第七章无限脉冲响应数字滤波器的

1、数字滤波器数字滤波器(IIR DF)(IIR DF)的设计的设计 数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。一组输出的数字序列。 ） 经典滤波器：经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的

2、选频滤波器达到滤波目的）适的选频滤波器达到滤波目的）l 数字滤波器的分类数字滤波器的分类: 现代滤波器现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）从干扰中最佳提取信号）2) 2) 按通频带不同按通频带不同, ,可分为可分为: : 低通滤波器低通滤波器(LP)(LP) 高通滤波器高通滤波器(HP)(HP) 带通滤波器带通滤波器(BP)(BP) 带阻滤波器带阻滤波器(BS)(BS)它们的理想幅频特性如图它们的理想幅频特性如图6.1.1所示所

3、示: )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222图图7.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 数字滤波器是一个离散时间系统，在频域具有周期性，数字滤波器是一个离散时间系统，在频域具有周期性，周期是周期是2 ，其特性又对称于折叠频率，其特性又对称于折叠频率 ，所以我们讨论的频，所以我们讨论的频率范围率范围0 。 3) 3) 按其单位脉冲响应按其单位脉冲响应h(n)的长短，可分为的长短，可分为无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)数字滤波器数字滤波器，简记为，简记为IIR DF。和。和有限脉冲响应有限脉冲响应(F

4、IR)数字滤波器数字滤波器，简记为，简记为FIR DF。它们的系统函数分别为：。它们的系统函数分别为： 00110( )( )1( )( )MrrnrNknkkNnnb zH zh n za zH zh n z l 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法 ） IIR滤波器设计方法滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：借助模拟滤波器设计方法：计算机辅助设计：直接在频域或时域设计计算机辅助设计：直接在频域或时域设计）FIR滤波器设计方法滤波器设计方法窗函数法窗函数法频率采样法频率采样法等波纹逼近法等波纹逼近法需计算机辅助设计需计算机辅助设计）线性相位滤波器设计方法）线性相位滤波器设计方法FIRFIR

5、滤波器：常用（相位特性严格线性，这是滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AFAF无法达到的）无法达到的）IIRIIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正特性进行相位校正)()(zHsHa频率变换其其设计步骤设计步骤是：是：)( )( )|S G ZH ZH SIIR DF的设计方法的设计方法有：间接设计法（有：间接设计法（AF变换方法）、直接变换方法）、直接设计法及采用计算机辅助的优化设计方法。经常用的一类设计法及采用计算机辅助的优化设计方法。经常用的一类设计方法是间接设计法：即借助于模拟滤波器的设计方法设计方法是间接设计法：即借助于模拟

6、滤波器的设计方法进行的。进行的。W Wp,W Ws p, sH(s)H(z)H(s)频率频率 变换变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器复频率复频率变换变换W Wp,W Ws, p s ( )H p如何将如何将转变为转变为?使使DF的的h(n) 近似于近似于AF的的ha(t):使描述使描述DF的差分方程式近似于描述的差分方程式近似于描述AF的微分方程的微分方程 所以，已知所以，已知H（S）通过变换）通过变换 可以得到可以得到DF的系统函数的系统函数H（Z）。）。 ( )( ) |()aatnTh nhthnT1lnsTzeszT或脉冲响应不变法是使：脉冲响应不变法是使：DF的的 即对模拟滤波

7、器的单位脉冲响应即对模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)进行采样进行采样，得到，得到ha(nT)，将，将ha(nT)作为作为DF的的h(n)，由，由h(n)求出求出H（Z），作），作为为DF的系统函数。的系统函数。 映射关系映射关系： 当当00时，时，r1 r00时，时，r1 r1 说明说明S S平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到Z平面的平面的单位圆周外。单位圆周外。()jTTjTTsTjwzeresjzeeerewT WW W W映射关系映射关系令：令： 所以所以多个多个S S值映射为单个值映射为单个Z Z值值。S S平面的平面的jj轴映射为轴映射为Z平平面的单位圆周，所以面的单位圆周，

8、所以T每增加或减少每增加或减少2 ，即，即增加或增加或减少减少2 /T,对应于单位圆周上逆时针旋转一周。对应于单位圆周上逆时针旋转一周。S平面上平面上每一条宽为每一条宽为2 /T的横带部分都将重叠地映射为整个的横带部分都将重叠地映射为整个Z平平面，每一条横带的左、右半平面分别映射为单位园内、面，每一条横带的左、右半平面分别映射为单位园内、外。如图外。如图.1所示：所示： (2)(2):1,MjTsTTj TTjwTMjTjwTzee ee ererz eeMWWW令为任意整数但存在但存在映射多值性问题映射多值性问题:sj W 以上分析说明：以上分析说明：映射的是映射的是H（Z）

9、与）与H（S）周期延拓）周期延拓的关系的关系，而不是，而不是H（Z）与）与H（S）本身的关系。即：）本身的关系。即： 12()()jwnH eHjjnTTW 图图7.2.1 s平面与平面与z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 图图7.2.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象可看出：如果可看出：如果Ha(j) 中有些分量的频率大于中有些分量的频率大于s/2(=/T),则则DF的的H(ejw)中必然产生混叠现象中必然产生混叠现象,设计出的设计出的DF的响应就会的响应就会产生失真，所以要求：产生失真，所以要求：AF的频响的频响Ha(j)的最高频率的最高频率h/T。即：。即：

10、 |()| 0,/aHjTW W 其关系如图其关系如图7.2.2所示：所示： 存在频谱混叠，故不能用存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设脉冲响应不变法设 计计高通、带阻高通、带阻等等滤波器。滤波器。数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 T W总结：总结：用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR DF的步骤的步骤为：为：1、通过通过w=T将给定的将给定的DF的技术要求转化为的技术要求转化为AF的的 技术要求技术要求2 、设计此设计此AF，得到，得到Ha(S) 3 、对、对H(s)进行进行Laplace反变换反变换求得求得ha(t) 4 、令令5、求

11、求H（Z）。）。 ( )( )|()aat nTh nh th nT实际上问题可简化，一般实际上问题可简化，一般Ha(s)的的极点极点si是一个复数，是一个复数，且以共轭成对的形式出现且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个一起，形成一个二阶基本节二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为基本节的形式为: 1112211()sjs WW1111121211cos12cosTTTz eTz eTz eWW则对应的则对应的DF的二阶基本节的形式为的二阶基本节的形式为如果如果Ha(s)的的极点极点si是一个实数是一个实数，则，则A

12、F是是一阶基本节一阶基本节的形式的形式: 则则DF为：为： 1112211,()jsW WW111112121sin1 2cosTTTz eTz eTz eWWASS i1-1SiTAZe如果如果AF的二阶基本节的形式为的二阶基本节的形式为 则对应的则对应的DF的形式：的形式：例例7.2.1 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为 用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统转换成数字滤波器的系统函数函数H(z)。解：解： 20.5012( )0.64490.7079aHsss220.6449 0.7772( )(0.3224)0.7772Ha

13、SS10.322410.322420.64480.6449sin0.7772( )12cos0.7772TTTZeTH ZZeTZe以以T=1s代入，用代入，用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则表示，则111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zHzzzzHzzz 分别画出它们的幅频特性如图分别画出它们的幅频特性如图7.2.3所示。其中图所示。其中图7.2.3(a)表示模拟滤波器的幅频特性。表示模拟滤波器的幅频特性。 图图7.2.3 例例7.2.1的幅度特性的幅度特性 由由 可求得可求得 11211( )

14、|aZSTZH ZHS（ ）112 11zsTz22sTzsT双线性变换法的双线性变换法的基本思想基本思想是：让描述是：让描述DF的差分方程近似的差分方程近似描述描述AF的微分方程的微分方程H（Z）与）与Ha（S）之间存在如下关系：）之间存在如下关系： 当当00时，时，|Z|1 |Z|00时时,|Z|1 ,|Z|1 说明说明S S右半平面映射到右半平面映射到Z平面的单位圆周外。平面的单位圆周外。 2222222()|2()sjjTzjTTzTWWW W W映射关系是否满足条件映射关系是否满足条件：设：设： 令令s=j, z=e j，有：，有：2121t a n21jjejTeTWWW频率变换关

15、系：频率变换关系：的关系如图所示：的关系如图所示：S域的域的j轴映射为轴映射为Z域的单位园上，域的单位园上，映射关系具有唯一性映射关系具有唯一性。从从 的关系可看出：的关系可看出：与与是非线性的是非线性的，即：，即： AF的频率特性在的频率特性在DF中不能得到保持中不能得到保持. . 即在给定即在给定DF的的s,p后，在设计后，在设计AF滤波器时，并不直接滤波器时，并不直接按这个数据设计，而是先通过按这个数据设计，而是先通过进行预变形，根据进行预变形，根据p,s进行进行AF的设计，求出的设计，求出H（S），），再用再用 代入，即可求出代入，即可求出DF的的H（Z）。）。 2121tantan2

16、2pspsTTW W W112 11zsTz采用采用预变形矫正预变形矫正法，可以克服这个缺点：法，可以克服这个缺点：(2)通过预变形法通过预变形法 ，将数字滤波器的频率指，将数字滤波器的频率指标转换成模拟滤波器的频率指标。标转换成模拟滤波器的频率指标。 (3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器Ha(s)。 (4)将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从，从s平面转换到平面转换到z平面，得到数平面，得到数字滤波器系统函数字滤波器系统函数H(z)。 21tan()2TW 112 11() |aZSTZHZHS（）总结：总结：利用双线性变换法设计利用双线性变换

17、法设计IIR DF的步骤的步骤:(1)确定数字滤波器的技术指标：通带截止频率确定数字滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带、通带衰减衰减p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带衰减、阻带衰减s。 为简化设计，将模拟滤波器各系数和经双线性变换法为简化设计，将模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计时使用。时使用。 112012201211120121212( )2( )( ),( )1kkakkazs CzkkkkAAsA sA sHsBBsB sB sH zHsCTaa za za zH zb zb zb z

18、设设 系数系数Ak 、Bk和和 ak 、bk之间的关系列于下表中。之间的关系列于下表中。 例例731：设有一数字处理系统，它的抽样频率：设有一数字处理系统，它的抽样频率fsa为为2000Hz，希望在此系统中设计一个一阶低通数字滤，希望在此系统中设计一个一阶低通数字滤波器，使其通带中允许的最大衰减为波器，使其通带中允许的最大衰减为3dB，通带上限，通带上限频率频率fp为为400 Hz 22400/20000.43pfpTpdB21tan()22000tan0.22908/2pprad sTW解：解：1、数字滤波器的技术指标、数字滤波器的技术指标 2、经过预变形得、经过预变形得 数字低通系统函数：

19、数字低通系统函数： 112908( )2908112908aHsssspW11112110.421(1)( )( )|1 0.1583ZsTZazH zHsz一阶巴特沃思模拟一阶巴特沃思模拟LP解解: (1) 数字高通的技术指标数字高通的技术指标为为 p=0.8rad, p=3dB; s=0.44rad, s=15dB例例7.3.2 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率，阻带截止频率s=0.44rad, 阻带衰减不小于阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃。希望采用巴特沃斯型滤波器。

20、斯型滤波器。(3)模拟原型低通滤波器的技术指标模拟原型低通滤波器的技术指标计算如下：计算如下：12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdBW W 13.771cppsscWWWW2) 模拟高通的技术指标模拟高通的技术指标计算如下：计算如下：令令T=1，则有，则有查表查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为为0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN 21()21Gppp(4)设计归一化模拟低通滤波器设计归一化模拟低通滤波器G(p)。 (6)用双

21、线性变换法用双线性变换法将模拟高通将模拟高通H (s)转换成数转换成数字高通字高通H(z)：111211212()( )0 .0 6 5 3(1)11 .1 9 90 .3 4 9zszaHzHszzz222( )( )|2cccpssH sG pssWWW模拟高通模拟高通Ha(s)：解解 (1)数字带通滤波器技术指标数字带通滤波器技术指标为为 通带上截止频率通带上截止频率u=0.4rad, 通带下截止频率通带下截止频率 l=0.3rad, 阻带上截止频率阻带上截止频率s2=0.5rad , 阻带下阻带下截止频率截止频率s1=0.2rad 通带内最大衰减通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减

22、，阻带内最小衰减s=18dB。 例例7.3.3设计一个数字带通滤波器，通带范围为设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到到0.4rad，通带内最大衰减为，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。拟低通滤波器。(3) 模拟归一化低通滤波器模拟归一化低通滤波器技术指标：技术指标： p=1 22110112tan1.453/2tan1.019/22112tan2/2tan0.650/221.217/0.434/uullssssululrad srad srad

23、 srad srad sBrad sW W W W W W W W W 22202221012.9023.75ssssssBBW WWW W W(2) 模拟带通滤波器技术指标模拟带通滤波器技术指标如下：如下：设设T=1，则有，则有取取s=2.902设计模拟归一低通滤波器设计模拟归一低通滤波器： 0.10.11010.1271012.902lg 0.1271.940,2lg 2.902psspssppkNN 21()21G ppp查表查表6.2.1，得到归一化低通传输函数，得到归一化低通传输函数G(p),(6)通过双线性变换法通过双线性变换法将将Ha(s)转换成数字带通转换成数字带通滤波器滤波器

24、H(z)。 220()( )()ulaspsHsG pWW W11121241234( )( )|0.021(1 2)1 1.4912.8481.681.273zszHzH szzzzzz(5) 将将归一化模拟低通转换成模拟带通归一化模拟低通转换成模拟带通：1 1、脉冲响应不变法、脉冲响应不变法Impinvar( )Impinvar( ) 调用格式：调用格式：,var( , ,)bz azimpinb a Fs式中：式中：, b a为为AFAF系统函数的分子、分母多项式系数系统函数的分子、分母多项式系数,bz az为为DFDF系统函数的分子、分母多项式系数系统函数的分子、分母多项式系数2 2、

25、双线性变换法、双线性变换法( )bilinear 调用格式：调用格式：,( , ,)bz azbilinear b a Fs 数字角频率数字角频率的取值范围的取值范围 ，而，而MatlabMatlab工具函数常采工具函数常采用标准化频率用标准化频率00 1其中：其中：wpwp：通带截频。当为带通、带阻时，：通带截频。当为带通、带阻时，wpwp应为两应为两 个元素的向量。个元素的向量。 wsws：阻带截频。当为带通、带阻时，：阻带截频。当为带通、带阻时，wsws应为两个应为两个 元素元素的向量。的向量。 pp：通带最大衰减。：通带最大衰减。 ss：阻带最小衰减。：阻带最小衰减。 N N：返回的滤波器的最小阶数：返回的滤波器的最小阶数 WnWn：滤波器的截止频率（：滤波器的截止频率（3dB3dB时的频率）。对于带通时的频率）。对于带通和带阻，和带阻，wnwn为两个元素的向量。为两个元素的向量。 n,wn=buttord( p, s, p, s)w w3 3：求阶数：求阶数N N调用格式：调用格式：4 4、IIR DFIIR DF的完全设计函数的完全设计函数、BWBW型：型：( )butter调用格式：调用格式： , ( ,) , , ( ,)b abutter n wnftypez p kbutter n