第 二 章稳 态 热传导

1、第第 二二 章章 稳稳 态态 导导 热热一一 通过平壁的导热通过平壁的导热二二 通过复合平壁的导热通过复合平壁的导热三三 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热四四 通过肋壁的导热通过肋壁的导热五五 通过接触面的导热通过接触面的导热六六 二维稳态导热问题二维稳态导热问题第第 二二 章章 稳稳 态态 导导 热热 对于稳态，则有： t/=0，导热微分方程式可写成： 2t+qv/=0 若无内热源，上式简化为：02222222ztytxtt 为简化计算，工程中很多传热过程均可看作是一个一维的过程，本章主要讲述常见的几种一维导热问题。一一 通过平壁的导热通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：一、已知第一类边界

2、条件： 若平壁宽度、高度均大于10，该壁则为无限大平壁。如图，此时导热问题完整的数学描述为： d2t/d2x=0 t|s=tw t|x=0=tw1 t|x=tw2 对 d2t/d2x=0 一次积分得：dt/dx=C1 二次积分后得：t=C1x+C2 将边界条件代入上式求C1、C2有： tw1=C2 C1=-（tw1-tw2）/ tw2=C1+C2 C2=tw2 于是可得温度分布：txxtxtw1tw2qxttwwttw211/tw2tw1q通过平壁的导热通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：一、已知第一类边界条件： 据傅里叶定律即可求得导热热流密度： q = - dt/dx = （tw1-tw

3、2）/ 或写成热阻形式：q=（tw1-tw2）/（/）=（tw1-tw2）/R 若随t变化，如遵循=0（1+bt）规律时，则q应如下求解： 导热微分方程式为： 边界条件为： x=0 t=tw1 x= t=tw2 解微分方程得此时物体内部温度场： 此时平壁内温度分布为二次曲线关系。且： 当 b0时，q变q常；当 b0时，q变0b0b=0 xttttwwttwwbbwb21212211212120121wwbttttqww/21twwttq通过平壁的导热通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：一、已知第一类边界条件： 对如下图所示的多层平壁，对每个壁而言，均有： 将上式合并整理后得： 对于n层平壁，

4、则有： n层平壁中第i层与第i+1层之间接触面的温度tw，i+1为： tw,i+1=tw1-q（R,1+ R,2+ R,i）qtw1tw2tw3tw4124123211/1 ,1121wwRttttqww321/2,22132wwRttttqww431/3,3343wwRttttqww31,413,2,1 ,41iiwwwwRttRRRttqniinwwRttq1,11通过平壁的导热通过平壁的导热二、已知第三类边界条件：二、已知第三类边界条件： 已知：x=0处 tf1、h1；x=处 tf2、h2；、稳态、无内热源。 此具体导热问题完整的数学描述为： d2t/d2x=0 -dt/dx|x=0=h

5、1（tf1-t|x=0） -dt/dx|x= =h2（t|x= - tf2） 引入未知中间变量：tw1=t|x=0 tw2=t|x= 据傅里叶定律及前面结果，上三式可写为：q|x（0,）=（tw1-tw2）/ q|x=0=h1（tf1-tw1） q|x= =h2（tw2-tf2） 对于稳态，整理上列各式得：txtw1tw2/tf2tf1qtf1tf2h1h2tw1tw21/h11/h2通过平壁的导热通过平壁的导热二、已知第三类边界条件：二、已知第三类边界条件： 也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作： 若已知传热面积A，则热流量为：

6、211121hhffttq2111121hniiihffttqAhniAiiAhfftt2111121二二 通过复合平壁的导热通过复合平壁的导热1.当组成复合平壁的各种材科的导热系数相差不大时，为使问题简化，可近似地当作一维导热问题处理。 q=t/R 式中：t：复合平壁两侧表面的总温度差；R ：复合平壁的总导热热阻。据不同组合情况，按电工学串并联电路的方法求解。2.当组成复合平壁的各种材科的导热系数相差较大时，工程先仍按上述方法求出总热阻，然后引入修正系数，由实验确定，即：R实=R ABCDEFt1t2RARBRCRERDRF三三 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热一、已知第一类边界条件一、已知

7、第一类边界条件 当管长远大于壁厚，可忽略沿长度方向上温度的改变，又因圆筒壁的温度场轴对称，故为一维稳态温度场，此时有： t|s=tw r=r1 t=tw1 r=r2 t=tw2 微分方程两次积分后：t=c1lnr+c2 将边界条件代入上式后即得温度分布为： 将导热微分方程一次积分后有： dt/dr=c1/r 从上式知温度沿半径r的变化率与r成反比，温度分布曲线为一条下凹的曲线。另因总不变，而qr= /Ar，故在不同的Ar圆筒面上有不同的热流密度值。0:0122drdtdrddrdtrdrtdror121121lnln211lnln211:ddddrrrrwwwwwwttttortttt通过圆筒

8、壁的导热通过圆筒壁的导热一、已知第一类边界条件一、已知第一类边界条件 据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：/W 实际工程多采用单位管长的热流量单位管长的热流量q ql l来计算热流量： 式中分母为单位长度圆筒壁的导热热阻Rl，单位为m/W 多层圆筒壁与多层平壁计算相类似，导热量可用温差和总热阻来计算：122121lnddlwwttmWqddwwttlQl/122121lnmwqorqniilnwwnididinwwRttlttl/1,111112111ln通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热二、已知第三类边界条件二、已知第三类边界条件 如图

9、，此时的数学描述为： 同样引入未知中间变量tw1、tw2并引入前 述结果，即可得： 此时单位管长的热阻： 当冷热流体通过多层圆筒壁时的传热量为：0:0122drdtdrddrdtrdrtdror11|22|1111rrfrrdrdtttrhr222222|22|frrrrdrdtttrhr21ln221122111121ffllttlttkqorqhdddhdff2212111211lnhdddhdlR221112111121lnhdniididihdffttlq通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热三、临界热绝缘直径三、临界热绝缘直径 如图：已知热力管道内、外直径为d1、d2，外包导热系数为ins

10、的绝热保温材料，外径为dx，且己知1、h1、h2，此时总热阻为： 上式知：dx绝缘层导热阻 但： dx绝缘层外对流换热热阻 于是dRl存在极值，令： 当dx时，则据上式dx存在某一数值dc 使Rl有极小值，此值dc即为临界热绝缘直径。 dc=2 ins/ h2 当d2dc，若绝热层外径dx有：d2dx，且值较大，即 可忽略温度沿方向和长度的变化，认为：t=f（x）； 肋片端面，即x=H处绝热，即有：H=0。2.2.已知：已知：肋高H，肋宽L，肋厚，肋片材料的导热系数，流体温度为tf，肋与周围流体的复合换热系数为h，肋片断面周长为P=2（ L+ ），断面面积为：AL=L；肋基温度t0且大于tf

11、。3.3.表面对流换热作负的内热源处理。表面对流换热作负的内热源处理。使此问题变成一维稳态导热。一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热dx dxHLL00H0tfd=f(x)h1通过肋壁的导热通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热（此导热微分方程亦可由热力学第一定律导出）4.4.求解：求解：1.1.确定负内热源强度：确定负内热源强度：2.2.据一维稳态具内热源的微分方程据一维稳态具内热源的微分方程 d2t/d2x+qv/=0 有：有：3.3.边界条件：边界条件： a.t|x=0=t0 b.dt/dx|x=H=0 4.4.引入过余温度引入过余温度 ：令：=t-tf 0=t0-t

12、f 代入则变成： H=tH-tfLfLfAtthPdxAPdxtthdVdq有：令：2AhPfAhPdxtdm0tt221ttmf2xdtd22通过肋壁的导热通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热4.4.求解：求解：4.4.引入过余温度引入过余温度 ：式变为 5.5.解微分方程得温度场解微分方程得温度场 式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx 将边界条件、代入即得肋片沿H方向的温度分布： 或写作： 式中： 均是双曲线余弦函数。说明温度场呈双曲线余弦关系变化。2xddm22mHexpmHexpHxmexpHxmexp0eeee0:ormHmHHx

13、mHxmmHchHxmch02eeHXmHXmHxmch2eemHmHmHch通过肋壁的导热通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热4.4.求解：求解：6.6.肋端过余温度肋端过余温度 l l ：当x=H时，即得肋端过余温度的表达式：77肋片上、下两表面的总对流散热量：肋片上、下两表面的总对流散热量： 对求导且代入x=0即有： d/dx|x=0=-m0th（mH） 式中： 为双曲线正切函数。 于是有： 即：mHch1000|xdxdLxAmHmHmHmHeeeemHthmHthmhPmHthmA|A|00L0 xdxdL0 xmHthmhPmHthmA00L通过肋壁的导热通过肋壁

14、的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热5.5.对前面两个假设的讨论：对前面两个假设的讨论：前述结果是在H和肋端绝热的情况下得到的，故应用于簿而高的肋片上，计算结果显然是足够准确的。对于厚而短等必须考虑肋端散热的情形，可用一简便而又较准确的方法：以假想的肋高H+/2替代实际肋高H，代入上述式中计算。此时为考虑肋端的实际散热而将端面面积铺展到侧面上。引入无因次参数：毕渥准则数毕渥准则数Bi=hBi=h / / =（/）/（1/h）它反映了肋片沿厚度方向上的导热热阻与周围对热换热热阻的比值。此时当Bi0.05，即20RRh时，若忽略导热热阻所引起的计算误差不超过1%。否则，上述计算式不再适用

15、，要较准确地计算可用数值方法。通过肋壁的导热通过肋壁的导热求：求：气罐中气体的真实温度tf及测量误差（tf-tl）各是多少？解：解：铁套管可看成是从贮气罐罐体上伸出的肋片（自t0处向tl处），且将圆柱体展开作等截面直肋计算，只不过此时与气流对流换热的只有外表面一面。一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热6.6.例题：例题：对压气机贮气罐采用如图所示方法测量。己知如图。t0=50tl=100=58.2w/m=1h=29.1w/m2tf=?通过肋壁的导热通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热6.6.例题：例题：解：解：据 l=0/ch（ml） tl-tf=（t0-tf）/ch（m

16、l） 整理后有：tf=tl ch（ml）-t0/ch（ml）-1 经分析此时有：P=d AL=d 则： 代入数据计算得：ml=3.14 查表有：ch3.14=11.6 代入上式得： tf=（10011.6-50）/（11.6-1）=104.6 测量误差为：|tl-tf|=4.6 lllmlhddhAhPL通过肋壁的导热通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热一、等截面直肋的导热6.6.例题：例题：讨论：讨论：误差为：|tl-tf|=4.6 这样大的误差在工程上往往是不允许。据前述：测量误差l=tl-tf，又据l=0/ch（ml）知，要使l，则必须使ch（ml）ml，即ml可减少测量误差。据前面推出的

17、ml表达式：采用如下方法可减少测量误差。 ，即选用导热系数小的材料作套管； l及，即尽量加长套管并减少壁厚； h ，即强化套管与流体的对流换热。lmlh通过肋壁的导热通过肋壁的导热二、肋片效率二、肋片效率 f：表征肋片表面温度接近肋根温度的程度，也体现了肋片散热的有效程度有效程度。 对于等截面直肋，其实际散热量我们已求出，即： = ALm0th（mH） 其理想散热量为：理=h（t0-tf）A全表面=h0 A全表面 而全表面积： A全表面=Pl 代入经整理有： f=th（mH）/mH 另：设想实际肋片处于平均温度tm时，肋片散热量（即实际散热量）与肋片均处于肋基温度下的理想散热量之比，也可定义肋

18、片效率，对于矩形直肋同样可得到上述结果。 下面我们据肋片效率的公式等，来看看mH如何影响肋片效率。 热量于肋基温度下的理想散假定整个肋片表面均处肋片实际散热量f通过肋壁的导热通过肋壁的导热二、肋片效率二、肋片效率 f f1.由等截面肋片效率表达式知：当开始mlth（ml）， 若继续ml时 th（ml）， 当ml达到一定程度后， th（ml）1， 再继续ml后，将使f =th（ml）/ml。 说明：mlf。 2.另一面由肋端过余温度理解：如图， ml1/ch（ml） l=tl-tf=0 /ch（ml） mf=m/0，同样说明： mlf。提高H，f减小。3.肋高lH一定后，m值小对f有利，据m=（hP