第二章 地理空间数学基础(2)

1、高斯高斯- -克吕格投影克吕格投影 高斯投影为横轴等角切圆柱投影，如下图所示，假想有一个椭圆高斯投影为横轴等角切圆柱投影，如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，此投影为高斯投影。高斯圆柱面上，再将此柱面展开即成为投

2、影面，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。投影是正形投影的一种。几种常用的投影高斯投影 6 带：自0 子午线起每隔经差 6 自西向东分带，依次编号1,2,3,。我国 6 带中央子午线的经度，由75 起每隔6 而至175 , 共计11带（1323带），带号用 n 表示，中央子午线的经度用 L0 表示，它们的关系是L0=6n-3 ,如下图所示。高斯投影 3 带：它的中央子午线一部分同6 带中央子午线重合，一部分同6 带的分界子午线重合，如用 n 表示3带的带号，L 表示3带中央子午线经度，它们的关系L=3n 。下图所示。我国 带共计22带（2445带）。高斯投影变形特点：高斯投影变形特点：

3、n具有等角性质。具有等角性质。n中央经线长度比等于中央经线长度比等于1 1，其余经线长度，其余经线长度比均大于比均大于1 1，长度变形为正。，长度变形为正。n距中央经线愈远变形愈大。在同一经距中央经线愈远变形愈大。在同一经线上，纬度越低变形越大，最大变形线上，纬度越低变形越大，最大变形在边缘经线与赤道的交点。在边缘经线与赤道的交点。 除除1:100万以外国家基本地形图均采用高万以外国家基本地形图均采用高斯斯克吕格克吕格投影投影, 1:2.5万万1:50万采用经差万采用经差60分带分带, 1: 1万采用经差万采用经差30分带分带UTM系统系统 UTM投影是一种横轴割圆柱投影横轴割圆柱投影。虽然各

4、国都可以发展适合本国需要的特殊系统。但是，有一种系统是通用的，即通用横墨卡托UTM）格网系统。该种格网系统及其所依据的投影，已经广泛用于地形图，作为卫星影像和自然资源数据库的参考格网以及要求精确定位的其他应用。在UTM格网系统中，北纬北纬84度和南纬度和南纬80度度之间的地球表面积，按经度6度划分为南北纵带，称为投影带。从180度经线开始向东将这些投影带编号，从1编至60。每个带再划分为纬差8度的四边形。四边形的横行从南纬80度开始。用字母c至X（去掉I 和O）依次标记（参见图）（第X行含纬度12度，包括北半球从北纬72度至84度全部陆地面积）每个四边形用数字和字母组合标记。读取参考格网，总是

5、向右向上读取。每一四边形划分为很多边长为1000 000米的小区，用字母组合系统标记。在每个投影带中，位于带中心的经线，赋予横坐标值为500 000米。赤道的标记是：对于北半球的坐标值，赤道为0，对于南半球的坐标值。赤道为10000000米，往南递减。UTM系统采用的是横墨卡托投影，结果沿每一条南北格网线（只有带中心的一条格网线为经线），比例系数为常数，在东西方向则为变数。沿每一UTM格网的中心格网线的比例系数应为0999 60（比例尺较小），在南北纵行最宽部分（赤道）的边缘上，包括带的重叠部分，距离中心点大约 363公里，比例系数为 1. 00158。兰勃脱投影兰勃脱投影（Lambert C

6、onformal Conic： invented in 1772 ）Lambert兰勃脱投影是一种兰勃脱投影是一种正轴等角割圆锥投影，正轴等角割圆锥投影，由德国数学家兰勃特由德国数学家兰勃特17721772年拟定。兰勃特年拟定。兰勃特投影常用于小比例尺投影常用于小比例尺地形图。地形图。 1:1000000地形图编绘规范及图式 GB/T 14515-93”中规定1：100万地形图采用正轴等角圆锥投影（兰勃特等角投影）以中央经线为以中央经线为x轴，赤道为轴，赤道为y轴，两轴交点为坐标原点轴，两轴交点为坐标原点O。 我国位于北半球，我国位于北半球，x0, y 坐标坐标中央经线以西为负值中央经线以西为

7、负值,不方便不方便，将各带纵轴西移，将各带纵轴西移500公里。公里。通用坐标通用坐标 yA=245km yA=745km 纵轴西移纵轴西移500km yB=-168km yB=332km在在Y值前冠以带号值前冠以带号 yA通通=20 745km yB通通=20 332km五、地图投影的选择制图区域的地理位置、形状和范围制图区域的地理位置、形状和范围两极地区：两极地区：正轴方位投影正轴方位投影赤道附近：赤道附近：横轴方位投影横轴方位投影、正轴圆柱投影正轴圆柱投影中纬度地区：中纬度地区：正轴圆锥投影正轴圆锥投影、斜轴方位投影斜轴方位投影世界地图：世界地图：正切差分纬线多圆锥投影正切差分纬线多圆锥投

8、影、桑逊投影桑逊投影、摩尔威特摩尔威特投影投影、古德投影、古德投影正轴方位投影正轴方位投影投影中心为极点，纬线为同心圆，经线投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。圆。 包括等角、等积、等距三种变形性质，包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。主要用于制作两极地区图。 斜轴方位投影斜轴方位投影 投影面切于两极和赤道间的任意一点上。在这种投影中，中央经线投影为投影面切于两极和赤道间的任意一点上。在这种投影中，中央经线投影为直线

9、，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线。直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线。 2 地图投影 横轴方位投影横轴方位投影 平面与球面相切，其切点位于平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。赤道上的任意点。特点：特点：通过投影中心的中央经线和赤道投影通过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线投影后都是对称为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。于中央经线和赤道的曲线。 正轴圆柱投影的变形规律正轴圆柱投影的变形规律 在正轴切圆柱投影中，赤道无变形，在正轴切圆柱投影中，赤道无变形，自赤道向南北两侧的变形随着纬度的自赤道向南北两侧的变形随着纬度

10、的增高而增大。在割圆柱投影中，对称增高而增大。在割圆柱投影中，对称标准纬线上无变形，变形则从标准纬线标准纬线上无变形，变形则从标准纬线向赤道方向和向两极方向增加，标准纬向赤道方向和向两极方向增加，标准纬线以内为负增长，以外为正增长。线以内为负增长，以外为正增长。 投影后经线为交与圆锥顶点的直投影后经线为交与圆锥顶点的直线束；纬线为以圆锥顶点为中心的同线束；纬线为以圆锥顶点为中心的同心圆弧，经线的投影长度为同心圆弧心圆弧，经线的投影长度为同心圆弧的半径，两经线间的夹角与相应的经的半径，两经线间的夹角与相应的经差成正比。差成正比。该投影适合绘制中纬度沿东西方向延伸地区的地图。圆锥投影的变形分析圆锥

11、投影的变形分析等差分纬线多圆锥投影等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于这个投影是由我国地图出版社于19631963年设计的一种不等分纬线的多圆年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。是锥投影。是我国编制我国编制“世界地图世界地图”常用的一种投影。常用的一种投影。 这种投影的特点是这种投影的特点是赤道和中央纬线是互相垂直的直线，赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是其他纬线是对对称于赤道的同轴圆弧称于赤道的同轴圆弧，其，其圆心圆心均在均在中央经线中央经线上，其他经线为对称于中央经上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐线的曲线，每一

12、条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的渐缩小，按等差递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/21/2。 桑逊投影 它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于1650年所创。纬线为间隔相等的平行线，经线为对称与中央经线的正弦曲线。在每一条纬线上经线间隔相等。这种投影的所有纬线长度比均等于1。纬线长度无变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大于1，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。所以这种投影适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。 是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由

13、德国人摩尔魏特于1805年设计而得名。纬线为间隔不等的平行线，在中央经线上从赤道向南、北纬线间隔逐渐缩小；中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负90度的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半。在赤道上经线间隔相等。在这种投影上没有面积变形。长度和角度都有变形，赤道长度比等于0.9，中央经线和南北纬40度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大。在国外出版的一些地图中，这种投影常用在地图集和地理课本的封面上，英国1962年出版的飞利浦世界地图集中的世界地图采用这种投影 。摩尔威德投影摩尔威德投影(Mollweide Proj.）比例尺大比例尺地形

14、图：大于等于大比例尺地形图：大于等于5050万的均采用高斯万的均采用高斯- -克吕格投影克吕格投影中小比例尺：对投影变形要求不高中小比例尺：对投影变形要求不高地图的内容交通图、航海、航空图：等角投影分布图、类型图、区划图：等积投影世界时区图：正轴圆柱投影中小学的教学用图：等距投影出版方式单幅图系列图：选择同一变形性质的投影图集：同一系统的投影一、地理变换一、地理变换 地理变换是一种在地理坐标系（基准面）间转换数据的方法，当将矢量数据从一个坐标系统变换到另一个坐标系统下时，如果矢量数据的变换涉及基准面的改变时，需要通过地理变换来实现地理变换或基准面平移 地理变换方法：地理变换方法：三参数法三参数

15、法、七参数法七参数法二、投影变换二、投影变换 地图投影变换的实质是建立两平面场之间点的一一对应关系。假定原图点的 坐标为 x,y (称为旧坐标)，新图点的坐标为 X，Y(称为新坐标)，则由旧坐标变 换为新坐标的基本方程式为：三参数方法七参数法：1、解析变换法1）反解变换法(又称间接变换法) 假定原图点的坐标为x,y(称为旧坐标)，新图点的坐标为X，Y(称为新坐标)，则由旧坐标变换为新坐标的基本方程式为：2）正解变换法(又称直接变换法) 利用两投影间已知的若干离散点（亦称共同点），采用插值法、有限差分法或多项式逼近的方法，即用数值变换法来建立两投影间的变换关系式。 例如，采用二元三次多项式进行变

16、换: 通过选择10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小二乘法的条件式，进行解算系数。X,Yx,y不同地理坐标基准下的投影转换不同地理坐标基准下的投影转换WGS-84WGS-84与北京与北京5454坐标下不同投影转换的过程：坐标下不同投影转换的过程：分析：北京分析：北京5454坐标系坐标系是以克拉索夫斯基椭球为基础，长半轴a=6378245m；短半=6356863.0188m；扁率=1/298.3。WGS84坐标系，为地心坐标系，称为1984年世界大地坐标系统，采用的椭球是国际大地测量与地球物理联合会第17届大会大地测量常数推荐值，u （B B，L L）8484转换为（转换为（X X，Y Y

17、，Z Z）8484，即将，即将WGS84WGS84的地理的地理坐标转换为平面坐标坐标转换为平面坐标u（X X，Y Y，Z Z）8484转换为（转换为（X X，Y Y，Z Z）5454，即将，即将WGS84WGS84的平面的平面坐标转换为北京坐标转换为北京5454坐标系下的平面坐标。坐标系下的平面坐标。u（X X，Y Y，Z Z）5454转换为（转换为（B B，L L）5454u（B B，L L）5454通过投影公式得到所需要的平面坐标值通过投影公式得到所需要的平面坐标值尺度：在概念上指研究者选择观察世界的窗口分析采集处理现实世界（观测尺度）地图（比例尺）影像（分辨率）其它（操作尺度）用户接受的

18、信息 是指研究的区域大小或空间范围。与研究目的和研究内容有关（例如水资源研究、气候、城市分布）l地图比例尺：图上长度与地面之间的长度比例，反映了制图区域和地图的比例关系和数据的详尽程度。l地图主比例尺：在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率。地图比例尺表示方法： 数字式：即用阿拉伯数字表示。例如：1：100000（或简写作1：10万）。文字式：用文字注解的方法表示。例如：“百万分之一”或“图上1cm相当于实地10km”。图解式：用图形加注记的形式表示的比例尺。图解式主要包括：直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。无级比例尺概念：无级比例尺信息提取是指以一个大比例尺空间数据库为基础,通过制图综合使

19、得一定区域内空间对象的信息量随比例尺变化自动增减。二、比例尺等角正切圆柱投影（经线、纬线比例尺）等角正切圆柱投影（经线、纬线比例尺） 图像分辨率简单说来是成像细节分辨能力的一种度量，也是图像中目标细微程度的指标，它表示景物信息的详细程度。 光谱分辨率：对图像光谱细节的分辨能力表达用光谱分辨率(（spectral resolution）现在的技术可以达到56nm（纳米）量级，400多个波段。 时间分辨率：是指在同一区域进行的相邻两次遥感观测的最小时间间隔，时间分辨率(temporal resolution)；目前一般对地观测卫星为1525天的重访周期。通过发射合理分布的卫星星座可以35天观测地球

20、一次。 空间分辨率：图像目标的空间细节在图像中可分辨的最小尺寸称为图像的空间分辨率(spatial resolution )。 操作尺度是指对空间实体、现象的数据进行处理操作时应采用的最佳尺度，不同操作尺度影响处理结果的可靠程度或准确度。空间区域框架空间区域框架u 自然区域框架自然区域框架u行政区域框架行政区域框架u自然自然-行政综合区域框架行政综合区域框架u地理格网区域框架：有相应的投影方式和坐标系地理格网区域框架：有相应的投影方式和坐标系统，固定的坐标范围统，固定的坐标范围 。地形图采用。地形图采用一、地理格网定义及标准一、地理格网定义及标准u定义：地理格网是指按一定的数学规则对地球表定义

21、：地理格网是指按一定的数学规则对地球表面进行划分而形成的格网。面进行划分而形成的格网。1990年，年，GB12409-90国家标准国家标准地理格网地理格网，规，规定定10X10，4X6和直角坐标系统格网划和直角坐标系统格网划分。分。10X10适用于海洋、气象和地球物理适用于海洋、气象和地球物理u 格网划分体系：地理坐标格网、直角坐标格网格网划分体系：地理坐标格网、直角坐标格网 4 0 6 0格网系统 以纬度以纬度4 0和经度和经度6 0进行划分而构成的多级地理进行划分而构成的多级地理格网系统，主要适用于表示陆地与近海地区全国或格网系统，主要适用于表示陆地与近海地区全国或省（区）范围内各种地理信

22、息等。它的分级如下：省（区）范围内各种地理信息等。它的分级如下：格网等格网等级级1234567899格网单格网单元边长元边长30157.531. 50.750.30.155比例尺比例尺1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千1:20万 将地球表面按数学法则投影到平面上，再将地球表面按数学法则投影到平面上，再按一定的纵横坐标间距和统一的坐标原点对其按一定的纵横坐标间距和统一的坐标原点对其进行划分而构成的多级地理格网系统。主要适进行划分而构成的多级地理格网系统。主要适用于表示陆地和近海地区为工作规划、设计、用于表示陆地和近海地区为工作规划、设计、施工等应用需要

23、的地理信息。它的分级如下：施工等应用需要的地理信息。它的分级如下： 直角坐标格网系统直角坐标格网系统*直角坐标格网的比例尺与格网等级不是唯一对应的，一种比例尺对应两种格网等级，用户可根据需要选择一种。 格网等格网等级级12345678999格网边格网边长长(m)100050025010050251052.5200100比例尺比例尺1:100万万1:50万万1:25万万1:10万万1:5万万1:2.5万万1:1万万1:5千千1:20万万 在地理信息系统中，还需要用到在地理信息系统中，还需要用到1:2000:2000、1:10001:1000和和1:5001:500的地形图，在国家标准中未规定它的

24、地形图，在国家标准中未规定它们的格网等级和格网单元边长，可根据实际需要自们的格网等级和格网单元边长，可根据实际需要自行设计（一般为行设计（一般为2.52.5m m、2m2m、1m1m或或0.50.5m m的格网）的格网）。自行设计的格网系统自行设计的格网系统 上述三种地理格网均按地球象限、经纬度或直角坐标上述三种地理格网均按地球象限、经纬度或直角坐标进行划分，具有严格的数学基础，因此它们之间可以相互进行划分，具有严格的数学基础，因此它们之间可以相互转换。三种格网的分级各呈一定的层次关系，构成完整的转换。三种格网的分级各呈一定的层次关系，构成完整的系列，便于组成地区的、国家的或全球的格网体系系列

25、，便于组成地区的、国家的或全球的格网体系。 在在建立数字城市时，通常采用直角坐标格网系统。建立数字城市时，通常采用直角坐标格网系统。它它具有实地格网大小相等，便于将大比例尺解析测图仪生产具有实地格网大小相等，便于将大比例尺解析测图仪生产作业的数据作为信息系统的数据源和便于同卫星图像、作业的数据作为信息系统的数据源和便于同卫星图像、DTMDTM数据重叠匹配等优点。但采用高斯投影时，在分带边数据重叠匹配等优点。但采用高斯投影时，在分带边缘会产生许多不完整的网格，难以将分带计算产生的网格缘会产生许多不完整的网格，难以将分带计算产生的网格拚接在一个坐标系中。因此，若一个城市区域跨带时需先拚接在一个坐标

26、系中。因此，若一个城市区域跨带时需先进行换带计算，使整个城市纳入一个投影带，然后再建立进行换带计算，使整个城市纳入一个投影带，然后再建立地理格网。地理格网。二、区域多边形控制系统二、区域多边形控制系统u定义：由点、线、面等图形元素为基础所形成的定义：由点、线、面等图形元素为基础所形成的空间数据的组织系统。空间数据的组织系统。u区域多边形划分：区域多边形划分： 按照地理要素分布划分：土地利用类型、大陆、按照地理要素分布划分：土地利用类型、大陆、矿产矿产 按照综合的自然和社会要素划分按照综合的自然和社会要素划分三、综合自然分区三、综合自然分区GB/T13923-92国土基础信息数据分类与代码国土基

27、础信息数据分类与代码，基础地理信息数据分为：测量控制点、水系、，基础地理信息数据分为：测量控制点、水系、居民点、交通、管线、境界、地形、植被等居民点、交通、管线、境界、地形、植被等一、一、 地形图的分幅地形图的分幅 分幅方案：以1：100万地形图为基准，按照相同的经差和纬差定义更大比例尺地形图的分幅。百万分之一地图在纬纬度度060之间的图幅，图幅大小按经差6 ，纬差4分幅；在6076之间的图幅，其经差为12 ，纬差，纬差为为4 ；在7680之间图幅的经差为24 ，纬差为，纬差为4 ，所以我国各幅百万分之一地图都是经差6 ，纬差4分幅的。 每幅百万分之一内各级较大比例尺地形图的划分，按规定的相应

28、经纬差进行，其中，1：50万、万、1：20万、万、1：10万万三种比例尺地形图，以百万分之一地图为基础直接划分。三种比例尺地形图，以百万分之一地图为基础直接划分。一幅百万分之一地形图划分四幅1：50万地形图，每幅为经差3 ，纬差2 ；一幅百万分之一地图划分为36幅1：20万地形图，每幅为经差1 ，纬差40；一幅百万分之一地图划分144幅1:10万地形图，每幅为经差30，纬差20。 基本比例尺地形图的图幅大小及其图幅间的数量关系比例尺（万）图幅大小图幅间的数量关系经度纬度1：1006度4度11：503度2度411：201度40分36911：1030分20分14436411：515分10分57614416411：2.57.5分5分23045766416411:13分45秒2.5分92162304256641641 11 1：100100万地