高等数学(同济第六版)第二章第3节PPT课件

1、1一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv 加速度,ddtsv tvadd )dd(ddtst 即)( sa引例：变速直线运动 第二章第二节 第1页/共19页2定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy 可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称 第二章第二节 第2页/共19页3设,2210nnxaxaxaay 求.)(ny解: 1

2、ay xa221 nnxan 212ayxa323 2)1( nnxann依次类推 ,nnany!)( 233xa例例1.思考: 设, )(为任意常数为任意常数 xy ?)( nynnxnx )1()2)(1()()(问可得 第二章第二节 第3页/共19页4nx)1( ,3xaeay 例例2. 设设求解:特别有:解:! )1( n规定 0 ! = 1思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay )(xnxee )()(例3. 设, )1(lnxy 求.)(ny,11xy ,)1(12xy ,)1(21)1(32xy )(ny1)1( n, )1(lnxy )(nyx

3、y 11 ynxn)1(! )1( 2)1 (1x, 第二章第二节 第4页/共19页5例例4. 设设,sin xy 求.)(ny解: xycos )sin(2 x)cos(2 xy)sin(22 x)2sin(2 x)2cos(2 xy)3sin(2 x一般地 , xxnsin()(sin)(类似可证: xxncos()(cos)()2 n)2 n 第二章第二节 第5页/共19页6例例5 . 设设bxeyxasin 解: bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa 求求为常数为常数 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacos

4、sinxae )sin(22 bxba)arctan(ab 22bay )sin( bxaexa222)()(nnbay xaeba22 )arctan(ab )2sin(22 bxba)sin( nbxexa )cos( bxbexa 第二章第二节 第6页/共19页7例例6. 设设,3)(23xxxxf 求使)0()(nf存在的最高分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(30 0 xxfx04lim)0(30 0 0 x0 x )(xf,122x,62x )0(fxxx206lim 0 )0(fxxx2012lim 0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f

5、)0(f 不存在 ._ n2又0 x,24x0 x,12x阶数第7页/共19页8二、高阶导数的运算法二、高阶导数的运算法则则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu )()(. 2nuC)(nuC (C为常数) )()(. 3nvu vun)(!2)1( nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu )(nvu 莱布尼兹(Leibniz) 公式)(xuu 及)(xvv 设函数 vunn)1( 第二章第二节 第8页/共19页9vu 3)( vuvuvu )( vu)( vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立

6、. 第二章第二节 第9页/共19页10例例7. ,22xexy 求.)20(y解: 设,22xveux 则xkkeu2)(2 ,2xv ,2 v0)( kv代入莱布尼兹公式 , 得 )20(yxe22022x xe219220 x2 !21920 2 xe2202 )9520(2 xxxe2182)20,2,1( k)20,3( k 第二章第二节 第10页/共19页110!2)1()1( nynn )(nyn例例8. 设设,arctan xy 求).0()(ny解:,112xy 即1)1(2 yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2x x22令,0 x得)0()1()0()1()1( nnyn

7、ny),2,1( n由,0)0( y得,0)0( y,0)0()4( y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2( my ) 1(ny 12, ! )2()1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0( m由,1)0( y得)0(! )2()1()0()12(ymymm 第二章第二节 第11页/共19页12内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法 )(1nxa1)(!)1( nnxan )(1nxa1)(! nxan如, 第二章第

8、二节 第12页/共19页13思考与练习思考与练习xy 1211)()1(!)1(2 nnnxnyxxxy 11123,)1(!1)( nxnynn1. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy 11)1(xxy 1)2(3解: 解: 第二章第二节 第13页/共19页142312 xxy1121 xxy 11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1 xBxAxx提示: 令 )2(xA原式2x )1(xB原式1x1 1 第二章第二节 第14页/共19页15xxy66cossin)4( 3232)(cos)(sinxxy xxxx4224coscossinsin 222)co

9、s(sinxx x2sin4312 83)( nyn4 33ba)(ba )(22baba x4cos8385 )4cos(2 nx 22cos1sin2 xx22cossin3 解: 第二章第二节 第15页/共19页161)(! nxfn2. (填空题填空题) (1) 设设,cos)23()(1622xnxxxf 则 )2()(nf )(xf16cos)1(2xxn )()(xfn16cos)1(2xxn 提示: 各项均含因子 ( x 2 )nx)2( !n 22!n(2) 已知)(xf任意阶可导, 且2 n时 )()(xfn提示:,)()(2xfxf 则当 )(xf)()(2xfxf 3)

10、( !2xf )(xf)()(3!22xfxf 4)(!3xf 第16页/共19页173. 试试从从 yyx 1dd导出.)(dd322yyyx 解： yxyyxdddddd22 y1xdd yxdd 2)(yy y 13)(yy 同样可求33ddyx(见 P101 题4 ) 作业P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3) 第二章第二节 第17页/共19页18解: 设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导. y yxxfxcos)(sin2 )(sin2xf 备用题备用题x2)(sin xf 2x )(sin xf