《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(3)

1、 1、图乘法及其的应用条件、图乘法及其的应用条件梁与刚架梁与刚架的的位移计算公式（积分法）为：位移计算公式（积分法）为： PM MdxEI 等截面直杆，等截面直杆，EI =常数；常数； 两个弯矩图至少有一个是直线。两个弯矩图至少有一个是直线。 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。图形的面积与竖标的乘积的运算。MiMi = x tgxy0 x0Ay0 = x0 tgyxodA = Mk dx1BBikikAAM MdsM M dxEIEI11BBiAAM dAxtgdAEIEI1

2、BAtgxdAEI01A yEI01A yEI 位移计算公式位移计算公式（图乘法）（图乘法） Mk图图Mi图图dxMkC01Ax tgEI应用图乘法计算的注意点：应用图乘法计算的注意点： y0 与与A 的取值：的取值： y0 一定取自直线图形，一定取自直线图形，对应对应取取A 图形的形心处。图形的形心处。 A 则取则取自另一个图形自另一个图形，且取，且取A 的图形的形心位置是已知的。的图形的形心位置是已知的。 若若 y0 与与A 在杆轴或基线的在杆轴或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积A y0 取正号取正号；若；若 y0 与与A 不在不在杆轴杆轴或基线的或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积A

3、y0 取负号取负号。2、几种常见图形的面积和形心的位置、几种常见图形的面积和形心的位置二次抛物线二次抛物线A = 2hl/3二次抛物线二次抛物线A = hl/3二次抛物线二次抛物线A = 2hl/3h三角形三角形A = hl/2顶点顶点顶点顶点顶点顶点hhl/2l/2h2l/3l/33l/4l/45l/83l/8例例5-7：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的简支梁的简支梁 B 端截面的角位移。端截面的角位移。qBAlCBA2l解：解： 画出两种状态的弯矩图。画出两种状态的弯矩图。 图乘计算图乘计算 ：B23121()382BqllEIqlEI 28ql1121PMMlAB1ABq34llA

4、B212ql例例5-8：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的悬臂梁的悬臂梁 A端的竖向位移。端的竖向位移。解：解： 画出两种状态的弯矩图。画出两种状态的弯矩图。 图乘计算图乘计算 ：AV241133248AVqlllEIqlEI PMMABPMABMcdMABCD 如果两个如果两个图形都是直线图形，则图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形可取自其中任一图形。3、应用图乘法时的几个具体问题、应用图乘法时的几个具体问题 如果如果EI 分段为常数分段为常数或或取取 y0 的图形为折线的图形为折线时，时，应分段图乘再叠加。应分段图乘再叠加。 如果如果图形比较复杂图形比较复杂，则可将其，则可将

5、其分解为几个简单图形分解为几个简单图形，分项图乘计算后分项图乘计算后再进行叠加。再进行叠加。ABCDPM12133ycd22133ydcl/3l/3l/3y2y1abA1A2A1A2A3y1y2y30112233AyA yA yA yA1A2y1y201122AyA yA y非标准抛物线图形非标准抛物线图形311 393248aFaaFaEIEI 32()231323()2 24224Fa aaEIaaaFaFaEIFaFa？练习练习5-1：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的简支梁的简支梁 中点中点C的竖向位移。的竖向位移。aaaFFCBACBA2l134aPMMFF2a2a3a211()

6、()23 2CVFllEI练习练习5-2：求图示悬臂梁求图示悬臂梁C点的挠度。点的挠度。1？FPMMCAB2l2lFlABC2l56Fl312FlEI115()2 2 26CVllFlEI 3548FlEI1611ly1y2y3A1A2A3例例5-9：求图示刚度均为求图示刚度均为 EI 的刚架结点的刚架结点 B 的水平位移。只考虑弯曲变形影响。的水平位移。只考虑弯曲变形影响。qllABC22ql22ql2ql23121224qlqlAlA 1223lyy23123812qlqlAl 12ly 1122331()BHA yA yA yEI224123()2()431228qllqllqlEIEI

7、PMM28qll练习练习5-3：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊的计算简图。已知：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊的计算简图。已知：q = 625N/m, EI = 3.6465 104 N m2 。求。求C点的挠度。点的挠度。解：解：20010.8A1y1A3y3A2y211200 2.22202A 120.80.5333y 22378 2.25553A 210.80.42y 31200 0.853.33A 330.80.64y 31220 0.533555 0.453.3 0.63.64652 100.2( )mcm 1122331()CA yA yA yEI378q = 625 N/m2.2m0

8、.8mABCPM（N m）M（m）41523234(8)(16)()(1)63343EI4013.333EIEI1练习练习5-5：试求图示简支梁试求图示简支梁 B 端截面的角位移。端截面的角位移。14 kN m4 kN12 kN m4m4mEIAB2 kN/m5 kN（kN m）PM（m）My1A2y2A1A3y312112233441()BA yA yA yA yEIA4y414 482A121153326y 28 4162A212123323y 32324 433A 334y 4214812333y 4114122A 12841116 8642A 218 142A 112y 22120(4