流体力学A 7-3

1、1提 示坚持预习、复习2上次课主要内容n 简单势流流动： 均匀流、点源、点汇、涡流、偶极流 (速度分布、势函数、流函数)n 平面势流的叠加流动： 汇流与涡流叠加螺旋流动 均匀流与偶极流叠加绕圆柱体流动3第七章（理想）不可压缩流体平面势流 本章内容简介n有势流动有势流动的速度势函数势函数n流函数流函数n几种简单的势流流动势流流动n平面势流平面势流的叠加叠加流动n绕圆柱体有环量有环量的流动n复位势和复速度47-5 绕圆柱体有环量的流动1. 问题的实际背景背景: 汽轮机汽轮机、燃气轮机燃气轮机、轴流式泵与风机轴流式泵与风机的工作原理，飞机飞机的起飞与飞行；旋转的旋转的乒乓球乒乓球、足球足球、排球排球

2、、网球网球的运动等。均均可看作可看作由均匀流均匀流偶极流偶极流涡流涡流而成。 可以证明其等价于等价于理想理想不可压缩不可压缩流体在重力场重力场作用下绕圆柱体绕圆柱体有环量有环量的流动流动第七章 不可压缩流体平面势流57-5 绕圆柱体有环量的流动叠加后叠加后流动仍是不可压有势仍是不可压有势流动2. 前提前提条件： 只考虑只考虑理想理想不可压缩不可压缩流体在重力场重力场作用下的绕流流场。第七章 不可压缩流体平面势流 且假设假设：均匀流沿均匀流沿x轴正向轴正向；偶极流在偶极流在坐标原点坐标原点，且沿且沿x轴正向轴正向；涡流在坐标原点涡流在坐标原点且为顺时针顺时针方向。67-5 绕圆柱体有环量的流动2

3、02202cos12sin1ln2rrvrrrvrr2022021cos1sin2rrvvrrvvrr 3.叠加后叠加后速度势函数势函数和流函数流函数4.相应的速度场速度场第七章 不可压缩流体平面势流77-5 绕圆柱体有环量的流动0ln2r0rv 5.验证验证：均匀流偶极流涡流等价于等价于理想理想不可压缩流体在重力场作用下绕圆柱体有环量的流动1) 当r=r0时时，=常数常数， 这说明r=r0的圆周是一条流线一条流线。满足半径为r0的圆柱绕流的内边界条件内边界条件。第七章 不可压缩流体平面势流87-5 绕圆柱体有环量的流动viv=2)当r 时时，可求出求出 。 说明无穷远（即远离圆柱体）无穷远（

4、即远离圆柱体）处仍为处仍为均匀均匀流动，满足圆柱绕流的外边界条件外边界条件。第七章 不可压缩流体平面势流000( 2 sin)2vrdvrdr22003)沿柱面周线的速度环量周线的速度环量为97-5 绕圆柱体有环量的流动 综合1)、2)和 3)，由拉普拉斯方程边由拉普拉斯方程边值问题解的唯一性值问题解的唯一性，得：均匀流偶极流涡流的叠加流动是无穷远处速度为v的均匀流绕半径为r0的圆柱体有环量有环量的(理想理想不可压缩流体不可压缩流体的)流动。第七章 不可压缩流体平面势流107-5 绕圆柱体有环量的流动22w0112sin222ppvvr第七章 不可压缩流体平面势流6. 流场的压强分布压强分布为

5、：222ppvv0rr，0rr，7.驻点驻点位置0)0r rv(04 rvsin =-014 rv时，117-5 绕圆柱体有环量的流动第七章 不可压缩流体平面势流2 014 r v时，22 2031()42422rr vvv，014 r v时，127-5 绕圆柱体有环量的流动2w0022200011(2sin) ( cossin )222Fp nr dpvvijr drj v 8.作用在单位长圆柱单位长圆柱上的合力合力为：第七章 不可压缩流体平面势流0 xyFFv即圆柱绕流的库塔库塔- -儒科夫儒科夫斯基斯基升力公式升力公式137-5 绕圆柱体有环量的流动有环量有环量的圆柱绕流产生横向力横向力

6、的现象，称作麦格努斯麦格努斯（Magnus)Magnus)效应效应。第七章 不可压缩流体平面势流方向方向确定，如图7-14。14麦格努斯效应的应用第七章 不可压缩流体平面势流15课堂例题与练习9.还可以有其它种类其它种类平面势流的叠加势流的叠加，如P166例7-3，等。第七章 不可压缩流体平面势流例7-3 一不可压平面势流不可压平面势流，由位于(-2, 0)处的源流源流、位于(2, 0)处的汇流汇流及自左至右自左至右的均匀直线流复合均匀直线流复合而成成。已知源、汇流的强度均为qV=2m3/s，均匀直线流的速度为v= 4m/s ，试描述其流动描述其流动情况。16课堂例题与练习2222002222

7、ln()ln()22ln(2)ln(2)4VVqqxxyxxyv xxyxyx1100112()2()422VVqqyytgtgv yxxxxyytgtgyxx解：根据势流的叠加原理叠加原理，题中流场的速度势函数势函数和流函数流函数分别为第七章 不可压缩流体平面势流17课堂例题与练习22222222(2)(2)4(2)(2)(2)(2)xyxxvxxyxyyyvyxyxy00 xyvv速度分布速度分布为求解驻点坐标驻点坐标以确定流动的内边界内边界。为此，求解方程组第七章 不可压缩流体平面势流18课堂例题与练习2.236yx =0； =5114022yytgtgyxx得：因此，两驻点坐标两驻点坐

8、标分别为：零流线方程:令x=0，可解得零流线在y 轴上的坐标为b=1.285(-2.236, 0)，(2.236, 0)第七章 不可压缩流体平面势流19课堂例题与练习整个流场整个流场情况如图7-15所示。零流线零流线为一椭圆和x轴。椭圆长半轴椭圆长半轴为2.236，短半轴短半轴为1.285。椭圆外部的流动外部的流动等同于等同于均匀直线流均匀直线流绕椭圆轮廓物体绕椭圆轮廓物体的势流势流。该椭圆该椭圆称作兰金兰金(Rankine)体体。#第七章 不可压缩流体平面势流20通常称为平面平面不可压不可压无旋流场无旋流场的复势函数复势函数，简称复位势复位势或复势复势。*7-6 复位势和复速度 ,i,w z

9、x yx y, x y, x y1.复位势定义复位势定义:如下复变函数和分别是该流场的速度势速度势和流函数流函数。绪论其中，第七章 不可压缩流体平面势流21等价于实部和虚部分别等于常数实部和虚部分别等于常数。它们分别表示等势线等势线和流线流线。*7-6 复位势和复速度 w z 2.复位势等于常数等于常数常数第七章 不可压缩流体平面势流iiexydwvvvvdz 3.复位势的导数导数为复速度的共轭复速度的共轭，称为共共轭复速度轭复速度，即22*7-6 复位势和复速度2. 奇点法的精神奇点法的精神：首先研究首先研究某些简单简单的但具有基本意义基本意义的解析函数解析函数以及它们所对应所对应的基本流动

10、的基本流动，而后而后将这些基本的解析函数适当地叠加适当地叠加起来，形成一个新的解析函数新的解析函数及新的复合新的复合流动。一、平面流场平面流场的复变函数方法复变函数方法简介1.复变函数方法本身本身包含两种方法：奇点奇点法法和保角映射法保角映射法。第七章 不可压缩流体平面势流23代表源流源流和汇流汇流。 a 0 为源流， a 0 为逆时针涡流， b 0 为顺时针涡流）。3.对数对数函数式中b为实数实数。代表偶极流偶极流的流动。4. 倒数倒数函数式中c为实数实数。第七章 不可压缩流体平面势流25将平行于x轴均匀流均匀流和偶极流偶极流叠加，得复合复位势*7-6 复位势和复速度 12Mw zv zz三

11、、基本流动基本流动的叠加叠加1.圆柱的无环量绕流无环量绕流第七章 不可压缩流体平面势流26*7-6 复位势和复速度 1iln22Mw zv zzz2.圆柱有环量有环量的绕流绕流将圆柱绕流的复位势圆柱绕流的复位势与顺时针的涡流顺时针的涡流叠加加，得复合流动的复位势复合流动的复位势第七章 不可压缩流体平面势流27*7-6 复位势和复速度四、保角映射方法保角映射方法的基本思想基本思想1. 将绕流物体的剖面剖面C借助解析函数借助解析函数变换第七章 不可压缩流体平面势流到圆圆K上去上去，剖面C外区域外区域与圆圆K外区域外区域对应对应，由于圆柱体绕流问题的解圆柱体绕流问题的解是清楚清楚的，于是便可以求出任

12、意物体绕流问题求出任意物体绕流问题的解的解。28*7-6 复位势和复速度2. 可见，在复变函数方法中圆柱绕流问题圆柱绕流问题是最基本的是最基本的，其变换区域对应关系对应关系，如图7-17所示。第七章 不可压缩流体平面势流293.若设若设z=f() =F(z)是它的反函数是一个单值单值的解析函数解析函数，它将半径为R的圆圆K外外的区域的区域互为单值单值地且保角且保角地映射到任意映射到任意剖面剖面C外区域外区域上去，且满足：*7-6 复位势和复速度dzkd 点对应点；(k为一正实数正实数）。第七章 不可压缩流体平面势流30*7-6 复位势和复速度 2iln2kv RWkv 2iln2kv RW zkv F zF zF z于是，无穷远处来流速度为无穷远处来流速度为kv 的圆柱绕圆柱绕流问题的解流问题的解为则就是无穷远处来流速度为无穷远处来流速度为v 任意物体剖面任意物体剖面绕流绕流问题复位势复位势。第七章 不可压缩流体平面势流31*7-6 复位势和复速度4. 函数z=f()在理论上来说是存在的理论上来说