北邮大学物理吴百诗力学-chapter-3

1、1刚体力学根底2刚体运动概述刚体定轴转动刚体定轴转动定律3 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组)刚体的运动形式：平动、转动 刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的说明：4 刚体和质点一样是一种理想模型； 刚体以看成是由无数质点构成的质组； 刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中任意两质点间的距离保持不变。5 刚体平动 质点运动 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同 特点：各点运动状态一样，如： 等都相同6 说明 刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线；刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加

2、速度； 刚体的平动运动可用一个点的运动描述；通常用刚体的质心。7转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动 8刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成9自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。刚体的自由度火车：自由度为1飞机：自由度为3轮船：自由度为2 刚体的自由度xyzO3个平动自由度 (x，y，z) 。确定质心C的位置:3个方位角 (a，b，g )，其中两个是独立的。确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。i = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制自由度减少。10刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴作圆周运动，在任意时刻其上各质点的位移、速度、加速度(线量)

3、各不相同。11沿逆时针方向转动一 刚体转动的角速度和角加速度角位移 角坐标沿顺时针方向转动q角速度矢量 方向: 右手螺旋方向P(t+dt).OxP(t)r.12角加速度 刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.13(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面； (2) 任一质点运动 均相同，但 不同；定轴转动的特点 (3) 运动描述仅需一个角坐标14二 匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的角加速度=常量时，刚体做匀变速转动15三 角量与线量的关系16 例1在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转

4、开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为： 式中 求：(1)t=6 s时电动机的转速(2)起动后，电动机在 t=6 s时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变化的规律17(2) 电动机在6 s内转过的圈数为解 (1) 将 t=6 s 代入(3) 电动机转动的角加速度为18例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经300 s 后，其转速到达 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？解 令 ，即 ，积分 得19当 t =300 s 时20由得在 300 s 内转子转过的转数21刚体定轴转动定律22P*O :

5、 力臂 对转轴 z 的力矩 一力矩 用来描述力对刚体的转动作用23O讨论 1假设力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩24O2合力矩等于各分力矩的矢量和 3刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消25 例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深100m，水面与大坝外表垂直，如下图. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .QyOxyOhxL26 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 ，作用在此面积元上的力yOhxyQyOxL27令大气压为 ，则 代入数据，得yOhxyL28QyOyh

6、 对通过点Q的轴的力矩代入数据，得：29O二 转动定律 （1）单个质点 与转轴刚性连接302刚体 质量元受外力 ，内力外力矩内力矩O31 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O32讨论（1）（2）（3） =常量转动定律33转动惯量34三转动惯量 J 的意义：转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：kgm235 质量离散分布 J 的计算方法 质量连续分布 ：质量元 ：体积元36任取一半径为r，宽度dr的圆环。薄圆盘可以看成是许多半径不同的同心圆环的集合。圆环对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为 试求半径为R ，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂

7、直于盘面的轴的转动惯量。 解例1那么整个圆盘对该轴的转动惯量为薄圆盘的质量面密度圆环的质量为:2Rm=s37刚体的转动惯量与以下三个因素有关：3与转轴的位置有关（1）与刚体的体密度 有关（2）与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关说 明38四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量CO39质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP圆盘对P 轴的转动惯量OO1d=L/2O1O2O240竿子长些还是短些较平安？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？41(2) 为瞬时关系 (3) 转动中 与平动中 地位相同(1) , 与 方向相同 说明 转动

8、定律应用42 例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？43解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如下图坐标系ABCOO44OO45解得：46如令 ，可得 2 B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率47稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动

9、到与竖直线成 角时的角加速度和角速度例3一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmg48 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得式中得m,lOmg49由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，m,lOmg解得：有END50刚体定轴转动的功和能关系51力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理52力矩的功：一力矩作功 比较53二力矩的功率比较三转动动能54 讨论 刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和； 与质点的动能相比较，可看出转动惯量J的地

10、位对应于质点的质量m，说明J是刚体绕定轴转动惯性大小的量度。55四刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理比较 56以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒 .讨 论子弹击入沙袋细绳质量不计57子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒角动量守恒；动量不守恒；58圆锥摆圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒59 例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片到达角速度 时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动

11、力矩做了多少功？60Rrdrdlo 解 (1) 如图取面积元ds = drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为61 于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为Rrdrdlo62 (3) 由 可得在 0 到 t 的时间内，转过的角度为 (2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)作匀加速转动驱动力矩做的功为由 可求得63 例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一质量为m、速率为v 的子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏转角为30o . 问子弹的初速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒64 射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E =常量解得：65 刚体绕定轴

12、转动动能定理只适用于刚体的定轴转动。 讨论 刚体中一对内力所作功的代数和为内力的功不影响刚体的转动动能。66假设以hC表示质心到零势能面的高度，那么刚体的重力势能为刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有的重力势能相同。以xOy 平面为重力势能零参考面刚体的重力势能对刚体中所有质点的势能求和 结论：iiigzmED= pCpmghE=67刚体的力学系统的机械能系统的机械能守恒定律对含有刚体的力学系统，假设在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，那么该系统的机械能守恒。当 A外 + A非保内 = 0 时，有恒量=+=pkEEE68力学系统的机械能应

13、包括 质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即C221mghJE+=w69刚体的角动量定理和角动量守恒定律70 力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理71刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律 1刚体定轴转动的角动量O72对定轴转动的刚体 ，2 刚体定轴转动的角动量定理质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )合外力矩73非刚体定轴转动的角动量定理 对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 到 内，角速度从 变为 ，积分可得： 当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量

14、定轴转动的角动量定理743 刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量 如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变角动量守恒定律75 角动量守恒定律是自然界的一个根本定律. 内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.讨论 在冲击等问题中 常量76 许多现象都可以用角动量守恒来说明.把戏滑冰跳水运发动跳水77自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等78 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫

15、以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O79解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒80由角动量定理考虑到得此即小虫需具有的爬行速率81 例4一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh82设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞解碰撞前M落在 A点的速度碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度83M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh84解得演员N以u起跳，达到的高度：85第三章小结1.刚体绕定轴转动运动学描述(1) 角坐标(2) 角速度(3) 角加速度)(tqq=tddqw=22ddddttqwb=86(4) 线量和角量的关系(5) 匀变速定轴转动 )(20202qqbww-+=20021ttbwqq+=tbww+=0qD=rswr=vbra=t2nwra=2. 刚体绕定轴转动的转动惯量-刚体转动惯性的量度(1) 转动惯量或(2) 平行轴定理 =iiir