大学物理教学资料——振动力学1ppt课件

1、振动力学振动力学1.振动是一种重要的运动形式。振动是一种重要的运动形式。一般概念一般概念: 指任一物理量指任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一数值在某一数值附近反复变化。附近反复变化。2.振动有各种不同的形式。振动有各种不同的形式。机械振动：位移机械振动：位移 x随时间随时间t的往复变化的往复变化显著的两个特点显著的两个特点1有平衡点有平衡点 （2具有重复性，即是周期性运动。具有重复性，即是周期性运动。电磁振动：电场、磁场等电磁量随电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化的往复变化微观振动：如晶格点阵上原子的振动微观振动：如晶格点阵上原子的振动简谐振动是最简单、最基本的振动，理想

2、化模型简谐振动是最简单、最基本的振动，理想化模型可用来研究复杂的振动。可用来研究复杂的振动。描述和研究方法相同描述和研究方法相同简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征22dtxdmkxF0222xdtxd质点在线性回复力：质点在线性回复力： F= kx作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。xmox由牛顿第二定律由牛顿第二定律得出简谐振动动力学方程得出简谐振动动力学方程其中其中mk常见的简谐振动常见的简谐振动l单摆单摆22sindtdmlmamgsin022lgdtd当当有有解出解出0222dtd小角度单摆是简谐振动。其中小角度单摆是简谐振动。其中lgglT2

3、2mglsinmgAvtAdtdxvm)sin(22222)cos(AaxtAdtxdam简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程解动力学方程解动力学方程0222xdtxd得到得到) cos(tAx其中其中 A 、为积分常数，由初始条件确定。为积分常数，由初始条件确定。振子运动的速度、加速度为：振子运动的速度、加速度为：这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，称为这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，称为简谐振动简谐振动 。对简谐振动：对简谐振动：) cos(tAx)sin(tAdtdxv22020vxA代入初始条件代入初始条件t0）：位移为）

4、：位移为x0，速度为，速度为v0 有有x0 = Acos， 0 = -Asin求出求出)(001xvtg由上式定出的由上式定出的，在，在0到到2(或或-到到)之间一般之间一般有两个值，需代回上面有两个值，需代回上面x0或或0 的式中，的式中，以判断取舍。以判断取舍。对简谐振动：对简谐振动：) cos(tAx)sin(tAdtdxv22020vxA代入初始条件代入初始条件t0）：位移为）：位移为x0，速度为，速度为v0 有有x0 = Acos， 0 = -Asin求出求出二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量l振幅振幅A： 谐振子离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振子离开平衡位置的最大

5、位移的绝对值。 A与与x0， 0 有有关关l频率和周期：由系统本身固有情况决定频率和周期：由系统本身固有情况决定l 周期周期T：谐振子作一次全振动所需的时间。：谐振子作一次全振动所需的时间。l 频率频率 ：单位时间：单位时间1s内全振动的次数。内全振动的次数。l 角频率角频率 ：2秒内的振秒内的振 动次数。动次数。T= 1/ 2/ = 2 =2/T 对简谐振动：对简谐振动：) cos(tAx)sin(tAdtdxv22020vxA代入初始条件代入初始条件t0）：位移为）：位移为x0，速度为，速度为v0 有有x0 = Acos， 0 = -Asin求出求出)(001xvtgl相位相位 ：决定谐振

6、子运动状态。：决定谐振子运动状态。 )(t初相位初相位 ：t0时刻的相位。时刻的相位。由上式定出的由上式定出的，在，在0到到2(或或-到到)之间一般之间一般有两个值，需代回上面有两个值，需代回上面x0或或0 的式中，的式中，以判断取舍。以判断取舍。l两个同频率的谐振动相位差等于初相差两个同频率的谐振动相位差等于初相差 = (t + 2) - (t + 1) = 2 - 1 当当 = 2k， ( k = 0,1,2,)两振动步调相同，两振动步调相同， 称称同相同相 当当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,)两振动步调相反，称两振动步调相反，称反相反相x2TxoA1-A1A2- A2x1t

7、反相反相xoA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相 (a) 两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 (b) 两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线 21212121:AAvvAAxxxx21212121:AAvvAAxxxx假设假设 = 2-1 0，则振动，则振动2的相位比振动的相位比振动1的相位超的相位超前。前。假设假设 = 2-1 0，则振动，则振动2的相位比振动的相位比振动1的相位的相位落后。落后。xx2ToA1-A1A2- A2x1t 振动的领先和落后振动的领先和落后 在半个周期里看，在半个周期里看， 谁先达到最大值谁先达到最大值, 就说谁领先。就说谁领先。对简谐振动对简谐振动

8、)cos(tAx)2cos()sin(tAtAv)cos()cos(22tAtAa注意三者相位的关系xa234o,xav,tAAA2vV比x超前/2；a比v超前/2例题例题 任意形状的刚体悬挂后绕通过任意形状的刚体悬挂后绕通过o点的点的一固定定轴摆动，这种装置称为复摆。其一固定定轴摆动，这种装置称为复摆。其绕通过绕通过o点的一固定定轴转动惯量为点的一固定定轴转动惯量为I。试。试证明当小角度摆动时为简谐振动。证明当小角度摆动时为简谐振动。sin22mghdtdIsin022Imghdtd对小角度对小角度也是简谐振动，且也是简谐振动，且ImghmghIT22oCmg h由题得由题得例题例题 在一轻

9、弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧克砝码时，弹簧伸伸长长8厘米，现在这根弹簧下悬挂厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物克的物体。将物体从平衡位置向下拉动体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的厘米并给予向上的21厘米厘米/秒的秒的初速度。选初速度。选X轴向下，求振动的表达式。轴向下，求振动的表达式。m/N.lgmk08089100解：s/rad.mk072500808910s/m.vm.x21004000m./vxA05022020rad.xvtg640001)SI)(.tcos(.x6407050象限第象限第象限第13104100,tg,x三、简谐振动的旋转矢

10、量表示法三、简谐振动的旋转矢量表示法 将物理量用几何模型来描述。将物理量用几何模型来描述。想象：矢量想象：矢量 A 以角速度以角速度 逆逆时针绕时针绕0作匀速圆周运动，研作匀速圆周运动，研究端点究端点 M 在在 x 轴上投影点的轴上投影点的运动，运动，oxyAMcos0Ax t0时刻时刻) cos(tAxt时刻时刻A矢端在矢端在x轴上的投影轴上的投影:作简谐振动作简谐振动oxyMxoAMtx对应关系：对应关系：旋转矢量旋转矢量 简谐振动简谐振动长度长度A 振幅振幅A角速度角速度 圆频率圆频率 初角位置初角位置 初相位初相位 角位置角位置 t 相位相位 t 因而可用旋转矢量来直观地表示简谐振动，

11、因而可用旋转矢量来直观地表示简谐振动，尤其是在表示振动相位、振动合成等时候。尤其是在表示振动相位、振动合成等时候。Ax0tx0=0 x 0 0由由x0定两矢量定两矢量再由再由v0的正负取其一的正负取其一V00在下半圆在下半圆某矢量某矢量A绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针匀速旋转，逆时针匀速旋转，已知已知t0时刻，某矢量在时刻，某矢量在x轴轴的投影的投影x0如何确定该矢量具体位置？如何确定该矢量具体位置？3 xv0 00 x0A/2则由左图给出则由左图给出20Ax 00 v例：例：? Atx0=0 txx t0 0at2tv)2cos(tAv)cos(2tAa与简谐振动速度、加速度描述一样与简

12、谐振动速度、加速度描述一样 M 点的运动速度 V=A在x轴的投影为： M M 点的加速度点的加速度2Aa在在x x轴上投影加速度轴上投影加速度otx2/A例：一简谐振动的例：一简谐振动的 x-t 曲线如图，曲线如图，试求该简谐振动的园频率、初位试求该简谐振动的园频率、初位相及振动方程。相及振动方程。5ox3解：解：)3(2t656)36cos(tAxt=5s代入221mvEk221kxEpmktAvtAx/)sin()cos(2与及考虑到)(cos21)(sin212222tkAEtkAEpk可得到：CkAEEEpk221:弹簧振子的总机械能为因此，我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。

13、设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具有的动能EK 和势能EP 分别为简谐振动的能量强度）简谐振动的能量强度）A2A2做简谐振动系统的能量守恒。做简谐振动系统的能量守恒。例例 一轻弹簧，下挂一质量为一轻弹簧，下挂一质量为0.1kg的砝码，砝码静止的砝码，砝码静止时，弹簧伸长时，弹簧伸长0.05m。如果再把弹簧向下拉。如果再把弹簧向下拉0.02m后放后放开，求砝码的振动频率，振幅和能量。开，求砝码的振动频率，振幅和能量。xmgk解：解：)/(1405. 08 . 9/sradxgmxmg)(23. 22142HzfA=0.02m)(1092. 302. 0)05. 08 . 91 . 0(2121322JkAE例题例题 一个轻弹簧在一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体。现将一物体)( 52SIymfmK上将停在MmgsmAam22/5小物体与大物体分离。处平衡位置上方，则在如果mmAmxgx196. 0196. 0196. 02悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物