第五章(典型环节的频率特性)

1、第五章第五章 线性系统的频域分析线性系统的频域分析5.1 频率特性的概念5.2典型环节的频率特性5.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性5.3系统的开环频率特性5.5 利用开环频率特性分析系统性能5.6 利用闭环频率特性分析系统性能本章重点 开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)； 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 开环频率特性指标； 闭环频率特性指标。本章难点 开环频率特性的绘制； 乃奎斯特判据的原理及其应用； 剪切频率及相角、幅值裕度的求取； 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算； 典型二型系统频、时域指标的定性关系。时域方法准确、直

2、观。但用解析法求解系统的时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。特性。是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。5.1频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设

3、系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。AB相角问题相角问题 稳态输出稳态输出迟后于迟后于输入的输入的角度为：角度为：该角度与该角度与有有BA360o=AB该角度与初始该角度与初始关系关系 为为(),角度无关角度无关 , 在在正弦输入信号正弦输入信号的作

4、用下，系统输出的的作用下，系统输出的稳态分量稳态分量与输入量与输入量复数之比称为复数之比称为频率响应频率响应。 人们发现频率特性虽然是一种稳态特性，但它既反映系统的稳态性能，还可以研究系统的暂态性能。问题：为什么人们如此重视频率特性的分析呢？)()()(1sRsGLtc输出（稳定后）输出（稳定后）c(t)=Cm Sin（ t+ ）系统系统 输入输入r(t)=X Sinr(t)=X Sin t t 本章涉及数学基础：傅里叶变换本章涉及数学基础：傅里叶变换111111)()(12sRCsCsRCssUsU例：如图所示电气网络的传递函数为例：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：若输入为正弦

5、信号：tUumsin11其拉氏变换为：其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm一、频率特性的定义一、频率特性的定义其稳态响应为：其稳态响应为：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为输入为XeXej0 j0，输出为，输出为Ye

6、Yej j，则输出输入之复数比为：，则输出输入之复数比为：)(0)(jjjjeAeXYXeYe)(A幅值频率特性幅值频率特性)(相角频率特性相角频率特性01jmeUjjmejU11111频率特性的定义：频率特性的定义：线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。数比。例题中输入信号的复数表示为：例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jA

7、tanarg11)(j010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅频特性和相频特性数据jjG11)(频率特性频率特性G(j)也可以表示成实部和虚部的复数形式。也可以表示成实部和虚部的复数形式。)()()(jQPjG)(cos)()(AP)(sin)()(AQ22)()()(QPA)()(arctan)(PQ二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系线性定常系统的传递函数表达式为线性定常系统的传递函数表达式为)()()()()()()()(21npsps

8、pssNsDsNsRsCsG输入为输入为r(t)=Msin(t)，22)(sMsR2221)()()()(sMpspspssNsCn若无重极点，上式可写为若无重极点，上式可写为niiipsajsbjsbsC121)(tpniijjieaebebtc121)(若系统稳定，若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：都具有负实部，则稳态分量为：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(1jMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(2G(j)G(j)是一复数，可写为是一复数，可写为)()()(jeAjG)()()(jeAjG)(1)(2jeAjMb)(2

9、)(2jeAjMb jeeMAebebtctjtjtjtjss2)()()()(21)(sin)(tMA得到线性系统的幅频特性和相频特性：得到线性系统的幅频特性和相频特性：)()(jG)()(jGA频率特性和传递函数的关系为频率特性和传递函数的关系为jssGjG)()(系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。)()()(jRjCjGdtetrjRtj)()(dtetcjCtj)()(dejRjGtctj)()(21)(系统的单位脉冲响应为：系统的单位脉冲响应为：其中其中经过傅氏反变换经过傅氏反变换dejGtgtj)(21)(频率特性频率特性三要素：三要素： 频率：频率：

10、不变不变 幅值：幅值： M Cm 关系为：关系为： 幅角：幅角： 0 关系为：关系为：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性频率特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性jSmsGAXC)()(输入输入r(t)=M Sin（ t+ 0）通常令通常令 0=0稳定后输出稳定后输出C(t)=CmSin（ t+ ）jS| ) s (G0)()(X)()A(jGCjGm可见：线性系统总结：总结：频率特性可以分成：频率特性可以分成： sin)(cos)()()()(jAAjGeAj幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性ejAjG)()

11、()()()()(1sRsGLtcj三、频率特性的几种图示方法三、频率特性的几种图示方法1. 1. 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图，又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：系统的频率特性可表示为：)()()(jeAjG对某一固定频率对某一固定频率 1 1)(111)()(jeAjG在极坐标系中画出该向量。在极坐标系中画出该向量。 从从-+-+变换时该向量在极坐标系中形成变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为的曲线，称为NyquistNyquist曲线曲线。实频特性是实频特性是 的偶函数，虚频特性是的偶函数，虚频特性是 的奇函数。为

12、什么？的奇函数。为什么？惯性环节惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -artan0.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o o()A()01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76 -840.450.370.240.052. 2. 对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（Bode图）图） 在半对数坐标纸上绘制，由在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性对数幅频特性和和对数对数相频特性相频特性两条曲线所组成。两条曲线所组成。 频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。半对数坐标：横

13、坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程对数幅频特性：对数幅频特性：指指G(j)G(j)的对数值的对数值20lg|G(j)|和频率和频率 的关系曲线。的关系曲线。对数相频特性：对数相频特性：指指G(j)G(j)的相角值的相角值()和频率和频率 的关系曲线。的关系曲线。即纵坐标即纵坐标)(lg20)(ALL()L()称为对数幅值，单位是称为对数幅值，单位是dB(dB(分贝分贝) )。纵坐标是的单位是纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。采用线性刻度。采用对数坐标图的优点：采用对数坐标图的优点：（1 1）将低频段展开，将高频段压

14、缩。）将低频段展开，将高频段压缩。（2 2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。)()()()(21jGjGjGjGn)(111)()(jeAjG)(222)()(jeAjG)()()(njnneAjG)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n（3 3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。线近似表示。（4 4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。得到对数频

15、率特性或传递函数。3. 3. 对数幅相特性曲线（对数幅相特性曲线（NicholsNichols图图) )由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。参数，作为评估系统性能的依据。一、比例环节一、比例环节比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为：频率特性表达式为： constKjG)(0)()(QconstKP00arctan)()(KconstKA 5.1典型环节的频率特性 L()/dB0dB 0()20lgK比

16、例环节的比例环节的BodeBode图图二、惯性环节二、惯性环节惯性环节的传递函数为：惯性环节的传递函数为：ssG11)(频率特性表达式为：频率特性表达式为：jjG11)(22221)(11)(QParctan)()(arctan)(11)()()(2222PQQPA此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。 22221111PQPPQP22222)21()21(QP0ReG(j)ImG(j)1惯性环节1G(j)惯性环节的惯性环节的bodebode图图 采用近似方法，即用采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。 对数幅频特性为：对数幅频特性为：22221lg

17、2011lg20)(L在低频段在低频段，1/1/，即，即1 1/1/，即，即1 1 ，可略去，可略去 1 1。频率特性可近似为：频率特性可近似为：L()-20lg L()-20lg 的频率增大的频率增大1010倍时倍时L() =L(10L() =L(101 1)-L()-L(1 1)=-20(dB)=-20(dB)高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20db/dec或-20。高频渐近线正好在1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。 低频渐近线高频渐近线 w从从0到到取值，代入计算取值，代入计算,得出对数幅相频特性曲线得出对数幅相频特性曲线-Bode图如图所示图如图所示（通

18、常用折线近似）（通常用折线近似） Bode图当低频段时：当高频段时： 11lg20)A(lg20)L(221dBL0)(1lg20lg20)(L11渐近线的求取：渐近线的求取：定义：时间常数的倒数为转折频率定义：时间常数的倒数为转折频率 惯性环节极坐标图惯性环节极坐标图)(j)j(A)j(Ge11)A(221tg)(G(jG(j ) )幅值随幅值随 增增加而变小，加而变小，幅角从幅角从0-900-90 ，矢量末端轨迹是矢量末端轨迹是个半圆个半圆对照对照BODE图图L( )-90o 处处实部实部1 11 10 0，得得令令 11的近似线的近似线斜率斜率-20dB/dec,-20dB/dec,与零

19、分贝线交于与零分贝线交于 处处101lg20)(L1lg20lg20lg20)(L1惯性环节的对数幅频特性通常用折线近似惯性环节的对数幅频特性通常用折线近似: :11)A(22L( )-90o 1/1-20dB/dec1L()()-90L()110-84.3 -45 101-5.7 绘制绘制惯性环节惯性环节的的Bode图图的方法的方法2、1部分画部分画0dB/dec线线3、延长至、延长至1/ 处斜率转折为处斜率转折为-20dB/dec线线 1、找出、找出 1/ 称称 /转折频率转折频率需要时，对近似特需要时，对近似特性进行校正，通过性进行校正，通过转折频率转折频率/处处33d dB B点画光滑

20、曲线点画光滑曲线 0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 01)(ssG410)(ssG8dbo90 o45 o0 惯性环节L()三、积分环节三、积分环节积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 ：ssG1)(频率特性表达式为：频率特性表达式为： 11)(jjjG21je1)(0)(QP90)(1)(Alg20)(lg20)(AL 1 1时，时，L()L()-20lg1=0dB-20lg1=0dB 1010时，时，L()L()-20lg10=-20dB-20lg10=-20dB-20dB/dec20dB-20dB/decS1) s (G传

21、递函数：j1)j (G频率特性：lg20)L(L1SK) s (G1传递函数：20lgK1)A(90)(1100.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(积分环节L()四、微分环节四、微分环节理想微分环节理想微分环节此微分环节的传递函数为此微分环节的传递函数为 ：ssG)(频率特性表达式为：频率特性表达式为： jjG)(2je)(0)(QP90)()(Alg20)(lg20)(AL 1 1时，时，L()L()20lg1=0dB20lg1=0dB 1010时，时，L()L()20lg10=20dB20lg10=20

22、dB0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20ssG)(ssG2)(ssG1 . 0)(微分环节L() （2 2）一阶微分环节）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为 ：ssG1)(频率特性为：频率特性为： jjG1)()(1)(QParctan)(1)(22A221lg20)(lg20)(AL在低频段在低频段，即，即1 1 1 ，可略去，可略去 1 1。0)(Llg20)(lg20)(AL0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 0)( ssG?)( sG-8dbo90o4

23、5o0 一阶微分L() )A(90)(S) s (G传递函数：j)j (G频率特性：lg20)L(120dB/dec1/()-90L()1-45 -20dB/decL()+45 G(jj j微分环节传递函数与积分微分环节传递函数与积分环节互为倒数，它们的环节互为倒数，它们的BodeBode图以实轴相互对称；图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性而一阶微分环节则与惯性环节对称。环节对称。（3 3）二阶微分环节）二阶微分环节传递函数为传递函数为 ：2221)(sssG频率特性为频率特性为 ：22)()(21)(jjjG2)(1)(22QP1,12arctan1,12arctan)()2()1 (

24、lg20)(22222222L二阶微分二阶微分22222212)(nnnssTssTsGT1n o1800)j (G ,01)0j (Go ,902)j (Gon j01幅相曲线幅相曲线o902 对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n2nr21 2m12lg20L 2lg20)(Ln00.707时有峰值：时有峰值：0db20db40db-20db-40dbL()1ss25. 0) s (G2 o90o0 0.1110100o18040212lg20 2lg20二阶微分L() 五、振荡环节五、振荡环节222222121)(nnnssssG1n211)(22jjG1,12arct

25、an1,12arctan)()2()1 (1)(22222222Ao01)0 j (G o1800)j (G onjGjG9021)()(1得得令令,0d)(dA 2nr21 (00.707)2mr121A)(A 0ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121 rnrAB:onnA90)(21)( 2222)(nnnsssG 振荡环节G(j)12 j1)G(j22幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：对数幅频特性：对数幅频特性：2222)2()1 (1)A(2212arctan)()2()1lg(10)L(222211221)2(20)L(1)lg(10)L(222)lg(40)L(对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段0dB/dec0dB/dec线，过线，过转折频率转折频率 1 1=1/=1/ 后斜率变为后斜率变为-40dB/dec-40dB/d