高数极限四则运算法则PPT课件

1、一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由无穷小之和仍无穷小，可知也是无穷小,再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 1 . 若第1页/共26页定理定理 2 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 .说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论

2、 1 .CAxfCxfC)(lim)(lim( C 为常数 )推论 2 .nnnAxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )BA)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立证:第2页/共26页例1.求)345(lim) 1 (23xxx例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnnnxaxaa0010)542(lim)2(231xxxx3lim4lim5lim3323xxxxx3limlim4lim53323xxxxx334

3、352361.多项式型第3页/共26页为无穷小B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 3 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,注 1.以上结论均在limf(x)，limg(x)存在的前提下成立;2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.第4页/共26页.2)

4、(,),(),(, 0)(lim0000AxfxUxxUxAxfxx就有时当邻域的某一去心则存在若定理.2)(2|)(| )(|,),(, 0, 02,)(lim00AxfAAxfxfAxUxAAxfxx从而就有时当则取若证明：第5页/共26页299)3(26)3(53) 12(lim)43(lim322xxxx1limlim2lim43lim23222xxxxxx122243331155例4. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxx

5、xx)()(00 xQxP)(0 xR说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 . 若例3.求1243lim) 1 (32xxx33265lim)2(xxx2.分母极限不为0型第6页/共26页时，当其定义域为为初等函数设DxDxf0,)( )(lim0 xfxx).(0 xf例如.3lim) 1 (23xx)ln2(lim)2(xxex3212 e)1sin2(lim)3(3xxx33 第7页/共26页) 3)(2()5)(2(lim2xxxxx35lim2xxx73252 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例5.934lim) 1 (223xxxx)3)(3() 1)(3

6、(lim3xxxxx6231分子也为065103lim)2(222xxxxx3. 型00约去公因子第8页/共26页解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系,得例6.3214lim) 1 (21xxxx求.3214lim21 xxxx约去公因子法也不能用4.利用无穷小、无穷大运算性质求极限第9页/共26页4532lim) 3(21xxxx但因65103lim)4(223xxxxx解: (4)x = 3 时分母 = 0 , 分子0 ,10365lim223xxxxx1033363532206

7、5103lim223xxxxx0312415124532lim21xxxx3245lim21xxxx但因解: (3)x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,第10页/共26页例7.sinlimxxx 求求解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 第11页/共26页 例8求)1113(lim31 xxx解: 原式11)2(lim) 1() 1)(2(lim2131xxxxxxxx)1()1(3lim321 xxxx)(型型 (消去零因子法)?)2142(lim22xxxx42lim22xxx4121lim2xx5.第12页

8、/共26页例例9 . 求求.9543lim2xxx解: x时,分子.分子分母同除以,2x则分母原式(无穷小因子分出法)为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当.9543lim22xxx22911543limxxxx022119543limxxx53一般有如下结果：.?9543lim2xxx=06. 型无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.53, xxxxx19543lim第13页/共26页定理定理4 . 若若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnn

9、yx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .?4343lim11nnnnn41434433lim11nnn第14页/共26页?12531lim3333nnnnnn解248211111l i m (1) (1) (1) (1)(1)22222nn求例10原式 )211/()211 ()211)(211)(211(lim22nn=)211 ()211)(211(lim2222nn=)211)(211(lim222nnn)211 (lim212nn=27.无穷项之和不能用和的

10、极限运算法则第15页/共26页例11).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故8.利用左右极限求分段函数极限第16页/共26页二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则例12 . 求).cos(lnlim) 1 (1xx解: 法11x时,0ln x则,0ln时当x. 10cos)cos(lnx. 1)cos(lnlim1xx法

11、2,lnxu令1x时,0u则. 10coscoslim)cos(lnlim01uxux换元法：将原式中的x都用u代替，将关于x的极限过程改为关于u的极限过程。第17页/共26页定理5. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.第18页/共26页定理5. 设,)(lim0axxx且 x 满足10

12、0 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明: 若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim第19页/共26页例例13. 求求解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166例14 . 求解: 法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2第20页/共26页?) 1(32arctanlim221xxxx,) 1(322

13、2xxxu解：令,13xxu1x时,u2arctanlim) 1(32arctanlim221uxxxux)0?(lim1aaxx,1:xu 令解x时,0u1limlim001aaauuxx)0( 1lim1aaxx)0( 1lim1aann第21页/共26页例15：设,101 xnnxx 61(n=1,2,)，试证数列 极限存在，并求此极限。 nx证：由101 x及416612 xx知21xx 设对某正整数k有,1 kkxx则有21166 kkkkxxxx故由归纳法，对一切正整数n，都有1 nnxx即 nx为单调减少数列，且), 2, 1(, 0 nxn解得. 3lim nnx，存在为存在为

14、axnn lim所以0 aaa 6有有第22页/共26页例16nnxxx2,211设), 2 , 1(nnnxlim，证明 存在并求此极限； 证明:1n当时221x2kx,设，则 12222kknxxx有上界nx 单增有上界，从而必有极限。 Axnnlim20A设， 则 nnnnxx2limlim1AA2由得2A 2112222xxxkkxx111222kkkkxxxx又设，则 第23页/共26页(2) ,消去零因子法1. 极限四则运算法则2. 求函数极限的方法 (3) 对 00型 , 约去公因子 ,分子分母同除分母最高次幂Th1Th2Th3Th4型总结作业P33习题1-3中第1题 (4) 型(无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无