第16节欧拉方法

1、第六章第六章 微分方程的初值问题微分方程的初值问题第一节第一节 欧拉方法欧拉方法微分方程（组）( )( -1)( )( -1)( )1( )( -1)(21.23(,., , )0(,., ,., , )0(,., , nnnnnnnnxtyzuvF yyyy y xF yyyy y zz xF yyyy y z微分方程的描述：、自变量： ，、因变量： ， ， ，、常微分方程： 微分方程组：)( )( -1)( ),., , )0.(,., ,., , )0nnnmz xFyyyy y zz x线性微分方程的通解( )210( )210 ( ),.,( ) ( ) ( )0,()( ),.,(

2、 ) ( ) ( )( ),()nnnnax yax ya x ya x yax yax ya x ya x yf x线性微分方程：齐次方程 非齐次方程11221122 ( )( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnnnpY xc y xc y xc yxY xc y xc y xc yxyx齐次线性微分方程的通解：非齐次线性微分方程的通解： 常系数线性微分方程的通解( )210( )2102121021210,.,( ),., ( ),., ( )( )( )( ),.,( )( )nnnnnnnna ya ya ya yf xa ya ya ya yf xa sa sa s

3、a Y sF sF sY sa sa sa say tY s ds：常系数线性微分方程解法： 拉普拉斯变换则：LL微分方程的初值问题与边值问题000( , )()( , )()()yf y xy xbyf y y xy xay xb微分方程初值问题：01( , )()()yf y y xy xay xb微分方程边值问题：一阶微分方程的解2121212():( , )0, ( ,)-( ,)-()LipschitzDf t yLt yt yDf t yf t yL yyLipschitzLLipschitz 李普希兹条件 如果定义在区间的函数满足： 存在常数，对任意使得： 则称该函数满足李普希兹

4、条件， 为常数。一阶微分方程的解12121212( , )( , )( , )( ,)-( ,) =( , )-maxmax( , )yyytyf t yf t yft yyf t yf t yft cyyL yyycyLft y如果函数连续,有界，则有中值定理：一阶微分方程的解0 , , , ( )( , ), , ( , ), ( )f t yDyLipschDt yta bitzyRfDy tf t y ta by ay 一阶微分方程组存在唯一性定理：设且， 在 上连续如果 在 上， 则微分方程初值问题： 相 对变量 满足条件存在唯一解。一阶微分方程的解110,1,0,2,0 xyyyC

5、xxyxyx 微分方程：该方程的解为：选择初始：则方程有无穷多解选择初始：则方程无解选择初值：，则有唯一解欧拉方法( )( )(1)( )(1)( )(,)(1)( )( )( )(1)( )(1)( )()()() (, (), nnnnnnxynnnnnnnny xy xdyxxdxy xy xf xy xxxhxx前向欧拉方法：根据导数的定义，用差商代替微商 导数 的方法 则微分方程组可表示为：令 则有：(1)( )( )( )( )( )( )(1)( )( )( ) (, ()()() (,)nneuennnnueunnnnny xy xhf xy xy xy xyyxyhf xy又

6、由于未知，令则得到前向欧拉方法的迭代公式：也叫做：左矩形数值求积公式建立也叫做：左矩形数值求积公式建立EulerEuler法法 欧拉方法(1)(1)(1)( )(1)( )(1)( )(1)(1)(1)(,)( )( )(1)()()() (, (), nnxnnnnnnnynnnnny xy xdyxxdxy xy xf xy xxxhxx后向欧拉方法：根据导数的定义，用差商代替微商 导数 的方法 则微分方程组可表示为：令 则有：(1)( )(1)(1)( )( )( )(1)(1) (, ()()()()nnnnnnnneuny xy xhf xy xy xy xy xy xy又由于未知，

7、令将上述公式中的看作未知数，则求，得到后向欧拉方法的解非线性方程组也叫做：右矩形数值求积公式建立也叫做：右矩形数值求积公式建立EulerEuler法法 欧拉方法/5( )(1)( )( )(0)(0)(1)(1)(1)(2), (0)3.5 22525(1)+53 0,3,3 03.65 1,3.6,xnnnndyyxydxyexhyyyxxyyxyy ：例：求微分方程解：方法一、直接法得 方法二、欧拉方法 步长 (2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(5)3.63.613.3253.32 2,-3.32,3.3221.98451.984 3,1.984,1.98430.619250

8、.6192 3,0.6192,0.619244.74305xyyxyyxyy 欧拉方法的误差012345-4-20246810欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。欧拉方法的误差clear allclose allclc xeu(1) = -3;N = 5;for iii = 2 : 6 xeu(iii) = xeu(iii - 1) + (iii - 2 + xeu(iii - 1) / 5);end tt = 0 : 0.01 : 5;% figurehold onplot(tt, 22 * exp(tt / 5) - 5 * tt - 25)plot(0 : 5, xeu)欧拉方法的误差

9、( )(1)(1)(1)(1)( )( )( ) ()- ()-(,)nnnnnnnnyyy xyy xyhf xy局部误差：初始点为精确值条件下， 估计时产生的误差。 由于单步误差在迭代过程中产生积累，从而产生的误差为积累误差。欧拉方法的局部误差2(1)( )( )( )( )22(1)(1)( ):()()()()()2(0,1)()-(), ()2nnnnneunnnhy xy xhy xhy xyxhhy xyyxhO h前向欧拉方法的局部误差由于：其中，所以：记作：前向欧拉方法具有一阶精度；前向欧拉方法具有一阶精度；同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。同样可以证明，后向欧拉方法具

10、有一阶精度。欧拉方法的收敛性0(1)( )( )(1)( )( , ), , , (0),( , ) (1)nnnnny tf t y ta byyf t yyyyh yyh问题： 已知 分析迭代过程的变化情况。 考虑简单情况，假设，则欧拉迭代公式为：(0)(1)(0)( )00(111)00011tnnyy tyyehyhyh， 的解为当时收敛，当时发散。 观察迭代公式：，当时发散， 当时，如果步长较小，； 当时，如果步长较使得，大，则收敛使得，则发散。 欧拉方法收敛性分析迭代法与真实解变化趋势的差异。欧拉方法步长与收敛性( )15 ,0, (0)1y ty ty 例： 00.20.40.6

11、0.81-2-1.5-1-0.500.511.522.5 步长步长h=1/7h=1/7步长步长h=1/10h=1/10真实值真实值步长选择不同导致数值方法的收敛性不同步长选择不同导致数值方法的收敛性不同1-15811,7771-15111,10102hh当，所以发散，当，所以收敛，当当h- +0 h- +0 时，欧拉方法的误差时，欧拉方法的误差- 0- 0欧拉方法的稳定性0(1)( )( )( )( , ), , , (0),( , ) nnny tf t y ta byyeef t yyyyh yy问题： 已知 其中 为初始值的误差，分析误差随迭代过程的变化情况。讨论一：考虑简单情况，假设，

12、则欧拉迭代公式为：(1)(0)(1)111( , )1()11,nnhhyehhf x y；。如果则误差越来越大反之，如果则误差越来越小。讨论二：一般情况，如果对任意则误差收敛 欧拉方法稳定性分析微小误差在迭代过程中积累的情况。 分析后向欧拉方法的误差，(1)(0)1()(1-)nnyyeh梯形公式(1)( )( )( )( )( )(0)(1)( )( )( )(11)1)( , ), ()0- ()- ()( )( , ) ( )( (,)(,)2nnnnnnxxhnnxxxhnnnnnxyf x yy xy xy xy x dxf x y dxhy x dxf xyf xyy 目标：求解

13、一阶方程组：根据牛顿 莱布尼兹公式，有：利用梯形积分公式，可得：则：( )( )( )(1)(1),2nnnnnhyf xyf xy几何意义：是欧拉折线法与后向欧拉法的算术平均。几何意义：是欧拉折线法与后向欧拉法的算术平均。精度高于前向精度高于前向/后向欧拉算法。后向欧拉算法。改进型欧拉方法(1)( )( )( )(1)( )( )( )(1)(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)(1)(,); (,)(,),2(,)(,)()/2eunnnneunnnnnneunnnneucnnnnpcyyhf xyhyyf xyf xyyyhf xyyyhf xyyyy 预测 校正 也可写为：

14、梯形公式虽然提高了精度，但仍是隐式方法，算法复杂，运算量大。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。先用欧拉折线法得到初步近似值，再用梯形公式校正。改进型欧拉方法012345-4-20246810, (0)35dyyxydx 例：用改进型欧拉公式求微分方程( )(1)( )( )(1)( )(1)(1)();5()51().2neunnneuncnnnpcyyyh xyyyh xyyy改进型欧拉方法clear allclose allclc xmeu(1) = -3;N = 5;for iii = 2 : 6 xmeu(iii) = xmeu(iii - 1) +

15、(iii - 2 + xmeu(iii - 1) / 5); tmp = xmeu(iii - 1) + (iii - 1 + xmeu(iii) / 5); xmeu(iii) = (xmeu(iii) + tmp) / 2;end tt = 0 : 0.01 : 5;% figurehold onplot(tt, 22 * exp(tt / 5) - 5 * tt - 25)plot(0 : 5, xmeu)欧拉方法分析微分方程 欧拉方法精度低，不适于数值计算应用。 当步长h-0+时，欧拉方法的解逼近与微分方程的解。 因此，欧拉方法作为一种思考方法，在分析微分方程中具有重要意义。一阶微分方

16、程解的良态性000( )( , ), , , ( )120( )( )( , )( ), , , ( )( )- ( )y tf t y ta by ayky tf t yt ta by ayy ty t微分方程初值问题： 是的，如果满足如下条件：、该方程存在唯一解。、对任意，存在正常数，使得微分方程组： 满足： 良态0( )( )( )ktt 其中，在上连续，且，欧拉方法分析微分方程1 00001 11111011 10101011 101010(,)/ /0(,)/ / /( (,)(,)( ()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyyhf tyyhyyhf tyyyyRyyyyh

17、 f tyf tyRyyyyh L yyRLR的欧拉迭代，的欧拉迭代与 的差00()0010()0010L t tL t tRCeCyyReyy0010001-0101( , )( ;)( ;)( )( ) ( ;)- ( ;)-Lt tf t yDyLipschitzy t yy t yy tyy tyy t yy t yeyy定理： 在 上连续，且对变量 满足条件， 设和为初值条件和的解，则有： 分析思路：迭代法关系11()()( )( )( )( ( )- )0( ):( )0nnnnnyg yyyhf yg xxf xyg yyg yyyyf yf x迭代法求解方程公式：迭代法计算隐式

18、微分方程：解方程的迭代过程由微分方程：，（ ）描述微分方程解的极限是方程的解，不动点。欧拉方法分析微分方程*0s( ),0(0)2(0)02(0)33(0)23(0)0.0123(0)0.012f yycoy hyyyyyy（）不动点：例：求解微分方程：初值为：012345678910-1.5-1-0.500.511.522.5不动点clear allclose allclc figure; hold on bb = 0.5, 1.5 - 0.01, 1.5, -0.5 + 0.01, 1.5 + 0.01, 2.5, -0.5 - 0.01, -0.5 * pix = 1 : 10000;x = x * 0.001;for kkk