第11讲-一般索罗模型

1、The McGraw-Hill Companies, 2005第11讲技术进步和增长：一般的索罗模型 宏观经济学The McGraw-Hill Companies, 2005一般的索罗模型 回到封闭经济. 在基本的索罗模型中: 在稳态，人均 GDP 没有增长. 这和西方世界的现实相违背. 在一般的索罗模型中: 全要素生产率, , 假定以固定的、外生速率增长 (唯一的变化). 这意味着存在平衡增长的稳态，同时人均 GDP 以一个正的常数增长率增长。 在这个模型中，人均 GDP 长期增长的源泉是外生外生 技术进步. 不是很深刻，但是: 在稳态时候产生平衡增长平衡增长，并不是一个显然的结果, 因为模

2、型符合了实证规律，所以保证了应用. 我们的关注点仍然是:什么创造了经济进步和繁荣什么创造了经济进步和繁荣tBThe McGraw-Hill Companies, 2005索罗模型的微观世界 和基本索罗模型的微观世界相同, 例如: 同样的对象对象 (一个封闭经济). 同样的商品商品和市场市场. 同样, 市场是竞争的，实际价格分别为1, 和 . 只有一种产出 (单部门模型). 同样的参与人参与人: 消费者和厂商 (还有政府), 其微观行为也是一样的: 一个利润最大化的代表性企业决定 和 ，给定 和 . 一点差别: 生产函数生产函数. 现在存在技术进步的可能性: 序列 是外生的，对于所有的 ，都有

3、. 特使情况是 (基本索罗模型).trtwtrtwdtLdtK101ttttYB K L,.tB0tB ttBBThe McGraw-Hill Companies, 2005具有技术进步的生产函数 给定技术进步的序列, 伴随着给定的序列, 在柯布道格拉斯生产函数中，我们将技术进步描述为一个序列， ，代表TFP 或者是对应的序列, , 代表劳动调整的生产率是没有差别的. 在我们的例子中，后者更方便. 外生序列, , 如下所示: 技术进步来自 ”天上掉馅饼” (不需要生产投入).tB1ttttYB K L11/tttA , AB.1ttttYKALtBtAtA111ttAg A , g 011tt

4、AgA , g The McGraw-Hill Companies, 2005 回忆定义: 和 . 两边同时除以 得到人均生产函数: 这意味着: 的增长来自于两个源泉， 是 和 的加权平均值，权重为 和 。 如果, 类似于平衡增长, 是常数, 那么 !tttyY / LtttkK / LtL1ttttYKAL1tttyk A. 111lnlnlnln1lnlnttttttyykkAA11ykAkttttggggg.tyytgktgg1ttk / yytggThe McGraw-Hill Companies, 2005完整索罗模型 参数: . 令 . 状态变量: 和 . 完整模型? 是的, 给定

5、 和 模型决定了序列： 101ttLn L , L给定1ttttYKAL111tttttttKrKALAL111ttttttttKwK LAAALttSsY10ttttKKSK , K给定101ttAg A , A给定,s, ,n,g0g ttK ,LtA00K ,L0A tttttttK, L , A , Y , r , w , S .The McGraw-Hill Companies, 2005 注意注意: 也就是: 资本份额 , 劳动份额 , 净利润 . 我们的 就应该大约还是 . 另外另外: 定义 ”有效劳动投入” 为 :这个模型在数学上等价于基本索罗模型，其中 代替了 , 同时， 代

6、替了 , 此时 !我们可以在理论上完全采用基本索罗模型的分析, 但是我们不会1ttttttrKKALY111ttttttw LKALY .1 01 3/=tttLAL%1= 111tttLng Ln L ,%tLtL nn 1B The McGraw-Hill Companies, 2005分析一般索罗模型 如果如果 如果模型意味着收敛到平衡增长的稳态,那么 在稳态，变量 和 的增长率必须相同 (再次回忆 在平衡增长时是常数). 回忆: 因此，如果 , 那么 . 如果如果 存在向平衡增长稳态的收敛, 那么那么 在稳态 和 增长率相同，为 ，因此 和 将是常数. 进一步进一步: 从上述提到的与基

7、本索罗模型的等价性, 和 收敛到常数稳态值. 上面的每一个观察都提示如何分析这个模型，可以根据:tkty1ykAtttggg .ykttggtktytA ,ttk / Atty / A=tttttttK / LK / ALk / A%=tttttttY / LY / ALy / A%ttk / yykAtttgggThe McGraw-Hill Companies, 2005 和 从 我们得到从 和 我们得到 两边除以 得到代入 得到 转移方程转移方程:两边减去 ，得到索罗方程索罗方程:=ttttttkKkAAL%1ttttYKAL=ttyk .%=ttttttyYy.AAL%ttSsY1tt

8、ttKKSK11tttKsYK1111ttttA Lgn AL11=111tttksyk.ng%11=111tttkskk .ng%=ttyk%tk 11=11ttttkkskngng k .ng%The McGraw-Hill Companies, 2005收敛向稳态:转移图 转移方程是: 这是递增的，通过 (0,0). 在任意一个 的斜率为: 可以看到: . 进而, . 我们假设后面这个稳定条件稳定条件可以满足.11111tttkskk.ng%tk%11111ttts kdk.ngdk%1lim1+0tttkdk/ dkngng %10lim=tttkdk/ dk%The McGraw-H

9、ill Companies, 2005 转移方程如图所示:The McGraw-Hill Companies, 2005 向点 的收敛如图所示. 相应地: .一些初步的结论: 在长期中, 和 收敛到常数,分别是 和 . 这些水平值定义了稳态. 在稳态, 和 共同的增长率为 , 也就是, 速率为 ，同时资本产出比 一定是常数.*k *tyyk tttkk / A tttyy / A tkty*k *y tAgttttK / Yk / ytk The McGraw-Hill Companies, 2005稳态 索罗方程伴随着 得到: 利用 和 我们得到稳态增长路径:11=11ttttkkskngn

10、g kng%1=*ttkkk%11=*skngng%1=*sy.ngng%tttkk / A%tttyy / A%11*ttskA,ngng1*ttsyA.ngngThe McGraw-Hill Companies, 2005 因为 , 利用得到 在稳态存在平衡增长在稳态存在平衡增长: 和 以常数增长率增长, , 此时， 是常数. 在稳态，人均在稳态，人均 GDP 存在正增长存在正增长 (如果 ). 11*ttscAs.ngng1ttcs y 1=ttrk%和11*ttswA.ngng1*srngng和 1tttwA k=%ttk ,ytwtrg0g The McGraw-Hill Compa

11、nies, 2005稳态的结构政策 稳态的人均产出和消费为: 黄金规则: , 最大化路径, . 再次为: . 对于 和 的弹性再次分别是 和 . 稳态的政策含义与基本索罗模型一样: 鼓励储蓄和控制人口增长. 不过不过 我们有一个新参数, ( 对应着 ). 我们想要大的 , 但是在我们的模型中难以推导政策技术进步的政策含义 ( 是外生的).101t*tsyAgngng和 1011t*tscAgs.ngngs*tc*s*tysng1/a1/ag0ABggThe McGraw-Hill Companies, 2005稳态的实证 假设所有国家在 2000 处于稳态! 很难获得 的高质量数据, 为了简单

12、，假设 对于2000年所有国家都是相同的. 设定(合理地) 如果 是国家i在2000年的人均 GDP, 上面的理论方程提示了下面的回归方程:其中 和 利用1960-2000的平均值， 此时 1*ttsyAngnglnlnlnln1*ttyAsngng.00iy0001lnlnln0 075iiiysn.,isintAtA11/.0 075g.The McGraw-Hill Companies, 2005An OLS estimation across 86 countries gives:2000 14ln8 8121 47lnln0 075adj.0 55iiise.y.sn.,R.The

13、McGraw-Hill Companies, 2005 很高的显著度! 巨大的 R2! 即使我们假设 在所有国家都是相同的! 但是永远记住 相关相关vs. 因果因果. 进一步: 的估计值不符合理论值 . 或者: 结论并不清晰: 回归曲线令人印象深刻, 但是比模型建议的更陡峭.00A1 2/1 470 601.The McGraw-Hill Companies, 2005接下来 索罗图的比较分析. 收敛过程. 增长核算.The McGraw-Hill Companies, 2005索罗图1111ttttkkskngng k.ngThe McGraw-Hill Companies, 2005修正索

14、罗图 11111ttttkkskngng.ngk ktk - k1 0skt+1k*k0(1+n) (1+g) k0n+g+ +ng The McGraw-Hill Companies, 2005索罗图的比较分析 最初经济位于稳态，参数值为 和 . 储蓄率永久性增加，从 到 . ,s, ,ngsssThe McGraw-Hill Companies, 2005The McGraw-Hill Companies, 2005 旧稳态旧稳态: 和 , 同时 和 的增长率都是 , 下面的一条线: 新稳态新稳态: 和 , 同时 和 的增长率都是 , 但是沿着一条更高的增长路径, 上面的那条线.*tttk

15、k / Ak *tttyy / Ay g*tkkk *tyyy tktytktygThe McGraw-Hill Companies, 2005 转移转移: 从 增长到 . 增长率跳跃，然后逐渐回归到零. 根据 得到 . 因此, 在转移中, 的增长率大于 , 同时 向上跳跃，然后逐渐回归到 . 增长率 也跳跃, 因为 . tttkk / A *k *k tk tttkAk kkAtttggg tkgktggty1ykAtttgggThe McGraw-Hill Companies, 2005索罗模型中的收敛修正的索罗图:这符合 条件收敛条件收敛: 两个国家有相同的参数 0,s, ,n,g,Ak

16、tk - k1 0skt+1k*k0(1+n) (1+g) k0n+g+ +ng The McGraw-Hill Companies, 2005收敛过程的实证 模型对于收敛过程告诉了我们什么 , 即， 一个国家的增长如何依赖结构参数和最初的位置? 利用转移方程,我们推导出来增长率 的公式. 为了做到这点，我们在 稳态稳态附近线性化。附近线性化。 将 对于 微分，代入稳态点很容易看到 . 11111ttttkskkG k,ng tG k tk 1111*G kngng.ng ty01*G k The McGraw-Hill Companies, 2005 数学注释: 考虑一个可微函数, 通过点

17、, 因此 . 那么: 如果进一步, 那么: 将(1)运用于 ，在 ，得到 这是索罗模型动态过程的近似, 同时这是一个线性方程! 线性差分方程意味着 的稳定性，因为 . yf x ,x,y yf x yyf xxx . yf xx (1)yxf xxx . 1ttkG k*kG k1*ttkkG kkk.01*G k *k The McGraw-Hill Companies, 2005 再次利用 , 此时对于 : 利用这个方程重写 : 利用如下形式 我们有 : 收敛性质收敛性质: 在每一期, 剩余缺口的常数比例 得到弥补. 收敛速度为 f xf xf xxxlntk 1lnlnlnln*tttt

18、*kkkkkkkkk.k 1*ttkkG kkk 1lnlnlnln*ttkkG kkk.ttyk 1lnlnlnln*ttyyG yyy 1lnln1lnlnlnln*ttttyyG yyyyy . 1101*G yng,. lnlnttyk The McGraw-Hill Companies, 2005 我们现在推导这个差分方程的解: 特征多项式是 特征根是 . 齐次方程的通解是: . 非其次方程的一个特解是: , 意味着完整的解形式为: 对于常数 满足初始条件: . 因此解为: 11lnlnlnlnln1lnln*tttttyyyyyyy . 1Q xx1x ln1ttyC lnln*t

19、yylnln1t*tyyC. 0lnln*CyyC0lnlnlnln1t*tyyyy0ln11ln1lntt*tyyy . The McGraw-Hill Companies, 2005 利用这个解，对于 . 得到: 将 代入 和 的表达式，获得收敛方程收敛方程: 重写一下:tT0ln11ln1lnTT*Tyyy 00lnln11lnlnT*Tyyyy 000011lnlnlnlnlnlnlnT*TTyyAAAyyTTT 0lnlnTAA/ T*y 00011lnlnlnlnlnln1TTyygAsngngyTT0001111lnlnlnln11lnln1TTTTyygAyTTTsngngTg

20、The McGraw-Hill Companies, 2005 假设 和 在所有国家都很小, 这意味着如下回归方程: 1960-2000年90个国家的OLS估计为: 对 画图得到 g0A00102121lnlnln0 07511and 1iiiiT ,Tgysn.,T200 60600 0130 00150 00250 0630 006 ln0 020 lnln0 075adj.0 40iiii,se.se.se.g.y.sn.,R.00 600 00250 020 lnln0 075iii,se.g.sn.60lniyThe McGraw-Hill Companies, 2005The McGraw-Hill Companies, 2005好的方面: 显著的参数, 相对高的 R2 等. 这没有和所有国家具有相同的 和 有本质矛盾. 但是:我们有两个估计的收敛速度:理论: 实证:结合 的估计值 和 ，意味着 模型严重高估了收敛速度模型严重高估了收敛速度!1. 与实证对比, 索罗模型相当不错, 这适用于其稳态和收敛方面的预测. 不过, 在所有方面都存在着实证数量方面的问题. 可以做得更好, 不过已经是一个不