圆锥曲线大题第一问突破(教师版)

1、压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线1. （2018烟台模拟）已知椭圆C： 5+£=13>/»0）,点（3,坐）在椭圆上，过。的焦点且与 长轴垂直的弦的长度为今（1）求椭圆C的标准方程；过点A（2,0）作两条相交直线八，li，八与椭圆交于P,。两点（点P在点。的上方），A与 125椭圆交于M, N两点（点M在点N的上方），若直线八的斜率为一亍SAP=NAQ，求直线 ，2的斜率.93 t7十年二L解（1）由已知得。厂I a - 3，解得a = 6 r b=l.故椭圆c的标准方程为标+ ）2=1.（2）由题设可知：直线/1的方程为x=-7y- 2.56 + ，2=1卜二-7

2、y-2, 整理得 85v2 + 28y - 32 = 0.84加二舟y0二一亍 lAgl y（） 517一丽二丽二1二诂 17设NMAP = NQAN=8 , , S.WAP = t*. |l4MIL4Plsin 6 = 1x：L4ML4Qlsin 6 ,L_25 IA2I_25 17_5 即 14M - 34 X L4产厂 34 X 10 一不设直线h的方程为x = my - 2(m WO),将 x - my - 2十2二1 ,得（尸+ 36* - 4my - 32 = 0.32设 M（X , VI）z N（X2 , V2）, 贝!I yi + yi =又.R= -1V2,54m.一二;,3

3、2nr + 36 '16m)128 V)二 ,=, m2 + 36 - 5(/十 36). ；128. nr + 36； - 5(/ + 36)'解得加=4 ,.,二±2 ,此时式的判别式大于零.故直线，2的斜率为自2. (2018南昌模拟)己知椭圆C：，+寻=13>/>0)的两焦点分别是F 0), F他 0), 点4yL明在椭圆C上.(1)求椭圆。的方程：(2)设尸是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M, N,使得加=2而，求以RP为直径的圆 面积的取值范围.解由已知，得半焦距c二也，2ii = lEFil + IEF2I = 8+| +42 ,所以“二

4、2吸，所以= a? - c2 = 8 - 2 二 6 ,所以椭圆C的方程是十9二L (2)设点P的坐标为(0 , /),当直线MN斜率不存在时, 可得M,N分别是短轴的两端点，得到心坐当直线MN斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y-kx + t, M（x , yi） , N（xi , yi）,则由疝 =2际得xi=-2x2 ,y二日十，联立7一【8 十 6 T，彳导（3 + 4/* + 8Kx + 4尸-24 = 0 ,由题意，得二64腐0-4（3 +软2）（4产-24）0 ,整理得产8公十6 ,由根与系数的关系得-8Hxi +x2 =3 +4k24 产-24X X2 二3十软2_-户十6-

5、产十620 , 12 产-8-尸十6v8;+ 6 ,2 - 8由，消去的得公二 2-82解彳导尸6 ,2 综上,忘产6 ,2十户 又因为以FP为直径的圆面积S二n3. (2018湘潭模拟)已知点A一/和)是抛物线C： x2=2p-v(p>0上一点，且A到C的焦点的距离为W O(1)求抛物线。的方程；(2)若尸是。上一动点，且尸不在直线/： y=2r-F9v0±, /交C于E, F两点，过户作直线垂14Ml2直于x轴且交/于点M，过P作/的垂线，垂足为N.证明：而=底凡2py<)= |,*二I. ±.8/7 2-8，, *,p = 1 ,故抛物线C的方程为X? =

6、 2y.必二 2y ,证明由知，和二R ,联立， 9y = 2x + w ,彳导4F - 16x - 9=0 , 19解得Xi =-1，也=,则M的横坐标为小，易知A在/上，由题意可知直线PN的方程为y-y=,与V = 2A-十联立可得XN-十？ -,所以14M二木鸣(加十羽,9A 1+ m-4)+ 2nilL4A/P 片川川团2则IAM = 5巾»故IAM -瓦1v2 v24. (2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆。：/+方=1(">>0)，A, 8是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆。的上顶点，设直线MA的斜率为心，直线M8的斜率为匕，hk?2=

7、-3,求椭圆。的离心率；(2)设直线/与x轴交于点0(一小，0),交椭圆于P,。两点，且满足加=3诙，当OPQ 的面积最大时，求椭圆C的方程.解(1 )M(0 , b) , A(- a,0) , B3,0),由二 g , “2 二- ,h b b2 2 c 近klk2= -aa= -7=二，-二片手(2)由(咖e =；孚,得 a2= 3c2 z b2 = 2c2 ,可设椭圆c的方程为2X2 + 3y2=65 ,设直线/的方程为x = my -小，2?+ 33 = 6 ,由rx = my - yj3 r得“2 + 3)2 - 4，5机y + 6 - 6c2 = 0 ,因为直线I与椭圆C相交于P(

8、X , >' ) , 0(X2 ,刈两点,所以 J = 48m2 - 4(2/n2 + 3)(6 - 6c2)>0 ,4lm6 - 6c2由根与系数的关系得，y.十以二苦，)叮2二 - 2nr + 32nr + 3又DP = 30。，所以 y = - 3y2 , 代入上述两式得6 -必二一片工2"十3所以 Sopq - |lODIIyi -所二坐12121/nl2麻F十3 21箱十当且仅当小二孤,等号成立，此时/二|,代入，此时>0成立，所以椭圆。的方程为曾十日二1.5. (2018天津市部分区模拟)已知椭圆C：盘+1=13>/»0)的离心率

9、为坐，椭圆的一个顶点 与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆。的方程：已知直线 1)伏>0)与椭圆C交于A, B两点,且与x轴，y轴交于M, N两点.6)若施=病，求k的值；(ii)若点。的坐标为(；，0),求证：丽.而为定值. 2，(1)解 因为,十方二 1 (4>/»0)满足 a2 = b2 + c2 t又离心率为坐，所以拉半，即屏二2c2,代入“2二乂十那,得二上又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2 ,即Jx义2c= 2 ,即c= 2 ,二4 ,以上各式联立解得/=4 , 二2 ,则椭圆C的方程为3 +二1.(2)( i )解 直线y =依-1)与

10、x轴交点为M1,0),与y轴交点为MO , - k) fy = k(x- 1),联立彳消去)，得，/十2)2 = 4(1 + 2/*-4以+2公-4二0,J = 16六-4(1 + 2/)(2/ - 4) = 24k2 + 16>0 ,设 A(xi ,，B(xi t yi),又M5 = (a-2 - 1 / ya) f AN=( - xi , - k - y) t一 _4k2由MB = AN ,得内十 Xi =; = 1 ,1 + 2k-解得左二等，由心>0,得k二田.4k22k2 - 4(11 )证明由(1 )知 XI + X2 =-r .VIX2 =-+ 2k-+ 2%所以=Q

11、i2 V-/ 7 -4 小 XL7V- 7-424Z;4916 +牙-4十2k4-43-7F-4六十4十2六49二1十2F十正-8/-4 49. .4915 * 一+二TV 讳二7十而二-丘加E值， 所以原型为定值.（二值线与圆锥曲线1. （2018威海模拟）已知抛物线C），2=2px（p>0）的焦点凡 直线y=4与y轴的交点为尸，与 抛物线。的交点为Q,且1。“=21尸。1.（1）求的值：（2）已知点了“，-2）为C上一点，时，N是C上异于点了的两点，且满足直线TM和直线7WQ的斜率之和为一宗证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.解 设C（xo,4）,由抛物线定义知IQF1 =皿十&

12、#167; ,又IQF1 = 2IPQI ,即 2xo = xo +与，解得.io 二 § ,将点0（2，4）代入抛物线方程，解得:4.由（1）知，。的方程为产二心,所以点了坐标为弓，-2),设直线MN的方程为a = my + n ty-8 - 16， 十 43 解得n = m - 1 f所以直线MN的方程为a + 1 =心，+1),恒过定点(-1 , - 1). (2018南昌模拟)已知动圆。过点尸(1,0),且与直线x=-l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程E；(2)已知点P(4, - 4), 0(8.4),过点。的直线/交曲线E于点A, B,设直线以，P8的斜率 分别为3，k2

13、,求证：木后为定值，并求出此定值.解 设C(x,y),由1)2十月二卜十i|,得动圆圆心C的轨迹方程上为y2 = 4x ,(2)依题意知直线AB的斜率不为0 ,设 AB 方程为 x - 8 = m(y - 4),即 x = my - 4m + 8 , 设 A(xi f yi) , B(X2 , yi), = 8a-,彳导 y2 - 8/hv - 8/i = 0 f J = 64/n2 + 32/?>O.所以 vi 十”二 8m f yiyz =-8，y + 2 ya + 2 所以k"+kNT =+言7V2 1 8 -288+y - 2 y2 - 28(.V + V2)* 32y

14、iy： - 2(vi + y2) + 464， - 328y2 = 4x ,由<x = my - 4m + 8 ,得 y2 - 4my + 16/ - 32 = 0 ,且 J>0 恒成立,/.yi 十"二4"，yy2 = 161-32 ,y + 4 y2 + 4, khvkpH =Xj - 4 X2 - 4乃十4）'2十416一旦.4 金.4一但-4）（竺-4）4416yyi - 4（yi +j2）+16=-=- 1（定值）.16/H-32- 16/H+163 .(2018.四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点R1Q),过直线/： x=4左侧

15、的动点尸作于点"NHPF的角平分线交x轴于点时，且IP41=2IMFI,记动点尸的 轨迹为曲线C.y /O 卜 1 M X(1)求曲线。的方程：过点F作直线/'交曲线。于A. 8两点，设/=2而，若；2 ,求L48的取值范围.解 设P(x , y),由题意可知IM” = IPFI ,crivlIPFI MF 1所以两二两二2，即一L二化简整理得卜, lx - 41 乙今D即曲线c的方程为3十9二1.(2)由题意，得直线V的斜率4X0 ,设直线lf的方程为x = my + 1 ,由】-V2 F 不十至二1，彳导(3P + 4)2 + 6my -9 = 0.所以 J = (6m)

16、2 + 36(3P +4) = 144(/?2 + l)>0 恒成立，-6m9且二诉r. 又因为AF=2F3 ,所以-y二小2 ，4m2()-1)2联立消去"”,得二一a -1)2因为，一A=2十十-2G 0,4解得0W加在不 又L48I =、十 llyi - yi /； 12/rr+ 12二勺/十+经产-钿二32因为4忘3尸十4忘刀， 所以向“高中，就 所以从8的取值范围是b24 .(2018,合肥模拟)如图所示，在平面直角坐标系xO.v中，己知椭圆C 离心率为坐，短轴长为外倒.(1)求椭圆。的标准方程；设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆。上位于x轴上方的点，直线用交y轴于点M,

17、点N 在y轴上，且而前=0,设直线AN交椭圆C于另一点。，求AlP。而积的最大值.c 2-"=2"=4,解 由题意得 2h - 4建，解得 b = 2V5 ,二尻十。2,1 二 2娘，所以椭圆C的标准方程为蚤十9二1 .(2)由题意可设直线PA的方程为y = k(x + 4) , k>0 ,则 M(OAk), 又F(2r,0),且济.的二0 , 所以MFUN ,所以直线FN的方程为y二号x - 2啦),y = k(x + 4), x2 + 2 v2 = 16 ,消去 y 并整理得(1 + 2k2)x2 + 16k2x + 32k2 - 16 = 0 f4- 8公解得币

18、二-4 , x2 = ； 1 +2k24 - 8RU + 2k?直线AN的方程为y = -+ 4),(8好-4 同理可得8k1十2好所以P ,。关于原点对称，即PQ过原点,所以APQ 的面积 S = oA yp - yq= 2-16k32+2k2当且仅当2k热,即二坐时，等号成立, 所以AP。面积的最大值为8/2.5. (2018峨眉山模拟)如图，圆C与x轴相切于点7(20),与)，轴正半轴相交于两点时，M点 M在点N的下方)，且IMM=3.求圆C的方程：r2 炉过点M任作一条直线与椭圆W+=l相交于两点A, B,连接AN, BN,求证：/ANM= /BNM.解 由题意可知圆心的坐标为(2，广).|MM = 3, /二(|下 十 2?二字，/ 二 £,.