函数的极值和最值(1)课件

1、第四节 函数的极值和最值 本节内容提要:一、极值及其求法 1.极值的定义 2.极值存在的必要条件和充分条件二、最大值与最小值本节重点:极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法教学方法:启发式教学手段:多媒体课件和面授讲解相结合教学课时:2课时一、极值及其求法 1.极值的定义:定义:设y=f(x)在 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于 的任意点x都有: (1) f(x) f( ),则称f( )为f(x)的极小值, 称为f(x)的极小值点; 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值

2、点统称为极值点.注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值; (2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大 0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x000000( )()x0; ( )()xx 0 f xf xxxf xf xxx00000证:设f(x)在x 可导,f(x )为极大值(极小值的情形可类似证明),由极大值定义,在x 的某邻域内,对于任意xx 均有f(x)f(x )成立,于是当时,当时,2.极值存在的必要条件和充分条件:(1)必要条件定理 若函数f(x)在 可导,且在 处取得极值,则0()0fx0 x0 x00000000000( )()()lim0;( )()()lim

3、0()() ()0 xxxxf xf xfxxxf xf xfxxxfxfxfx注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。例 x=0是函数 的驻点而非极值点;3yx（2）极值存在的第一充分条件定理：设函数 f (x)在点 的某一邻域内可导且 (1)若x 时 ,则f (x)在点 处取得极大值f ( )(2)若x 时， , 则f (x)在点 处取得极小值f ( )(3）若x从 的左侧变化到右侧时， 不变号，则f (x)在 处无极值.注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点 ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )fx0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

4、 x235233212133333(25)2510101010(1)()33330 x=1, x=0 xyxyxyxyyxxxxxx例1 求的极值点和极值解:定义域为(- ,+ ) 令得当时不存在x(-,0)0(0,1)1(1,+)+不存在-0+y极大值0极小值-3 y 函数有极大值f(0)=0 极小值f (1)=-3 （3）第二充分条件定理：设f (x)在点 的某邻域内一阶可导，在x= 处二阶可导，且 , , (1)若 ,则f(x)在点 取得极大值(2)若 ,则f(x)在点 取得极小值。0()0fx0()0fx0()0fx0()0fx0 x0 x0000000000( )()()0,()li

5、m0( )()0 (xx )( )()0 0 xxfxfxfxfxxxfxfxxxfxfxxx0证:由于则所以在x 的某邻域有 0 x0 x000( )0;( )0()xxfxxxfxf x从而,当时当时由第一充分条件可知,为f(x)的极大值(同理可证(2)2693(1)(1)1,3xxxx 3221例2 求f(x)=x -3x -9x+5的极值解一: f (x)=3x令f (x)=0,得xx(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)+0-0+f(x)极大值10极小值-22 f (x)2: 693(1)(1)1,3( )66 ( 1)120 f(-1)=10 (3)120 f(3)=-22 xx

6、xxfxxff 21解二 f (x)=3x令f (x)=0,得x函数有极大值函数有极小值二、最大值与最小值1.设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最值求最值的方法：求求出f(x)在a,b内的所有驻点和不可导点 (i=1,2,n)求f(a),f(b),f( ),其中最大(小)的即为f(x) 在a,b上的最大(小)值。 f (x)ixix164 (2)(2)0,2,2(0)2,(2)14,( 1)5,(3)11 13(3)11(2)14xx xxffffff 423123例3 求y=x -8x +2在-1,3上的最值解: y =4x令y =0,得xxx所以函数在上的最大值为最小值为2

7、f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？ 解：设小正方形的边长为a盒子的容积2212812 0 ,()62VaaxxaaVxx 令舍去2 a(2 ) x(0, )2Vx ax函数在定义区间驻点唯一，由问题性质知最大容积一定存在，所以，当正方形的边长为 ，即从四角各截去一边长为 的小正方形，可使盒子的容积最大例5：一张1.4米高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8米，问观察者应站在据墙多远处看图才清楚，（即视角最大）？6a6a2222 x(0,+)-3.21.8= =0,