高二数学三垂线定理PPT课件

1、第1页/共31页AaOP 探究问题1：已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，若aAO。 则得到a与那些直线垂直。三垂线定理探究探究问题2：如何证明你的结论探究问题3：用文字语言叙述上述结论第2页/共31页证明过程分析：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aAaOP三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。结论汇总1：板书证明过程第3页/共31页 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时， bOA 如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立

2、吗？b但 b不垂直于OP 第4页/共31页第5页/共31页AaOP结论汇总2：三垂线定理基本图形的特点分析1:一面2:四线3:三垂直线面垂直 线射垂直线斜垂直探究问题4：三垂线定理的图形有哪些特点？ （构成元素、三垂的解释）PAaPOaAO第6页/共31页PCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC证明： P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC结论应用：第7页/共31页例2(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，

3、PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影 POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影 PCBD第8页/共31页1、三垂线定理解题的关键：定面、找线！怎么找？运用三垂线定理证明的一般步骤：二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影）三证（证平面内一直线与斜线垂直）PCBA一定（定平面）例题汇总POABCD课后小结第9页/共31页PMCAB例3 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAMBCAM证明: PB=PCM是BC的中点 PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影 再次演练：分析：按步骤、找三

4、垂第10页/共31页例4： 在正方体AC1中，求证：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证， A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 第11页/共31页PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾第12页/共31页课堂小结： 1、记住小组讨论的结果：三垂线定理、及证明（线线垂直线面垂直线线垂直）. 2、三垂线定理的特征（特点）：一面四线三

5、垂直. 3、三垂线定理解题的三个步骤：一定平面、二找直线、三证垂直.下节课内容 4、使用三垂线定理还应注意的问题： 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线、异面直线PAOa第13页/共31页三、巩固性练习：1、（1）下列命题中正确的是 ( )两条异面直线在同一平面内的射影必相交与一条直线成等角的两条直线必平行与一条直线都垂直的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行 （A）、；（B）、；（C）、；（D）以上都不对 3、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ）（A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形

6、（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形2、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ）（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定DDC第14页/共31页线射垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理第15页/共31页 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理第16页/共31页.,:P

7、FPEOFEPOACPFABPEPBAC垂足分别为点内在平面已知.:CAOBAO求证POEFABC证明:ACPFABPEPOACOFABOEPOPFPEOFOE CAOBAO例4:求证: 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 第17页/共31页若COA= COB若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上结论：过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线CAOB则CO在平面AOB内的射影为角AOB的平分线第18页/共31页练习题：正方体ABCD-ABCD E,F分别是AA,AB上

8、的点, ECEF，求证:EFEB证明:ABCD-ABCD是正方体 BC 平面ABBA,EB是斜线EC在平面ABBA上的射影. ECEF且EF在平面ABBA内 EFEBABCDABCDEF第19页/共31页例3:在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，第20页/共31页思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。ADCBO（3）在四

9、面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。垂外内（2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心垂EFG第21页/共31页1,.,:.ABCDABCD AHBCDBHCD空空间间四四边边形形中中平平面面求求证证例例:,.AHBCDABBCDBHABCDCDBCDBHCD证证明明平平面面在在平平面面内内的的射射影影为为又又且且在在平平面面内内由由三三垂垂线线定定理理的的逆逆定定理理知知第22页/共31页2,.,:.ABC

10、APAABC BDPCDADPC如如图图已已知知直直角角三三角角形形中中 角角 为为直直角角平平面面垂垂足足为为求求证证例例:,PAABCPABABAACBAPACADBDPACBDPCADPC证证明明平平面面又又平平面面是是在在平平面面内内的的射射影影又又第23页/共31页4,:.ACACA BD正正方方体体中中 求求证证平平面面例例:,(), ()ACCCABCDACACABCDACBDACBDABB CAA B BABACAA B BABA BACA BACA BD证证明明 连连由由平平面面知知就就是是在在平平面面上上的的射射影影三三垂垂线线定定理理连连由由平平面面知知是是在在平平面面上

11、上的的射射影影三三垂垂线线定定理理平平面面第24页/共31页5,.,:.PACBPAABCACBCAPB PCE FEFPB在在空空间间四四边边形形中中平平面面若若 在在上上的的射射影影分分别别是是求求证证例例:,PAABCPABCACBCBCPACBCAFFAPCAFPCAFPBCAEPBCEFEAPBAEPBEFPB证证明明平平面面又又平平面面又又是是 在在上上的的射射影影平平面面在在平平面面上上的的射射影影为为又又为为 在在上上的的射射影影第25页/共31页在在平平面面内内的的一一条条直直线线, ,如如果果和和这这个个平平面面的的一一条条斜斜线线的的射射影影垂垂直直, ,那那么么它它也也

12、和和这这条条三三垂垂线线定定理理: :斜斜线线垂垂直直. .:三三个个垂垂直直垂垂线线和和平平面面垂垂直直; ;平平面面内内的的直直线线和和斜斜线线垂垂直直; ;平平面面内内的的直直线线和和斜斜线线在在这这个个平平面面内内的的射射影影垂垂直直. .第26页/共31页在在平平面面内内的的一一条条直直线线, ,如如果果和和这这个个平平面面的的一一条条斜斜线线垂垂直直, ,那那么么它它也也和和这这条条斜斜线线在在三三垂垂线线定定理理的的逆逆定定平平面面内内的的理理: :射射影影垂垂直直. .:, ,lllaalal三三垂垂线线定定理理及及其其逆逆定定理理可可合合起起来来表表述述为为设设 是是平平面面

13、 的的斜斜线线是是 在在 内内的的射射影影 直直线线则则第27页/共31页三垂线定理总结（1）定理涉及到的五个元素是（2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线（或其射影）和平面内的一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直线，也可以是异面直线（3）定理的证明思路是：线线垂直线面垂直线线垂直“一面四线”（4）三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理， 承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域第28页/共31页3、三垂线定理及其逆定理的比较 相同点 (1) 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直；(2) 证明方法相同，都采用了线面垂直法.不同点(1) 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直； 而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；(2) 条件