第3章 刚体力学

1、第三章第三章刚体力学基础刚体力学基础3.1刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体，指在任何情况下都没有形变的物体刚体，指在任何情况下都没有形变的物体 一、刚体定轴转动的描述1.平动和转动平动和转动 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行 如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为动，这种运动就称之为转动转动，这条直线称为，这条直线称为转轴转轴。 平动和转动是刚体运动中两种基本形式平动和转动是刚体运动中两种基本形式. AA 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动若转动轴固定不动，这种转动称为

2、定轴转动.这个转轴称为固定轴，这个转轴称为固定轴，2.定轴转动定轴转动 转动平面：转动平面：垂直于固定轴的平面垂直于固定轴的平面 3.刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点所有质点的所有质点的线线量量一般不同，但一般不同，但角量都相同角量都相同;质点的线量与该质点的距轴矢径大小成正比质点的线量与该质点的距轴矢径大小成正比 iir iira 2 inirar 二、质点系的角动量定理1.质点系对固定点的角动量定理质点系对固定点的角动量定理iFir0mijifijf对对i质点质点iiiMtpr d)d()( ijijiifFr外对对i求和，得求和，得: iijijiiiiiifrFrtL)(dd外0

3、iijijifrM)(内内 iiiFrM外外称为称为质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩外外M于是得于是得 iiiiiiprdtdFr外或或tLMdd 外外iiiiiprLL 作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率动量对时间的变化率.这就是质点系对固定点的角动这就是质点系对固定点的角动量定理量定理. 常常矢矢量量，则则若若外外 LM 0 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律2.质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理 tLMdd 外ktLkM dd外 tLMzzdd 外质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理 简单地简单地

4、,设质点系内各质点均在各自的转动平面内设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动，并设固定转动轴为绕同一轴转动，并设固定转动轴为z轴轴 zzL iipmiir iiiiiizzrpLL sin iiiiirm siniiir 2 i因有：因有：iiiizrmL 2若质点系内所有质点绕轴转动的角速度若质点系内所有质点绕轴转动的角速度 相同，则相同，则 )(iiizrmL22iizrmJ 若令若令称称对对z 轴的轴的转动惯量转动惯量dtdLJdtdMzzniiz )(1 3.3.转动惯量的计算转动惯量的计算2iirmJ 刚体转动惯量的大小与三个因素有关：刚体转动惯量的大小与三个因素有关：与刚

5、体的总质量有关；与刚体的总质量有关；与刚体质量对轴的分布有关；与刚体质量对轴的分布有关；与轴的位置有关。与轴的位置有关。单个质点单个质点 2mrJ 质点系质点系 niiirmJ12质量连续分布质量连续分布dmrJm 2单位为千克单位为千克米米2（kgm2）例例: 求质量为求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：(1)转转轴通过棒的中心并与棒垂直；轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并转轴通过棒一端并与棒垂与棒垂 x2l o2l解解: (1) 在棒上任取一质量元在棒上任取一质量元 dxdm xdxdxdm lm dmxdJ2 2220lldxxJ 22331

6、llx 23121121mll (2)转轴通过棒一端并与棒垂转轴通过棒一端并与棒垂oldxdm xdx lAdxxJ02 233131mllJA 例：例：设质量为设质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量盘的转动惯量.解解: (1)在细圆环上任取一质元在细圆环上任取一质元dm0dmRdm到轴的距离均为到轴的距离均为RdmRdJ2 22mRdmRJm (2)设体密度为设体密度为2Rm drrdmrdJ2 drr32 drrJR 032 242121mRR 三、刚体

7、的转动定律把刚体可看作质点系把刚体可看作质点系zLzir m iip tLMzzdd 外 )(iiizrmL2 zzJL)(1 zniizJdtdM zJdtdJ z zzJM 外 绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.这就是刚这就是刚体定轴转动中的转动定律体定轴转动中的转动定律. 例例: 已知：两物体已知：两物体 m1、m2(m2 m1)滑轮滑轮 m、R, 可看成可看成质量均匀的圆盘质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且（设绳轻，且不伸长不伸

8、长,与滑轮无相对滑动）。求与滑轮无相对滑动）。求:物体的加速度及绳物体的加速度及绳中张力。中张力。m1m2mRMf解解: 分别对分别对m1, m2, m 分析运动、受力，分析运动、受力，设各量如图所示设各量如图所示1am1gT12am2gT22T 1T mRMfmgN因绳不伸长因绳不伸长,有有 a1= a2= a因绳轻因绳轻,有有2211TTTT ,以以加速度方向为正加速度方向为正，可列出，可列出对对m1有有: T1 - m1g = m1a (1)对对 m2有：有：m2g - T2= m2 a (2)对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程 21221mRJMRTRTf (3)再从运动学关系上有

9、再从运动学关系上有 Raa (4)(以以“ 方向方向”为正为正)联立四式解得：联立四式解得： mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时: m = 0, Mf = 0gmmmma1212 gmmmmTT2121212 四、定轴转动的动能定理1.转动动能转动动能2222)(2121 iiiikrmrmE221 JEk 刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半惯量与角速度平方乘积的一半

10、比较比较：JLEk22 mpEk2 2 221 mEk 221 JEk 2.力矩的功力矩的功 ziriFrdd i iiirdFdW iiirdF cos drFii dMi 对对i求和，则力矩的元求和，则力矩的元功功 dMdWi MddMi )(M为作用于刚体上为作用于刚体上外力矩之和外力矩之和 (内力矩之和为零内力矩之和为零) MddW 21 MdW力矩的功率为：力矩的功率为： MdtdMdtdWP 当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。3. 刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理： MdW 21 dJ 21 ddtdJ 212122212121

11、 JJdJW )21(221 JMd 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量动能的增量.这就是刚体定轴转动时的动能定理这就是刚体定轴转动时的动能定理. 五、刚体组对轴的角动量守恒定律1.刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理 作定轴转动刚体，其质元角速度作定轴转动刚体，其质元角速度 相同，因此，相同，因此， dtdLJdtdMzniiz )(1 000)( JJdLdtMLLzttz 定轴转动刚体的角动量的增量等于合外定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。力矩对冲量矩。2.定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒0 izM

12、若若则则 L=J = 恒量恒量 外力对某轴的力矩之和为零，则该物外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒体对同一轴的角动量守恒. 刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量总角动量 L= J1 1 +J2 2 += 常量常量 角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：(1) 转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体00,0 则时，当JJM例：回转仪例：回转仪(2) 转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体当当J增大时，增大时， 就减小就减小 当当J减小时，减小时， 就增大就增大 而而 保持不变保持不变 J例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演

13、员J1 装置反向转动的双旋翼产装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消生反向角动量而相互抵消例例: 一根质量为一根质量为m长为长为2l的均匀细棒，可在竖直平面的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为置，一质量为m/的小球，以速度的小球，以速度u垂直落到棒垂直落到棒r端点。端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度速度u/及棒的角速度及棒的角速度 ？（忽略轴处摩擦）（忽略轴处摩擦）om/u解：杆的角速度解：杆的角速度 如图示如图示,假设小球碰后瞬时的速度假设小球碰后瞬时的速度u/ 向上向上u/ 系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒（轴力无力矩；小球的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）/)(ulmlmuml 22121 (1)