当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为：互协方差为：)()(),(1221XYXYXYKttKttK 互相关系数为：互相关系数为： ( )( )( )(0)(0)XYXYXYXYXyXY

12、KRm mrKK 又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。注：注：显然显然 。 当当 时，平稳过程时，平稳过程 和和 互不相关。互不相关。( )1XYr( )0XYr( )X t( )Y t随机信号分析随机信号分析教学教学组组143 随机过程的联合遍历性（随机过程的联合遍历性（宽遍历宽遍历）两个随机过程两个随机过程 和和 是联合宽平稳是联合宽平稳 (前提前提)(tX)(tY定义定义时间互相关函数时间互相关函数为：为：若若 依概率依概率1收敛于互相关函数收敛于互相关函数)(XYR)(XY则称则称 和和 具有联合宽遍历性。具有联合宽遍历性。 )(tX)(

13、tY即即)()()()()()(XYXYRtYtXEtYtXtTTTXYdttYtXTtYtXt)()(21lim)()()(随机信号分析随机信号分析教学教学组组154 两个随机过程独立、正交和不相关两个随机过程独立、正交和不相关 正交正交若两个随机过程若两个随机过程 和和 对对任意任意两个时刻两个时刻)(tX)(tYt1, t2都具有都具有 或或 0),(21ttRXY)()(),(2121tmtmttKXXXY)(tX)(tY则称则称 和和 互为正交过程。互为正交过程。不相关不相关若两个随机过程若两个随机过程 和和 对对任意任意两个时刻两个时刻)(tX)(tYt1, t2都具有都具有 或或

14、 0),(21ttKXY)()(),(2121tmtmttRXXXY)(tX)(tY则称则称 和和 不相关。不相关。随机信号分析随机信号分析教学教学组组161) 如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶 矩都存在，则必互不相关。矩都存在，则必互不相关。2) 正态过程的不相关与相互独立等价。正态过程的不相关与相互独立等价。推论推论 随机信号分析随机信号分析教学教学组组17 ( ,)( ) ()cos()sin()111sin(22 )sin sinsin(22 )2221sin( )2XYXYRt tE X t Y tEttEtEtR 故两个随机过程是平稳相依

15、的。故两个随机过程是平稳相依的。设两个平稳随机过程设两个平稳随机过程 ( )cos(),( )sin()X ttY tt试问试问: :X(t)和和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、是否平稳相依？是否正交、不相关、 统计独立？统计独立？例例平稳随机过程平稳随机过程X(t)和和Y(t)的互相关函数为：的互相关函数为：解解由于由于 ，它仅在，它仅在 时等于零，这时时等于零，这时X(t)和和Y(t)的取值（随机变量）才是的取值（随机变量）才是正交的。对于其它正交的。对于其它 值是不相交的。值是不相交的。1( ,)sin2XYRt t(0, 1, 2,.)nn 随机信号分析随机信号分析教学教学组组

16、18( ,)( ,)( )()XYXYXYKt tRt tmt m t( )( )cos()0() ()sin()0XYmtE X tEtm tE Y tEtX(t)和和Y(t)的均值分别为：的均值分别为：X(t)和和Y(t)的互协方差函数为：的互协方差函数为：由于由于 仅在仅在 时等于零，此时时等于零，此时X(t)和和Y(t)的状态（随机变量）才是不相关的；而在的状态（随机变量）才是不相关的；而在 时，时， ，故从整体来看，随机过程，故从整体来看，随机过程X(t)和和Y(t)是相关的，因而，它们是统计不独立的。是相关的，因而，它们是统计不独立的。( )XYK(0, 1, 2,.)nn n(

17、)0XYK1( ,)( )sin2XYXYRt tR随机信号分析随机信号分析教学教学组组19三三 复随机过程复随机过程 前面讨论的随机过程都是实随机过程，把前面讨论的随机过程都是实随机过程，把随机过程表示成时间的实值函数。随机过程表示成时间的实值函数。 但在某些情况下，处理窄带随机过程时，但在某些情况下，处理窄带随机过程时，需要表示成复随机过程形式则更为便利。需要表示成复随机过程形式则更为便利。 复随机复随机变量变量和复随机和复随机过程过程。随机信号分析随机信号分析教学教学组组201 定义定义 2 分布函数分布函数 ),(,)(yxFyYxXPzFXYZ即由即由X，Y的联合概率分布描述。的联合

18、概率分布描述。 复随机变量复随机变量Z定义为定义为Z=X+jY，式中，式中X和和Y为实随机变量。为实随机变量。复随机变量复随机变量随机信号分析随机信号分析教学教学组组213 数字特征数字特征(1) 数学期望数学期望 ZXYmE ZE XjYE XjE Ymjm(2) 方差方差 000()()()()ZXYXYZmXjYmjmXmYmjZYjX00000002*2222 | ZXYDD ZE ZE Z ZE XYE XE YDD其中其中注注：)复随机变量的方差等于它的实部与虚部的方复随机变量的方差等于它的实部与虚部的方 差之和。差之和。 )复随机变量的方差为非负的实数。复随机变量的方差为非负的实

19、数。随机信号分析随机信号分析教学教学组组22(3) 相关矩相关矩设设Z1、Z2为为两个复随机变量，则两个复随机变量，则1212Z ZRE Z Z(4) 互协方差互协方差 1212*00*1212() ()Z ZZZKE Z ZEZmZm表示复共轭，即表示复共轭，即000ZXjY111222,ZXjYZXjY随机信号分析随机信号分析教学教学组组231 12 21 12 211221122( ,)(,)(,)X Y X YX YX Yfx y xyfx yfxy4 两个复随机变量的独立、不相关、正交两个复随机变量的独立、不相关、正交 (1) 统计独立统计独立(2) 不相关不相关(3) 正交正交12

20、12*12() ()0Z ZZZKE ZmZm12*120Z ZRE Z Z或或12*1212 Z ZRE Z ZE ZE Z随机信号分析随机信号分析教学教学组组241 定义定义设设 ， 为实随机过程，则定义为实随机过程，则定义)(tX)(tY为复随机过程。为复随机过程。2 概率密度函数概率密度函数 1111( ,; , , ,., )XYnnnnfxxyy tt tt Z(t)的统计特性可由的统计特性可由X(t)和和Y(t)的的2n维联合维联合概率分布完整地描述，其概率密度为：概率分布完整地描述，其概率密度为： 复随机过程复随机过程( )( )( )Z tX tjY t随机信号分析随机信号分

21、析教学教学组组253 数字特征数字特征 (1) 数学期望数学期望( ) ( )( )( )( )( )ZXYm tE Z tE X tjY tmtjm t(2) 方差方差(3) 自相关函数自相关函数( ,)( ) ()( ,)( ,)( ,)( ,)ZXYYXXYRt tE Zt Z tRt tR t tjRt tjRt t2( )( )( ) ( ( )( ) ( ( )( )ZZZZDtE Z tmtE Z tmtZ tmt)()(tDtDYX随机信号分析随机信号分析教学教学组组26(4) 自协方差函数自协方差函数*00*( ,)( )()( ( )( ) ( ()()( ,)( )()Z

22、ZZZZZKt tE Z t Z tEZ tm tZ tm tR t tm t m t当当 时，时，Z(t)的自协方差函数等于的自协方差函数等于Z(t)的方差的方差0( , ) ( )ZKt tD Z t随机信号分析随机信号分析教学教学组组27 复随机过程复随机过程Z(t)是是宽平稳随机过程宽平稳随机过程，满足，满足以下条件：以下条件：22(1)( )(2)( ,)( )(3)E Z(t) ZZXYZZZmtmmjmRt tR 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2812121 2121 2*12( ,)( )()( ,)( ,)( ,)( ,)Z ZX XYYY XYYRt tE Z t Z tRt tRt tjRt tjRt t (1) 互互相关函数相关函数(2) 互互协方差函数协方差函数121212120012*12( ,)( )()( )( ) ()()( ,)( )()Z ZZZZ ZZZKt tE Zt ZtE Z tmtZ tmtRt tmt mt 定义定义 为两个复随机过程为两个复随机过程12( ),( )Z tZ t随机信号分析随机信号分析教学教学组组29若若 ，则，