第3章大气边界层支配方程之1

1、第第三三章章 大气边界层大气边界层控制控制方程方程大气动力、热力学方程组大气动力、热力学方程组大气运动大气运动 大气边界层（大气湍流动）运动的特殊性大气边界层（大气湍流动）运动的特殊性例如：（例如：（1）水平运动方程，在大气边界层中必须考虑）水平运动方程，在大气边界层中必须考虑 湍流摩擦力（湍流粘性力）的作用；湍流摩擦力（湍流粘性力）的作用；定量描述定量描述和预报边和预报边界层状况界层状况（2）在热量方程中，需考虑空气的非绝热过程，）在热量方程中，需考虑空气的非绝热过程，如辐射增温或冷却、水汽相变潜热等影响；如辐射增温或冷却、水汽相变潜热等影响；+ 特殊的处理方法特殊的处理方法 （雷诺平均）（

2、雷诺平均） 大气边界层（大气湍流动）的控制方程大气边界层（大气湍流动）的控制方程（3）与此相联系的水汽守恒方程。）与此相联系的水汽守恒方程。基本考虑和方法基本考虑和方法1 边界层的基本控制方程边界层的基本控制方程2 雷诺平均：雷诺平均：把方程中的因变量展开成平均和脉动量两部分把方程中的因变量展开成平均和脉动量两部分3. 求方程的雷诺平均的求方程的雷诺平均的湍流平均变量的方程湍流平均变量的方程4 利用连续性方程利用连续性方程 通量形式的通量形式的平均运动方程平均运动方程 5 从步骤从步骤3方程中减去步骤方程中减去步骤4方程，得到偏离平均的方程，得到偏离平均的湍流脉动量方程湍流脉动量方程方差方程和

3、协方差方程的基础方程方差方程和协方差方程的基础方程6将湍流脉动量方程乘以速度脉动量将湍流脉动量方程乘以速度脉动量 湍流通量方程湍流通量方程7. 将将基础方程乘以基础方程乘以2倍的湍流脉动量倍的湍流脉动量 方差方程方差方程 （湍流能量方程）（湍流能量方程）湍流的稳定性参数湍流的稳定性参数第第三三章章 大气边界层大气边界层控制控制方程方程 3.1 3.1 基本控制方程（基本控制方程（BoussinesqBoussinesq 近似）近似） 3.23.2 平均量方程平均量方程 3.3 3.3 湍流脉动量方程湍流脉动量方程 3.4 3.4 湍流方差预报方程湍流方差预报方程 3.5 3.5 湍流通量预报方

4、程湍流通量预报方程 3.6 3.6 闭合理论闭合理论3.1 3.1 基本控制方程基本控制方程为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。描述气体和液体流动的方程组包括：描述气体和液体流动的方程组包括：一个状态方程一个状态方程 一个质量守恒方程（连续方程）一个质量守恒方程（连续方程）三个动量守恒方程（三个动量守恒方程（NavierNavier-Stokes-Stokes方程）方程）一个热力学能量方程一个热力学能量方程( (水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程水汽及污染物浓

5、度的标量方程类似热量方程) ) 3.1.1 基本控制方程基本控制方程3.1.2 简化与近似简化与近似Boussinesq近似近似3.1.3 坐标系及其变换坐标系及其变换3.1 3.1 基本控制方程基本控制方程3.1.1 基本控制方程基本控制方程 状态方程状态方程 质量守恒方程（连续方程）质量守恒方程（连续方程） 动量守恒方程（牛顿第二定律）动量守恒方程（牛顿第二定律） 热量守恒方程（热力学第一定律）热量守恒方程（热力学第一定律）1） 状态方程状态方程vdTRP理想气体状态方程：理想气体状态方程：P：气压：气压：湿空气密度：湿空气密度Rd：干空气气体常数（：干空气气体常数（ Rd =287 J

6、K-1 kg-1）虚温虚温Tv=T(1+0.61q)，q比湿，比湿，T温度温度2） 质量守恒（连续方程）质量守恒（连续方程）连续性方程的一般形式：连续性方程的一般形式：0zwyvxut0t不可压缩流体不可压缩流体0zwyvxuzwyvxudtd或或0zwyvxutdtd泰勒假说泰勒假说: 在边界层中简化为不可压缩形式：在边界层中简化为不可压缩形式：0zwyvxut0zwyvxuzwyvxudtd0jjxut0jjxujjxudtdj=1、2、3分别代表分别代表x、y、z三个方向，三个方向，u1=u, u2=v, u3=w 3） 动量守恒（牛顿第二定律）动量守恒（牛顿第二定律）动量方程的表达式：

7、动量方程的表达式：jji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1局地时间变化局地时间变化平流项平流项气压梯度力项气压梯度力项重力作用项重力作用项科氏效应科氏效应粘滞应力项粘滞应力项jji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1等，如任意两个相等，如逆序排列，如顺序排列交变单位张量333322113013221332113122311231ijkijkijkijkjijiij当当01i3为克罗内克符号为克罗内克符号 重力仅在垂直方向起作用重力仅在垂直方向起作用0,3fufvufjij思考：方程右端第三项展开？思考：方程右端第三项展开？4） 热量守恒（热力学第一定律）热量守

8、恒（热力学第一定律）热量守恒关系常用位温方程来表示：热量守恒关系常用位温方程来表示：关键是要全面准确的了解引起空气位温变化的热量关键是要全面准确的了解引起空气位温变化的热量源汇项源汇项（分子热传导、净辐射加热、与相变有关的潜热释放）（分子热传导、净辐射加热、与相变有关的潜热释放） 水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致水汽守恒方程水汽守恒方程3.1.2 简化与近似简化与近似Boussinesq近似近似 在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助得

9、多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助于方程的求解。于方程的求解。 必须考虑地球自转的影响必须考虑地球自转的影响大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是不均匀的层结流体不均匀的层结流体大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方向，可视作浅层流体，不可压缩流体向，可视作浅层流体，不可压缩流体大气边界层主要是湍流运动大气边界层主要是湍流运动大气边界层的特点概括有：大气边界层的特点概括有：科氏力作用科氏力作用Boussinesq 近似近似Boussinesq 近似的基本假定：近似的基本假定：流体中的动力学粘滞系数流体中的动力学粘

10、滞系数=是常数是常数流体中的分子导热系数流体中的分子导热系数 kT 是常数是常数大气是浅层流体，垂直范围约大气是浅层流体，垂直范围约10km描写流体热力状态的特征量可表示为描写流体热力状态的特征量可表示为),()(0tzyxPzPPd),()(0tzyxzd),()(0tzyxTzTTd000:TP基本状态dddTP:扰动量扰动量远小于基态量：扰动量远小于基态量：|0PPd|0d|0TTd基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足理想气体状态方程，即：理想气体状态方程，即：静力平衡静力平衡理想气体状态方程理想气体状态方程绝热过程绝热过程gzP00000

11、RTPdzT0Boussinesq 近似下的简化方程：近似下的简化方程： 状态方程状态方程 连续方程连续方程 运动方程运动方程 热流量方程热流量方程1） 状态方程状态方程对于干空气，状态方程为对于干空气，状态方程为 P=RT ，对该式进行，对该式进行对数微分，可以得到：对数微分，可以得到： TRRTPlnlnlnlnlndTTddPP111如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则 00PPd取对数：取对数：取微分：取微分：000000TTTPPP00TTdd2） 连续方程连续方程 当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化当大气为浅层流体，在该范

12、围内密度的变化很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不可压缩的，连续方程为：可压缩的，连续方程为：0zwyvxu0iixu或或0zwyvxut3） 运动方程运动方程Navier-Stokes方程中压力梯度项和重力项可以进方程中压力梯度项和重力项可以进行改写：行改写： 30030030330300330003111111ididididididdidiidiididiididiigTTxPgxPgxPggxPxPggxPxPgxPjji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1jjijijididjijixxuufgTTxPxuutu2330

13、01将上式代入将上式代入运动方程运动方程得到：得到： 扰动温度在重力作用下形成的净浮力项扰动温度在重力作用下形成的净浮力项 4） 热流量方程热流量方程边界层支配方程中常用到边界层支配方程中常用到位温位温，Poisson方程：方程： CpRhPPT00对该式进行对数微分，近似有对该式进行对数微分，近似有0hzTd 000000hThzhTTTTTdd此外，有此外，有zzTd因此，有因此，有扰动温度的垂扰动温度的垂直梯度直梯度位温的位温的垂直梯度垂直梯度如果不考虑相变，热源如果不考虑相变，热源 S S 仅考虑分子热传导及辐仅考虑分子热传导及辐射加热，则射加热，则热流量方程热流量方程为：为： jjp

14、jjdTjdjdxRcxxTkxTutT021Rj : j: j方向的方向的辐射热通量辐射热通量分子热传导的加热分子热传导的加热辐射加热辐射加热上式中Td 也可以换成 以上近似处理最早由以上近似处理最早由Boussinesq(1903)Boussinesq(1903)提出提出BoussinesqBoussinesq近似近似。 该简化方程假定该简化方程假定流体不可压流体不可压、并限制并限制在一薄层内在一薄层内。适用于研究像积云对流、。适用于研究像积云对流、海陆风环流、边界层急流中的重力波海陆风环流、边界层急流中的重力波活动等发生在浅层内的中尺度运动活动等发生在浅层内的中尺度运动浅水方程。浅水方程。综上所述，综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：近似下的基本方程组为：jjpjjdTjdjdxRcxxTkxTutT021zzTdjjijijididjijixxuufgTTxPxuutu2330010zwyvxu0iixu或或00TTddTTPP或或3.1.3 坐标系及其变换坐标系及其变换 通常我们使用笛卡尔坐标系，通常我们使用笛卡尔坐标系，(x, y, z)轴分别指向（东轴分别指向（东、北、上），在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕、北、上），在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕z轴旋转轴旋转，使，使x、y轴指向其它方向，能够在处理问题时更