第4章控制系统的特性分析

1、系统的数学模型系统的数学模型 传递函数模型、零极点增益模型和状态空间模传递函数模型、零极点增益模型和状态空间模型之间模型转换函数型之间模型转换函数第三章第三章 系统的数学模型系统的数学模型231)(2sssG试求系统的状态空间表达式。试求系统的状态空间表达式。MATLAB MATLAB 程序如下：程序如下：num=1;den=1 3 2;A,B,C,D=tf2ss(num,den);ABCD 练习练习1： 已知连续系统的传递函数模型为已知连续系统的传递函数模型为第三章第三章 系统的数学模型系统的数学模型23G(s)s试求该负反馈系统的传递函数。试求该负反馈系统的传递函数。MATLAB MATL

2、AB 程序如下：程序如下：num1=3;den1=1 2;num2=1;den2=1 0;num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,-1);printsys(num,den) 练习练习2： 已知连续系统的前向传递函数已知连续系统的前向传递函数 反馈传递函数为反馈传递函数为s1H(s) 第第4 4章章 控制系统的特性分析控制系统的特性分析主要介绍控制系统主要介绍控制系统稳定性稳定性能控能观性分析方法能控能观性分析方法本章重点本章重点对于一个给定的控制系统，稳定性分析对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的通常是最重要的4 41 1 稳定性分析稳定性分析连续

3、系统的稳定性连续系统的稳定性根据闭环极点在根据闭环极点在s s平面内的位置予以确定。如平面内的位置予以确定。如果一个连续系统的闭环极点都位于左半果一个连续系统的闭环极点都位于左半s s平面，平面，则该系统是稳定的则该系统是稳定的离散系统的稳定性离散系统的稳定性根据闭环极点在根据闭环极点在z z平面的位置予以确定。如果平面的位置予以确定。如果一个离散系统的闭环极点都位于一个离散系统的闭环极点都位于z z平面的单位平面的单位圆内，则该系统是稳定的圆内，则该系统是稳定的以往在分析系统的稳定性时，在特征方以往在分析系统的稳定性时，在特征方程不易求根的情况下，常采用间接的方法来程不易求根的情况下，常采用

4、间接的方法来判定系统的稳定性，如利用判定系统的稳定性，如利用RouthRouth和和HurwizeHurwize稳定判据判定系统稳定性。稳定判据判定系统稳定性。随着随着MATLABMATLAB这样具有强大科学计算功能这样具有强大科学计算功能的语言的出现，利用的语言的出现，利用MATLABMATLAB直接对特征方程直接对特征方程求根判定系统稳定性已变的轻而易举。求根判定系统稳定性已变的轻而易举。4 41 11 1 直接求根判定系统稳定性直接求根判定系统稳定性05322s2345ssss例：系统的特征方程如下所示，计算特征根例：系统的特征方程如下所示，计算特征根并判别系统的稳定性并判别系统的稳定性

5、Matlab程序：p=1 1 2 2 3 5;roots(p)结果：ans = 0.7207 + 1.1656i 0.7207 - 1.1656i -0.6018 + 1.3375i -0.6018 - 1.3375i -1.2378 例例4-1 4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为45321)(234sssssG试判定系统的稳定性。试判定系统的稳定性。MATLAB MATLAB 程序如下：程序如下： numo=0 0 0 0 1deno=2 3 1 5 4numc=numodenc=numo+deno z,p=tf2zp(numc,denc)ii=fi

6、nd(real(p)0)n=length(ii)if(n0),disp(system is unstable)else,disp(system is stable)end%求特征方程求特征方程%求闭环极点实部大于求闭环极点实部大于0的个数的个数运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：system is unstable说明说明1)在命令窗口可看到在命令窗口可看到z = Empty matrix: 0-by-1p = 0.5230 + 1.1591i 0.5230 - 1.1591i -1.5460 -1.0000 得知：有两个极点位于右半得知：有两个极点位于右半s s平面平面2 2）利用）利用

7、MATLABMATLAB语句还可以得到系统的语句还可以得到系统的 不稳定极点：不稳定极点： 0.5230 + 1.1591i 0.5230 - 1.1591idisp(the unstable poles are:)disp(p(ii)运行得到结果：运行得到结果：the unstable poles are:例例4-2 4-2 已知一个离散控制系统的闭环传递函数为已知一个离散控制系统的闭环传递函数为68. 035. 14 . 15156. 12)(232zzzzzs试判定系统的稳定性。试判定系统的稳定性。num=2 1.56 1den=5 1.4 -1.3 0.68z,p=tf2zp(num,

8、den)ii=find(abs(p)1)n=length(ii)if(n0),disp(system is unstable)else,disp(system is stable)endMATLAB MATLAB 程序如下：程序如下： 运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：system is stable说明说明在命令窗口可看到在命令窗口可看到z = -0.3900 + 0.5898i -0.3900 - 0.5898ip = -0.8091 0.2645 + 0.3132i 0.2645 - 0.3132i所谓最小相位系统所谓最小相位系统对连续系统来说，除了系统本身是稳定的，系统对连续系统

9、来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于左半的所有零点还都必须位于左半s s平面；平面；对离散系统来说，除了系统本身是稳定的，系统对离散系统来说，除了系统本身是稳定的，系统的所有零点还都必须位于的所有零点还都必须位于z z平面的单位圆内。平面的单位圆内。很明显，利用很明显，利用MATLABMATLAB对稳定系统的零点情况进行对稳定系统的零点情况进行分析即可判定系统是否为最小相位系统分析即可判定系统是否为最小相位系统利用利用MATLABMATLAB直接求系统零点、极点的判定方直接求系统零点、极点的判定方法除了可以判定系统的稳定性外，同时还可以判法除了可以判定系统的稳定性外，同时还可

10、以判定系统是否为最小相位系统。定系统是否为最小相位系统。mm=find(abs(z)1)nn=length(mm)if(nn0),disp(system is a nonminimal phase one)else,disp(system is a minimal phase one)endsystem is a minimal phase one运行得到结果：运行得到结果：例例4-1 4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为45321)(234sssssG试试判定系统是否为最小相位系统判定系统是否为最小相位系统。在在MATLABMATLAB中，可以利用相关

11、函数形中，可以利用相关函数形象的绘制出连续（离散）系统的零点、象的绘制出连续（离散）系统的零点、极点图，从而判定系统的稳定性极点图，从而判定系统的稳定性4 41 12 2 绘制系统零点、极点图判定稳定性绘制系统零点、极点图判定稳定性考虑例考虑例4-14-1，可输入以下，可输入以下MATLABMATLAB语句来绘制连语句来绘制连续系统的零点、极点图续系统的零点、极点图 MATLAB MATLAB 程序如下：程序如下： numo=0 0 0 0 1deno=2 3 1 5 4numc=numodenc=numo+denopzmap(numc,denc)45321)(234sssssG由图可看出，有

12、两个极点位于右半由图可看出，有两个极点位于右半s s平面，所以很容易平面，所以很容易判定此连续系统是不稳定的判定此连续系统是不稳定的考虑例考虑例4-24-2，可输入以下，可输入以下MATLABMATLAB语句来绘制离散语句来绘制离散系统的零点、极点图系统的零点、极点图MATLAB MATLAB 程序如下：程序如下： num=2 1.56 1den=5 1.4 -1.3 0.68zplane(num,den)68. 035. 14 . 15156. 12)(232zzzzzs由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z z平面平面的单位圆内，所以可判定此此系

13、统为最小相位系统的单位圆内，所以可判定此此系统为最小相位系统能控性分析是系统输入对状态的控制能力能控性分析是系统输入对状态的控制能力能观性分析是系统输出对状态的反映能力能观性分析是系统输出对状态的反映能力4.2 4.2 能控能观性分析能控能观性分析对对n n阶线性定常连续系统阶线性定常连续系统4 42 21 1 能控能观性判别能控能观性判别DuCxyBuAxx 其能控的充要条件为：能控性矩阵其能控的充要条件为：能控性矩阵)(12BABAABBQnc满秩，即满秩，即nQrankc)(其能观的充要条件为：能观性矩阵其能观的充要条件为：能观性矩阵 满秩，即满秩，即nQranko)(TnoCACACA

14、CQ)(12对离散系统，能控性和能观性有上述类似结论对离散系统，能控性和能观性有上述类似结论例例4-4 4-4 已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为uxx515423201560 xy211试判定系统的能控性和能观性试判定系统的能控性和能观性MATLAB 程序如下：程序如下：A=0 6 -5;1 0 2;3 2 4B=5;1;5C=1 1 2Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if(n=3),disp(system is controllable)else,disp(system is uncontrollable)endQo=obsv(A,C)m=rank(Qo)if

15、(m=3),disp(system is observable)else,disp(system is unobservable)end运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：system is controllablesystem is observable对系统的状态空间描述，经常由于状态对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的状态空间表达变量选择的非唯一性，得到的状态空间表达式不唯一。式不唯一。在实际应用中，我们可根据所研究的问在实际应用中，我们可根据所研究的问题选取相应的状态表达形式。将状态空间表题选取相应的状态表达形式。将状态空间表达式化成对角线标准型或约旦标准型

16、，对系达式化成对角线标准型或约旦标准型，对系统能控性和能观性的分析将十分方便统能控性和能观性的分析将十分方便对于系统的状态反馈则将状态空间表达式对于系统的状态反馈则将状态空间表达式化成能控标准型是比较方便的；化成能控标准型是比较方便的；对系统状态观测器的设计及系统辨识，则对系统状态观测器的设计及系统辨识，则将系统状态空间表达式化成能观标准型研究起将系统状态空间表达式化成能观标准型研究起来比较方便。来比较方便。系统系统能控能控充要条件为：充要条件为：控制矩阵控制矩阵B B中没有元素全为零的行；中没有元素全为零的行；系统系统能观能观的充要条件为：的充要条件为：输出矩阵输出矩阵C C中没有元素全为零

17、的列。中没有元素全为零的列。若系统状态空间表达式为对角线标准型若系统状态空间表达式为对角线标准型系统系统能控能控充要条件为：充要条件为：控制矩阵控制矩阵B B中与每个约旦块最后一行相对应中与每个约旦块最后一行相对应的行，其元素不全为零；的行，其元素不全为零；系统系统能观能观的充要条件为：的充要条件为：输出矩阵输出矩阵C C中，对应每个约旦块开头的一列，中，对应每个约旦块开头的一列，其元不素全为零。其元不素全为零。若系统状态空间表达式为对约旦标准型若系统状态空间表达式为对约旦标准型MATLABMATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式中，提供了可将连续或离散系统状态表达式化为对角线标准型

18、或约旦标准型的化为对角线标准型或约旦标准型的jordan()jordan()函数。函数。 调用格式为：调用格式为： v,j=jordan(A)v,j=jordan(A)其中，其中，v v为化为化A A为对角线或约旦标准型的非奇异变换矩阵；为对角线或约旦标准型的非奇异变换矩阵；j j为所得的对角线或约旦标准型；为所得的对角线或约旦标准型；j=inv(v)j=inv(v)* *A A* *v v（MATLABMATLAB中中j=inv(v)j=inv(v)为矩阵为矩阵v v的逆）的逆）可通过所得的对角线或约旦标准型中的矩阵可通过所得的对角线或约旦标准型中的矩阵BB=inv(v)BB=inv(v)*

19、 *B BCB=CCB=C* *v v来判定系统的能控性和能观性。来判定系统的能控性和能观性。试判定系统的能控性和能观性试判定系统的能控性和能观性例例4-5 4-5 已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为xy001uxx10051166116110A=0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5B=0;0;1C=1 0 0v,j=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB MATLAB 程序如下：程序如下：运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：v = 1 -3 3 6 -6 0 9 -12 3j = -3 0 0 0 -2 0 0 0 -1BB = -

20、1.0000 -1.0000 -0.6667CB = 1 -3 3说明说明根据系统为对角线标根据系统为对角线标准型时系统能控性和准型时系统能控性和能观性的充要条件：能观性的充要条件：系统既能控又能观系统既能控又能观 矩阵矩阵A A化成了对角线标准型是因为矩化成了对角线标准型是因为矩阵阵A A是特征值互异。若系统矩阵是特征值互异。若系统矩阵A A的特征值有重的特征值有重根，则可将系统化为约旦标准型，来判定系统根，则可将系统化为约旦标准型，来判定系统的能控性和能观性的能控性和能观性例例4-6 4-6 已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为 uxx100032100010 xy001试

21、判定系统的能控性和能观性试判定系统的能控性和能观性A=0 1 0;0 0 1;2 3 0B=0;0;1C=1 0 0v,j=jordan(A)BB=inv(v)*BCB=C*vMATLAB MATLAB 程序如下：程序如下：运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：v = 0.1111 0.6667 0.8889 0.2222 -0.6667 -0.2222 0.4444 0.6667 -0.4444j = 2 0 0 0 -1 1 0 0 -1BB = 1.0000 0.5000 -0.5000CB = 0.1111 0.6667 0.8889根据系统为约旦标准根据系统为约旦标准型时系统能控性

22、和能型时系统能控性和能观性的充要条件：观性的充要条件：系统既能控又能观系统既能控又能观说明说明4 42 22 2 能控性和能观性的对偶关系能控性和能观性的对偶关系 能控性和能观性之间存在着对偶关系，能控性和能观性之间存在着对偶关系，KalmanKalman提出的对偶原理阐明了它们之间的这种关系提出的对偶原理阐明了它们之间的这种关系考虑由下列方程描述的系统考虑由下列方程描述的系统 1S2S1S2SCxyBuAxx zCyuBzAz111若满足下述条件：若满足下述条件：TTTCCBBAA111;则称系统则称系统 、 互为对偶互为对偶1S2S若系统若系统 是状态完全能控的（完全能观的），是状态完全能

23、控的（完全能观的），则其对偶系统则其对偶系统 是状态完全能观的（完全能控是状态完全能观的（完全能控的）。的）。即即系统系统 的能控性等价于其对偶系统的能控性等价于其对偶系统 的能观的能观性性系统系统 的能观性等价于其对偶系统的能观性等价于其对偶系统 的能控的能控性。性。KalmanKalman提出的对偶原理说明：提出的对偶原理说明：1S2S 利用对偶关系可以把系统能控性的分利用对偶关系可以把系统能控性的分析转化为对其对偶系统的能观性析转化为对其对偶系统的能观性1S2S2S1S如果一个系统状态不是完全能控或能观，如果一个系统状态不是完全能控或能观，我们可以将系统的状态空间按能控性和能观性我们可以

24、将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。进行结构分解。这是状态空间分析中的一个重要内容，它这是状态空间分析中的一个重要内容，它为最小实现问题的提出提供了理论依据。为最小实现问题的提出提供了理论依据。4 42 23 3 系统的结构分解系统的结构分解的能控性矩阵的秩小于的能控性矩阵的秩小于n n，则存在一个相似变换，则存在一个相似变换， 可将系统（可将系统（A A，B B，C C）进行能控与不能控）进行能控与不能控分解，使得到的系统新状态空间表达式为分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果如果n n阶系统阶系统其中其中DuCxyBuAxx DuxCyuBxAxTxx ccBA ,构成了系统的

25、能观子空间。构成了系统的能观子空间。cncAAAA210cBB0cncCCC MATLAB MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解中，提供了将系统进行能控与不能控分解的函数的函数ctrbf()ctrbf()调用格式为调用格式为ABAB，BBBB，CBCB，T T，K=ctrbfK=ctrbf（A A，B B，C C）其中其中A A，B B，C C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；ABAB，BBBB，CBCB分别对应于能控与不能控分解后的系统状分别对应于能控与不能控分解后的系统状 态空间表达式中的各相应矩阵；态空间表达式中的各相应矩阵；T T为

26、相似变换；为相似变换；K K是长度为是长度为n n的一个向量的一个向量的能观性矩阵的秩小于的能观性矩阵的秩小于n n，则存在一个相似变换，则存在一个相似变换， 可将系统（可将系统（A A，B B，C C）进行能观与不能观）进行能观与不能观分解，使得到的系统新状态空间表达式为分解，使得到的系统新状态空间表达式为如果如果n n阶系统阶系统其中其中DuCxyBuAxx DuxCyuBxAxTxx 构成了系统的能观子空间。构成了系统的能观子空间。onoAAAA012onoBBBoCC0ooCA , MATLAB MATLAB中，提供了将系统进行能观与不能观分解中，提供了将系统进行能观与不能观分解的函数

27、的函数obsvf()obsvf()调用格式为调用格式为ABAB，BBBB，CBCB，T T，K=obsvfK=obsvf（A A，B B，C C）其中其中A A，B B，C C分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；分别为系统原状态空间表达式中的各矩阵；ABAB，BBBB，CBCB分别对应于能观与不能观分解后的系统状分别对应于能观与不能观分解后的系统状 态空间表达式中的各相应矩阵；态空间表达式中的各相应矩阵；T T为相似变换；为相似变换；K K是长度为是长度为n n的一个向量的一个向量例例4-7 4-7 已知系统的状态空间表达式为已知系统的状态空间表达式为uxx110340010121xy111

28、试对系统进行能控与不能控分解和能观与不能观试对系统进行能控与不能控分解和能观与不能观分解。分解。MATLAB MATLAB 程序如下：程序如下：A=1 2 -1;0 1 0;0 -4 3B=0;1;1C=1 -1 1Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if (n3) AB,BB,CB,T,K=ctrbf(A,B,C)endQo=obsv(A,C)n1=rank(Qo)if (n13) AB1,BB1,CB1,T1,K1=obsvf(A,B,C)end运行程序，运行程序，得到结果：得到结果：n = 2AB = 1.0000 -0.0000 -0.0000 2.1213 4.0000 -1

29、.2247 1.7321 2.4495 0BB = 0.0000 -0.0000 -1.4142CB = -1.6330 -0.5774 0T = -0.8165 0.4082 -0.4082 0.5774 0.5774 -0.5774 0 -0.7071 -0.7071K = 1 1 0运行程序，运行程序，得到结果得到结果(续续)：n1 = 2AB1 = 1.0000 -2.8868 -3.5355 -0.0000 2.0000 1.2247 -0.0000 0.8165 2.0000BB1 = 1.2247 0.7071 0CB1 = 0 0 -1.7321T1 = -0.4082 0.4

30、082 0.8165 0.7071 0.7071 0.0000 -0.5774 0.5774 -0.5774K1 = 1 1 0系统分解成两部分：系统分解成两部分：一部分是二维能控子系统，一部分是二维能控子系统，一部分是一维不能控子系统一部分是一维不能控子系统故，系统按能控与不能控分解后的新的状态故，系统按能控与不能控分解后的新的状态空间表达式为空间表达式为uxx4142. 10004495. 27321. 12247. 141213. 2001xy05774. 0633. 1系统按能观与不能观分解后的新的状态空间系统按能观与不能观分解后的新的状态空间表达式为表达式为uxx07071. 022

31、47. 128165. 002247. 1205355. 38868. 21xy7321. 100系统分解成两部分：系统分解成两部分：一部分是二维能观子系统一部分是二维能观子系统一部分是一维不能观子系统一部分是一维不能观子系统4 42 24 4 状态空间表达式的能控标准型和能状态空间表达式的能控标准型和能观标准型观标准型将状态空间表达式化为能控标准型（能观标准将状态空间表达式化为能控标准型（能观标准型）的理论依据是状态的非奇异变换并不改变系统型）的理论依据是状态的非奇异变换并不改变系统的能控性（能观性）。的能控性（能观性）。由于将系统化为能控标准型或能观标准型对研由于将系统化为能控标准型或能观

32、标准型对研究系统的状态反馈、系统状态观测器的设计及系统究系统的状态反馈、系统状态观测器的设计及系统辨识都十分方便，所以在实际应用中。辨识都十分方便，所以在实际应用中。经常根据所研究问题的需要，将系统的状态空经常根据所研究问题的需要，将系统的状态空间表达式化为能控标准型或能观标准型间表达式化为能控标准型或能观标准型系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵系统状态完全能控，则必然存在一个非奇异变换矩阵T TDuCxyBuAxx 00010010111321211aaaaaaBAABBTnnnnnc通过线性变换通过线性变换 ，可将系统变为能控标准型实现，可将系统变为能控标准型实现 xTxc1若

33、单变量若单变量设变换后的系统能控标准型方程由设变换后的系统能控标准型方程由给出，则矩阵给出，则矩阵 具有下述形式具有下述形式ccccDCBA,ccccDCBA,1221100000010000010aaaaaAnnnc1000cB110nccCTCDDcCBBaABCBaABaBAaBACBaABaBAaBACnnnnnnnnnn11223312122110)()()(其中，矩阵其中，矩阵 和变换矩阵和变换矩阵 中的中的为特征多项式为特征多项式cAcTia（i=1，2，n） nnnnaaaAI111的各项系数的各项系数矩阵矩阵 中的中的（i=0，1，2，n-1） cCi是是 相乘的结果相乘的结

34、果cCT系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵系统状态完全能观，则必然存在一个非奇异变换矩阵DuCxyBuAxx 通过线性变换通过线性变换 ，可将系统变为能观标准型实现，可将系统变为能观标准型实现 若单变量若单变量oT113212110001001011nnnnnoCACACaaaaaaTxTxo1设变换后的系统能观标准型方程由设变换后的系统能观标准型方程由给出，则矩阵给出，则矩阵 具有下述形式具有下述形式DDcooooDCBA,ooooDCBA,1221100000010001000aaaaaAnnno1210nnoB1000oC其中，矩阵其中，矩阵 和变换矩阵和变换矩阵 中的中的为

35、特征多项式为特征多项式ia（i=1，2，n） 的各项系数的各项系数矩阵矩阵 中的中的（i=0，1，2，n-1） i是是 相乘的结果相乘的结果oAnnnnaaaAI111oToBBTo1CBBCaCABCaCAaCAaBCABCaCAaCAaCAnnnnnnnnnn11223312122110)()()(例例4-8 4-8 考虑以下所述系统考虑以下所述系统uxx100220113021xy111判断其能控性和能观性，若系统完全能控和能观，判断其能控性和能观性，若系统完全能控和能观，试将上述系统分别转化为能控标准型和能观标准试将上述系统分别转化为能控标准型和能观标准型。型。MATLAB MATLA

36、B 程序如下：程序如下：A=1 2 0;3 -1 1;0 -2 2B=0;0;1C=1 -1 1Qc=ctrb(A,B)n=rank(Qc)if (n=3),disp(system is controllable) else,disp(system is uncontrollable)endQo=obsv(A,C)m=rank(Qo)if (n=3),disp(system is observable) else,disp(system is unobservable)end运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：system is controllablesystem is observab

37、leMATLAB MATLAB 程序如下（续）：程序如下（续）：j=poly(A)a1=j(2)a2=j(3)a3=j(4)Tc=Qc*a2 a1 1;a1 1 0; 1 0 0Ac=inv(Tc)*A*TcBc=inv(Tc)*BCc=C*TcTo=inv(a2 a1 1;a1 1 0; 1 0 0*Qo)Ao=inv(To)*A*ToBo=inv(To)*BCo=C*To运行程序，得到结果：运行程序，得到结果：Ac = -0.0000 1.0000 0 -0.0000 0.0000 1.0000 -12.0000 5.0000 2.0000Bc = 0 0.0000 1.0000Cc = -4.0000