专题二第2讲-函数与方程

1、考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现出现(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题为载体，主要考查函数的最值问题主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题主干知识梳理1.函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根(1)函数的零点函数的零点对于函数对于函数f(x)，我们把使，我们把使f(x)0的实数的实数x叫做函数叫做函数f(x)的零点的零点.(2)函数的零点与方程根的关

2、系函数的零点与方程根的关系函数函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)g(x)的根，的根，即函数即函数yf(x)的图象与函数的图象与函数yg(x)的图象交点的横的图象交点的横坐标坐标.(3)零点存在性定理零点存在性定理如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线，且有曲线，且有f(a)f(b)0，所以函数所以函数f(x)2xx32在在(0,1)上递增，上递增，所以有所以有1个零点个零点.答案1且且f(0)10210，思维启迪 画画出函数图象，利用数形结合思想解决出函数图象，利用数形结合思想解决.解析先画出先画出y轴右边

3、的图象，如图所示轴右边的图象，如图所示.f(x)是偶函数，是偶函数，图象关于图象关于y轴对称，轴对称，可画出可画出y轴左边的图象，再画直轴左边的图象，再画直线线y .设与曲线交于点设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出，先分别求出A，B两两点的横坐标点的横坐标.令令cos x ，x0， ，根据对称性可知直线根据对称性可知直线y 与曲线另外两个交点的横坐与曲线另外两个交点的横坐标为标为xC ，xD .f(x1) ，则在直线则在直线y 上上及其下方的图象满足，及其下方的图象满足，思维升华函数零点函数零点(即方程的根即方程的根)的确定问题，常见的有的确定问题，常见的有函函数零点值大致存在区间的确定

4、；数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确零点个数的确定；定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.变式训练 1 (1)已知已知函数函数f(x)( )xcos x，则，则f(x)在在0,2上的上的零点零点个数个数是是_.解析f(x)在在0,2上的零点个数就是函数上的零点个数就是函数y( )x和和ycos x的图象

5、在的图象在0,2上的交点个数，而函数上的交点个数，而函数y( )x和和ycos x的图象在的图象在0,2上的交点有上的交点有3个个.3(2)已知已知a是函数是函数f(x)2xlog x的零点，若的零点，若0 x0a，则，则f(x0)和和0的大小关系是的大小关系是_.即即f(a)0，当当0 x0a时，时，f(x0)0.解析f(x)2xlog x在在(0，)上是增函数，上是增函数，又又a是函数是函数f(x)2xlog x的零点，的零点，f(x0)0热点二函数的零点与参数的范围例例2对任意实数对任意实数a，b定义运算定义运算“ ”：a b 设设f(x)(x21) (4x)，若函数，若函数yf(x)k

6、的图象与的图象与x轴恰有三个不同交点，则轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是的取值范围是_.思维启迪 先先确定函数确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求的解析式，再利用数形结合思想求k的范围的范围.解析解不等式解不等式x21(4x)1，得得x2或或x3，所以所以f(x)函数函数yf(x)k的图象与的图象与x轴恰有三轴恰有三个个不同不同交点转化为函数交点转化为函数yf(x)的图象和的图象和直线直线yk恰有三个不同交点恰有三个不同交点.如图，所以如图，所以1k2，故，故2k1.答案2,1)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图

7、象交点个数；也可以数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解等式进行求解.思维升华变式训练 2 定义在定义在R上的函数上的函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区的单调增区间为间为(1,1)，若方程，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰有恰有6个不个不同的实根，则实数同的实根，则实数a的取值范围是的取值范围是_.解析函数函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间的单调增区间为为(1,1)，1和和1是是f(x)0的根，的根，f(x)3ax22bxc，变式训练 3 已知一家公司生产某种品牌服装

8、的年固定成本为已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，万元，每生产每生产1千件需另投入千件需另投入2.7万元万元.设该公司一年内生产该品设该公司一年内生产该品牌服装牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万万元元，且且R(x)(1)写出年利润写出年利润W(万元万元)关于年产量关于年产量x(千件千件)的函数解析式；的函数解析式；解当当010时，时，WxR(x)(102.7x)98 2.7x.(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？生产中所获得的年利润最大？(注：

9、年利润年销售注：年利润年销售收入年总成本收入年总成本)解当当00；当当x(9,10)时，时，W0，当当x9时，时，W取得最大值，取得最大值，且且Wmax8.19 931038.6.当且仅当当且仅当 2.7x，故当故当x 时时，W取最大值取最大值38.即即x 时时，W38，综合综合知：当知：当x9时，时，W取最大值取最大值38.6万元，故当万元，故当年产量为年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大所获年利润最大.1.函数与方程函数与方程(1)函数函数f(x)有零点有零点方程方程f(x)0有根有根函数函数f(x)的图的图象与象与x轴有交点轴有

10、交点.(2)函数函数f(x)的零点存在性定理：的零点存在性定理：如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不断的曲上的图象是连续不断的曲线，并且有线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数f(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使，使f(c)0.本讲规律总结如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的曲线，并且函数曲线，并且函数f(x)在区间在区间a，b上是一个单调函数，上是一个单调函数，那么当那么当f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数f(x)在区间在区间(a，b)内不一定没有零点内不一定没

11、有零点.2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.3.应用函数模型解决实际问题的一般程序应用函数模型解决实际问题的一般程序与与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产函数有关的应用题，经常涉

12、及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答和导数的有关知识加以综合解答. 真题感悟 押题精练真题与押题解析作出函数作出函数f(x)的图象如图的图象如图所示，其中所示，其中A(1,1)，B(0，2).12真题感悟12真题感悟因为直线因为直线ymxmm(x1)恒过定点恒过定点C(1,0)，故当直线故当直线ym(x1)在在AC位置

13、时，位置时，m ，可知当直线可知当直线ym(x1)在在x轴和轴和AC之间运动时两图象有之间运动时两图象有两个不同的交点两个不同的交点(直线直线ym(x1)可与可与AC重合但不能与重合但不能与x轴重合轴重合)，此时，此时0m ，g(x)有两个不同的零点有两个不同的零点.当直线当直线ym(x1)过点过点B时，时，m2；由由(2m3)24m(m2)0，12真题感悟解得解得m ，可知当可知当ym(x1)在切线和在切线和BC之间运动时两图象有两之间运动时两图象有两个不同的交点个不同的交点(直线直线ym(x1)可与可与BC重合但不能与重合但不能与切线重合切线重合)，12真题感悟2.(2014北京改编北京改

14、编)加工爆米花时，爆开且加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可可食用率食用率”.在特定条件下，可食用率在特定条件下，可食用率p与加工与加工时间时间t(单位：分钟单位：分钟)满足函数关系满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数是常数)，如图记录了三次实验，如图记录了三次实验的数据的数据.根据上述函数模型和实验数据，可根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为以得到最佳加工时间为_分钟分钟.真题感悟21真题感悟21解析根据图表，把根据图表，把(t，p)的三组数据的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，分别代入函数关系式，所以当所以当t 3.75时，时，p取得最大值，即最佳加工时取得最大值，即最佳加工时间为间为3.75分钟分钟.答案3.75真题感悟211.已知函数已知函数f(x) 则则函数函数yff(x)1的零的零点有点有_个个.解析当当f(x)0时，时，x1或或x1，故，故ff(x)10时，时，f(x)11或或1.当当f(x)11，即，即f(x)2时，解得时，解得x3或或x ；当当f(x)11，即，即f(x)0时，解得时，解得x1或