第三章：自相关问题

1、 第三章：序列自相关问题第三章：序列自相关问题杨 旭 主要内容主要内容n自相关的定义自相关的定义n自相关问题的危害性自相关问题的危害性n产生自相关问题的原因产生自相关问题的原因n判断自相关存在与否的方法判断自相关存在与否的方法n处理自相关问题的方法处理自相关问题的方法 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010）Consumption = 1203.654 + 0.805*Income t =(6.767) (42.061)nR2 =0.99nDurbin-Watson stat0.268627 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010）-1,200-800-40

2、0040080004,0008,00012,00016,00020,0009092949698000204060810ResidualActualFitted 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010）-1,000-800-600-400-2000200400600800-1,200-800-4000400800RESID(-1)RESID 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） Residual(t) = 0.813783* Residual(t-1) ( 6.805647 )nR2 =0.71nDurbin-Watson stat1.094445一、自相

3、关问题的定义一、自相关问题的定义n一元时：一元时： Yi = 0 + 1*Xi + u i 要求要求 ： Cov(u i ，u j ) = 0n自相关问题发生后：自相关问题发生后：ui 与与 uj 之间是相关的之间是相关的 即，即， Cov (u i ，u j ) 0二、自相关问题的危害性二、自相关问题的危害性n在上述情况下，在上述情况下，OLS估计量虽然依旧是估计量虽然依旧是“无偏无偏”的，但不再具有的，但不再具有“最小方差最小方差性性”！n会导致：会导致：n被被高估高估或或低估低估n的的正负号正负号与理论不一致与理论不一致n通常的通常的t 检验、检验、F检验实效。检验实效。三、产生自相关问

4、题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(1)自变量对因变量的影响存在着滞后性自变量对因变量的影响存在着滞后性01122ssttttYMMu这样，这样，u t与与u t-1之间就存在着相关性之间就存在着相关性三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(1)自变量对因变量的影响存在着滞后性自变量对因变量的影响存在着滞后性蛛网现象蛛网现象三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(1)自变量对因变量的影响存在着滞后性自变量

5、对因变量的影响存在着滞后性蛛网现象蛛网现象tdtPQ1tstPQ需求函数：需求函数： 供给函数：供给函数：三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(1)自变量对因变量的影响存在着滞后性自变量对因变量的影响存在着滞后性蛛网现象蛛网现象 做回归时：做回归时： ut存在着存在着 自回归自回归1ttPP可得：可得：tttuPP110*三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(2) 遗漏重要变量：遗漏重要变量： 遗漏的变量如果包含有遗漏的变量如果包含有“自回归自回归项项”，

6、则，则随机项随机项自然具有同样的特征自然具有同样的特征三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(2) 遗漏重要变量遗漏重要变量：但在做回归时，遗漏了但在做回归时，遗漏了Yt-1，即，即，此时，此时， et与与et-1必相关。必相关。 0121ttttYXYu01tttYXe三、产生自相关问题的原因三、产生自相关问题的原因n在处理经济问题中，经常出现：在处理经济问题中，经常出现：(3) 对原始数据进行某些处理后对原始数据进行某些处理后 例如，用简单平均的方法将月例如，用简单平均的方法将月度数据转化为季度数据。度数据转化为季度数据。

7、四、一阶自相关问题四、一阶自相关问题n自相关的方式有很多，我们只处理自相关的方式有很多，我们只处理一阶一阶自相关问题自相关问题n即：即：Yt = B0 + B1*X1t + Bp*Xpt + i n其中其中tttu1 自相关系数自相关系数ut N( 0 , 2 I)五、自相关问题的检验方法五、自相关问题的检验方法(1) 画图法画图法(2) DW检验法检验法(3) 游程检验法游程检验法*(4) 杜宾的杜宾的h检验检验*(5) 布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验五、自相关问题的检验方法五、自相关问题的检验方法（1）画图法：）画图法：n 作作t t与与t-1t-1 之间的散点图之间的散点图n 作作t

8、t与与 t 之间的散点图之间的散点图 （1 1）画图法）画图法五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(2)DW检验检验 D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和）和瓦瓦森森(G.S. Watson)(G.S. Watson)于于19511951年提出的一种检年提出的一种检验序列自相关的方法验序列自相关的方法。五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(2)DW检验检验该方法的假定条件是该方法的假定条件是：（a）解释变量）解释变量X非随机；非随机；（b）随机误差项）随机误差项 i为为一阶自回归一阶自回归形式：形式： tttu1五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问

9、题的方法n(2)DW检验检验该方法的假定条件是该方法的假定条件是：（c）回归模型中不含有滞后因变量作为解释变）回归模型中不含有滞后因变量作为解释变量，量，即不应出现下列形式：即不应出现下列形式： Yt= 0+ 1X1t+kXkt+ Yt-1+t（d）回归必须含有截距项）回归必须含有截距项 杜宾和瓦森针对杜宾和瓦森针对“一阶自回归一阶自回归”的可能情形：的可能情形：做出原做出原假设：假设：H0: =0， 即不存在一阶自回归。即不存在一阶自回归。 (2)DW检验检验tttu1 杜宾和瓦森针对杜宾和瓦森针对原原假设：假设：H0: =0， 即不存在一即不存在一阶自回归，构如下造统计量：阶自回归，构如下

10、造统计量： nttnttteeeWD12221)(. (2)DW检验检验 该统计量该统计量的的精确的分布很难得到精确的分布很难得到。 但是但是，他们他们成功地导出了该统计量的成功地导出了该统计量的临界临界值下限值下限dL和和上限上限dU 。 这些上下限只与这些上下限只与样本的容量样本的容量n和和解释变量的解释变量的个数个数k（不包含常数项）（不包含常数项）有关，而与解释变量有关，而与解释变量X的取值无关。的取值无关。 n(2)DW检验检验（a）进行原始回归，计算）进行原始回归，计算DW值；值；（b）给定）给定 ，由，由 n 和和 k 的大小查的大小查DW分布表，分布表， 可得临界值可得临界值d

11、L和和dU ；（2）比较、判断；）比较、判断；n(2)DW检验检验检验步骤：检验步骤： DWDW值的含义：值的含义： 展开展开D.W.统计量：统计量： nttntntnttttteeeeeWD1222212122.(*)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD如果存在如果存在完全一阶正相关完全一阶正相关，即，即 =1，则，则 D.W. 0 完全一阶负相关完全一阶负相关，即，即 = -1, 则则 D.W. 4 完全不相关完全不相关， 即即 =0，则，则 D.W. 2n(2)DW检验检验0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4 正正相相关关不不能能确确定定无自相关无自相关不不能能确确

12、定定负负相相关关n(2)DW检验检验 若若 0D.W.dL 存在正自相关存在正自相关 dLD.W.dU 不能确定不能确定 dU D.W.4dU 无自相关无自相关 4dU D.W.4 dL 不能确定不能确定 4dL D.W.4 存在负自相关存在负自相关 n(2)DW检验检验五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(2)DW检验检验该方法的该方法的缺陷缺陷：（a）有两个无法判断的区域有两个无法判断的区域（b）对自回归模型，即对自回归模型，即含有以滞后因变含有以滞后因变量量作为解释变量的回归模型，作为解释变量的回归模型，失效失效。五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n对上述两个

13、问题，提供了以下两解对上述两个问题，提供了以下两解决方法决方法 游程检验游程检验 杜宾的杜宾的h检验（检验（Durbin h TestDurbin h Test）五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验 The runs test (Geary, 1970)基本思想：基本思想： 利用利用“残差残差”出现出现正负号正负号的特征来检验自相关的特征来检验自相关性。性。无自相关无自相关0ett数值试验数值试验tvuu1 - tt9 . 0），（ 10Ntvu0=1数值试验数值试验tt-10.9tuuv ），（ 10Ntvu0=1五、检验自相关

14、问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验基本思想：基本思想： 假设观察到假设观察到 20 20 个残差，个残差，正负号正负号出现的情况如出现的情况如下：下： （+ + +）（）（- - - - - -）(+ + (+ + +) +)2个个13个个5个个五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验基本思想：基本思想： 符号相同的为一组符号相同的为一组 游程游程 每组元素的个数每组元素的个数游程的长度游程的长度 游程的个数游程的个数（ R R ）五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(

15、3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验基本思想：基本思想： 如果如果 R R 过大过大 负相关负相关 如果如果 R R 过小过小 正相关正相关五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验基本思想：基本思想： 游程检验就是在检验游程检验就是在检验R R是是过大？过大？还是还是过小？过小？检验方法：检验方法： H H0 0 : : 序列是随机的序列是随机的( (没有自相关没有自相关) )五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验具体检验方法分两类：具体检验方法分两类： 第一类

16、第一类：当样本数小于当样本数小于4040。 此时，由此时，由“专门的专门的统计表统计表”给出给出“游程游程数数”的的临界值临界值。五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法n(3)游程检验游程检验一个非参数检验一个非参数检验具体检验方法分两类：具体检验方法分两类： 第二类第二类：当样本数较大当样本数较大 在在原假设成立原假设成立的前提下，的前提下，游程数游程数R服从服从正态分正态分布布，即，即: RN(，) 游程数均值游程数均值 、方差、方差的计算的计算五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(4)杜宾的杜宾的h检验：检验： 针对针对“含有滞后被解释变量的回归模型含有滞后被解释变

17、量的回归模型”的的自相关检验自相关检验，杜宾于，杜宾于19701970年提出了一个基于年提出了一个基于h h统计量统计量的渐近检验方法。的渐近检验方法。五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(4)杜宾的杜宾的h检验：检验：nh h统计量统计量的计算：的计算：n其中，其中， 是回归方程中是回归方程中“一阶滞后被解释变量一阶滞后被解释变量”前的前的系数估计量系数估计量。(1)21var( )DWnhn五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(4)杜宾的杜宾的h检验：检验： h h统计量统计量渐进服从渐进服从标准正态分布标准正态分布。 给定显著水平给定显著水平 ，查标准正态分布的临

18、界值，查标准正态分布的临界值/2Z/2,则拒绝2(或： =0)的假设。说明存在自相关现象hZDW五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(4)杜宾的杜宾的h检验：检验： 但该检验有个但该检验有个缺陷缺陷：根号内的分母可能出现：根号内的分母可能出现负数负数！ 且依然只能检验一阶自相关。且依然只能检验一阶自相关。 目前已被目前已被BGBG检验检验所取代。所取代。五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(5)布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验(Breusch-Godfrey Test:简称BG检验) 对于回归模型： 假设其误差项的自相关形式为：011.ttkkttYXX1122.ttt

19、ptptu 五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(5)布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验(Breusch-Godfrey Test:简称BG检验) （1）进行原始回归，得到残差记为 et 。（2）将 et 与残差滞后值 et-1， et-2 et-p 进 行辅助回归，并计算辅助回归模型的R2 。（3）设立原假设： 012:.0pH0111122. ttkktttp t pteXXeeeu五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(5)布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验(简称BG检验) ：（4）在大样本下，渐进地有： 对于给定显著性水平 ，若计算的 大于 的临界值，则拒绝原假设，认

20、为至少有一个的滞后项前的系数显著不为0，即存在自相关。 显然也可以用显然也可以用F F检验来完成，特别是小样本时。检验来完成，特别是小样本时。22()*( )npRp2()*npR2( )p五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(5)布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验(简称BG检验) 该检验的困难之处：如何确定滞后阶数！ 五、检验自相关问题的方法五、检验自相关问题的方法(5)布罗施布罗施戈弗雷检验戈弗雷检验(简称BG检验) n应对方法有二： （1）先确定一个较大的先确定一个较大的P P，然后对辅助回归模，然后对辅助回归模型中的回归系数进行型中的回归系数进行t t检验检验，将显著不为，将

21、显著不为0 0的系的系数保留在辅助回归中。数保留在辅助回归中。 （2）另一种是使用另一种是使用赤池赤池(AIC)(AIC)或或施瓦茨信息准施瓦茨信息准则则(SCI)(SCI)筛选滞后长度。筛选滞后长度。 六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n广义差分（迭代法）广义差分（迭代法）n广义最小二乘法广义最小二乘法n3、尼威、尼威韦斯特韦斯特 一致方差估计（略）一致方差估计（略） n4、广义最小二乘法（略）、广义最小二乘法（略）六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分：如果原模型如果原模型: : Y t = 0 + 1*X t + t 存在存在可以将原模型

22、变换为可以将原模型变换为: : 该模型为该模型为广义差分模型广义差分模型，不存在序列相关问题。，不存在序列相关问题。可进行可进行OLS估计。估计。 t1 - tt)()(11 - tt1101ttttXXYY）（六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： 如果自相关程度很高，则可以认为：如果自相关程度很高，则可以认为： = 1上述上述广义差分广义差分，就变成，就变成“一阶差分一阶差分”六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： 但通常但通常“ ”是未知的！如何估计是未知的！如何估计 ？六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题

23、的方法n1、广义差分：、广义差分： (1)对残差进行自回归：对残差进行自回归：tt-1teev 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） Residual(t) = 0.813783* Residual(t-1) ( 6.805647 )n所以，可确定 =0.814令：y = Cons(t) 0.814* Cons(t-1) x = Income(t) 0.814* Income(t-1) 用x对y进行回归： -600-400-200020040060092949698000204060810Y Residuals-600-400-2000200400600-400-2000

24、200400600RESID(-1)RESID说明：依然说明：依然存在自相关存在自相关六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： (2)从从DW值得到近似值：值得到近似值：)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD12DW 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） Residual(t) = 0.813783* Residual(t-1) ( 6.805647 )nR2 =0.71nDurbin-Watson stat1.094445 所以：=0.452778说明：依然说明：依然存在自相关存在自相关六、处理自相关问题的方法六、处理

25、自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： (3) 科克伦科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法）迭代法 重复进行重复进行(1)或或(2)的方法的方法利用方法（利用方法（2）再次进行广义差分）再次进行广义差分说明：已经说明：已经不存在自相关了不存在自相关了六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： (4) 杜宾两步法杜宾两步法： 按照按照“广义差分法广义差分法”，应该做如下回归，应该做如下回归 但上式经过变形，可得：但上式经过变形，可得： )()(11 - tt1101ttttXXYY）（)(1)()(11 - tt111101 -

26、tt1110tttttttXXYXXYY）（）（六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： (4) 杜宾两步法杜宾两步法： 第一步：第一步：直接用直接用Yt 对对Yt -1 、 X t ，以，以及及 X t -1 做回归做回归 从而可以确定从而可以确定 01121ttttYYXX六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n1、广义差分：、广义差分： (4) 杜宾两步法杜宾两步法： 第二步：第二步：利用确定的利用确定的，进行广义差分，进行广义差分，再回归。再回归。 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） 用Cons 对 常数项、Cons

27、(-1)、 Income，以及 Income(-1)做回归。 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） 消费与收入消费与收入 （中国：（中国：1990-2010） 由上述回归，可以确定：由上述回归，可以确定： =0.897 以此为基础，进行广义差分，再回归。以此为基础，进行广义差分，再回归。 进行进行BG检验检验说明：已经说明：已经不存在自相关了不存在自相关了六、处理自相关问题的方法六、处理自相关问题的方法n3、尼威、尼威韦斯特韦斯特 一致方差估计一致方差估计（略）（略） n4、广义最小二乘法（略）、广义最小二乘法（略） 3 3、广义最小二乘法、广义最小二乘法 对于模型对于模

28、型 Y=X + 如果存在序列相关，同时存在异方差，即有如果存在序列相关，同时存在异方差，即有,22212222111221)()Cov(nnnnnE 是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得，使得 =DD变换原模型：变换原模型： D-1Y=D-1X +D-1 即即 Y*=X* + *1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2(*)式的式的OLS估计：估计：*1*)(YXXXYXXXYDDXXDDX11111111)()( 这就是原模型的这就是原模型的广义最小二乘估计量广义最小二乘估计量(GLS estimators)，是无偏的、有效的估计量

29、。是无偏的、有效的估计量。 该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性：该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性： 如何得到矩阵如何得到矩阵 ？ 对对 的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。1000001000000100000100000121D,22121221111)(nnnnCov 如设定随机扰动项为如设定随机扰动项为一阶序列相关形式一阶序列相关形式 i=i-1+ i 则则七、案例七、案例n真实工资真实工资与与劳动生产率劳动生产率之间的关系：之间的关系： Y = 29.5749 + 0.7005X (20.2496) (40.9181) R2=0.9755 DW=0.2136请问，上述回归是否存在自相关问题？请问，上述回归是否存在自相关问题？如果